竞赛中的直线与圆(线性规划)问题

Y.P.M数学竞赛讲座1竞赛中的直线与圆1.两点距离[例1]:(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设xk,yk(k=1,2,3)均为非负实数,则+++的最小值为.[解析]:[类题]:1.⑴(2001年全国高中数学联赛试题)若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为.⑵(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若实数x,y满足(x+2)2+(y-5)2=9,则(x-1)2+(y-1)2的最大值为.2.(2007年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系内,有四个定点A(-3,0),B(1,-1),C(0,3),D(-1,3)及一个动点P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为________.3.⑴(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=+的最小值是.⑵(2011年台湾高校(对澳门地区)试题)设f(x)=+,则f(x)的最小值为.4.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a是正数,若f(x)=+(x∈R)的最小值为10,则a=.5.⑴(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数y=-达到最大值时,x的值是.⑵(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))当x∈R时,函数y=-()(A)没有最大值和最小值(B)有最大值,没有最小值(C)没有最大值,有最小值(D)有最大值和最小值6.⑴(1992年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=-的最大值是.⑵(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=-的最大值是.2.直线问题[例2]:(1988年全国高中数学联赛试题)在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点.我们用I表示所有直线的集合,M表示恰好通过一个整点的直线的集合,N表示不通过任何整点的直线的集合,P表示通过无穷多个整点的直线的集合,那么表达式:①M∪N∪P=I;②N≠;③M≠;④P≠.中正确的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4[解析]:[类题]:1.(1987年全国高中数学联赛上海初赛试题)若直线(a-1)y=(3a+2)x-1不通过第二象限(x<0,y>0),则a的取值范围是___2.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)在直角坐标系中,过点(1,2)且斜率小于0的直线中,它在两坐标轴上的截距之和最小的直线的斜率为_____.3.(2007年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知P(2,1),过点P作直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,则使△AOB(O为坐标原点)的周长最小的直线l的方程是.2Y.P.M数学竞赛讲座4.(2000年全国高中数学联赛试题)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离中的最小值是.5.(1999年全国高中数学联赛试题)已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{3,2,1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是______.6.(2011年安徽高考试题)(理)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是______(写出所有正确命题的编号).①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数;⑤存在恰经过一个整点的直线.3.直线方程[例3]:(2008年全国高中数学联赛广东初赛试题)若点(1,1)到直线xcosα+ysinα=2的距离为d,则d的最大值是.[解析]:[类题]:1.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)m是任意实数,θ是给定的实数,由关于x和y的方程确定的动点(x,y)在平面直角坐标系内对应的图形是.2.(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)己知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使这个四边形面积最小的k的值为.3.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)当θ取遍全体实数时,直线xcosθ+ysinθ=4+sin(θ+)所围成的图形的面积是.4.(2009年江西高考试题)设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π).对于下列四个命题:①存在一个圆与所有直线相交;②存在一个圆与所有直线不相交;③存在一个圆与所有直线相切;④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).4.位置关系[例4]:(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)己知直线l1:x+2y-4=0,直线l2:2ax-y+1=0和坐标轴围成的四边形有外接圆,则a的值等于.[解析]:[类题]:1.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m+1)x+y-2=0和4m2x+(m+10.则m的值为.2.(1987年上海高考试题)若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合,则a等于()(A)-1和2(B)-1(C)2(D)3.(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)若直线l1:(2m+1)x-4y+3m=0与直线l2:x+(m+5)y-3m=0平行,则m的值为.4.(1988年全国高中数学联赛试题)已知直线l:2x+y=0,过点(-10,0)作直线m⊥l,则m与l的交点坐标为______.5.(2006年上海春招试题)在△ABC中,若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,则直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2(A)平行(B)垂直(C)重合(D)相交不垂直Y.P.M数学竞赛讲座36.(2009年全国I高考试题)若直线m被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是:①150;②300;③450;④600;⑤750.其中正确答案的序号是(写出所有正确答案的序号).5.轴对称性[例5]:(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,若2x1x2=-1,则2m的值是.[解析]:[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)一束光线从点A(-1,1)发出并经x轴反射,到达圆(x-2)2+(y-3)2=1上一点的最短路程是.2.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系内,从点P(5,2)发出的光线射向x轴,经x轴反射后射到直线y=x上,被反射后恰好经过点Q(10,9),光线由P到Q走过的路程的长等于.3.(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知点A(m,n)在直线x+3y=41上,其中0<n<m.若点A关于直线y=x的对称点为B,点B关于y轴的对称点为C,点C关于x轴的对称点为D,点D关于y轴的对称点为E,且五边形ABCDE的面积为451,则点A的坐标为.4.⑴(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)若点A(1,3)与点B(-2,m)(m>0)关于直线l:6x+ny-5=0对称,则m+n=.⑵(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一张坐标纸对折一次后,点A(0,4)与点B(8,0)重叠.若点C(6,8)与点D(m,n)重叠,则m+n=.5.(2008年北京高考试题)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对称时,它们一之间的夹角为()(A)300(B)450(C)600(D)9006.(2007年四川高考试题)己知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于()(A)3(B)4(C)3(D)4[解析]:6.平面区域[例6]:(1994年全国高中数学联赛试题)已知有线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线l:x+my+m=0与PQ的延长线相交,则m的取值范围是_______.[解析]:[类题]:1.⑴(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知两直线x−y=2与cx+y=3的交点在第一象限,则实数c的取值范围是_.⑵(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是.⑶(2004年天津高考试题)若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是()(A)0<k<(B)-<k<0(C)0<k<(D)0<k<52.⑴(2005年全国I高考试题)在平面直角坐标系内,不等式组所表示的平面区域的面积为()4Y.P.M数学竞赛讲座(A)(B)(C)(D)2⑵(1981年全国高中数学联赛试题)(2009年全国高中数学联赛试题)在坐标平面上有两个区域M和N.M是由y≥0,y≤x,和y≤2-x这三个不等式确定的,N是随t变化的区域,它由不等式t≤x≤t+1所确定的,t的取值范围是0≤t≤1.设M和N的公共面积是函数f(t).则f(t)为:.3.(2006年辽宁高考试题)双曲线x2-y2=4的两条渐进线与直线x=3围成的三角形区域满足的不等式组为()(A)(B)(C)(D)4.⑴(2010年北京高考试题)设不等式组,表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是(A((1,3](B)[2,3](C)(1,2](D)[3,+∞)⑵(2009年山东高考试题)设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则的最小值为()(A)(B)(C)(D)45.⑴(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若2x+y≥1,u=y2–2y+x2+6x,则u的最小值等于.⑵(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)如果实数x,y满足3x+2y－10,那么u=x2+y2+6x－2y的最小值是.6.⑴(2007年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,己知区域A={(x,y)|},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为()(A)2(B)1(C)(D)⑵(2008年浙江高考试题)若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是()(A)(B)(C)1(D)⑶(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在平面区域{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}上恒有ax-2by≤2,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为.7.线性规性[例7]:(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设实系数一元二次方程x2+ax+2b-2=0有两个相异实根,其中一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内,则的取值范围是.[解析]:[类题]:Y.P.M数学竞赛讲座51.⑴(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)设z=x-y,式中变量x和y满足条件,则z的最小值为.⑵(2009年宁夏、海南高考试题)设x,y满足,则z=x+y()(A)有最小值2,最大值3(B)有最小值2,无最大值(C)有最大值3,无最小值(D)既无最小值也无最大值2.⑴(2009年湖南高考试题)己知D是由不等式组所确定的平面区域,则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为.⑵(2009年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)平面上满足约束条件的点(x,y)形成的区域为D,区域D关于直线y=2x对称的区域为E,则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为.3.⑴(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知,则x2+y2的最大值是.⑵(2008年福建高考试题)(理)若实数x,y满足,则的取值范围是.4.⑴(2009年陕西高考试题)若x,y满足约束条件,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是.⑵(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知x、y满足.若z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a-3,则a的取值范围是5.⑴(1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a,b是实数,二次方程x2−ax+b=0的一根属于区间[−1,1],另一根属于区间[1,2],则a−2b的取值范围为__________.⑵(2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知实系数一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x1,x2,且0<x1<1<x2,则的取值范围是.6.⑴(2008年四川高考试题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为.⑵(2007年全国II高考试题)己知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值且0<x1<x2<2.则z=a+2b的取值范围是.8.特殊区域[例8]:(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)对一切满足|x|+|y|≤1的实数x,y,不等式|2x-3y+|+|y-1|+|2y-x-3|≤a恒成立,则实数a的最小值为.[解析]:[类题]:1.⑴(1982年全国高中数学联赛试题)由方程|x－1|+|y－1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是.6Y.P.M数学竞赛讲座⑵(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设常数a≥0,则“|x|+|y|≥a”是“x2+y2≥a2”的(A)必要不充分条件(C)充分不必要条件(B)充要条件(D)不充分也不必要条件2.⑴(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)当x,y满足条件|x|+|y|≤1时,变量z=x-y+2的取值范围是.⑵(2011年安徽高考试题)(理)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为()(A)1,-1(B)2,-2(C)1,-2(D)2,-1⑶(2011年湖北高考试题)(理)已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥b,若x,y满足不等式|x|+|y|≤1,则z的取值范围为()(A)[-2,2](B)[-2,3](C)[-3,2](D)[-3,3]3.⑴(1987年全国高中数学联赛试题)已知集合A={(x,y)||x|+|y|=a,a>0},B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|}.若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则a的值为_______________.⑵(1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)在直角坐标系中,满足的点(x,y)所构成的区域的面积是_____．4.⑴(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a为正数,而A={(x,y)|x2+y2≤1}、B={(x,y)||x|+2|y|≤a}是XOY平面内的点集,则A是B的子集的一个充分必要条件是()(A)a=2(B)a≥3(C)a≥(D)a≥⑵(1994年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系中,方程=1(a,b是不相等的两个正数)所代表的曲线是()(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形5.⑴(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)集合M={(x,y)||x–6|+|y+12|=|x–12|+2|y+3|=15,x,y∈R}中的元素的个数是.⑵(1988年全国高中数学联赛试题)平面上有三个点集M,N,P.M={(x,y)||x|+|y|<1},N={(x,y)|+<2},P={(x,y)||x+y|<1,|x|<1,|y|<1}.则()(A)MPN(B)MNP(C)PNM(D)(A)、(B)、(C)都不成立6.⑴(1989年全国高中数学联赛试题)设函数f0(x)=|x|,f1(x)=|f0(x)-1|,f2(x)=|f1(x)-1|,则函数y=f2(x)的图像与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是__________.⑵(2010年全国高中数学联赛新疆初赛试题)由曲线|x|-|y|=|2x-3|所围成的几何图形的面积为.9.圆的问题[例9]:(1984年全国高中数学联赛试题)如图,AB是单位圆的直径,在AB上任取一点D,作DC⊥AB,交圆周于C,若D点的坐标为(x,0),则当x∈时,线段AD,BD,CD可构成三角形.[解析]:[类题]:1.(1992年全国高中数学联赛试题)已知如图的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是()

(A)(x+)(y+)=0(B)(x-)(y-)=0(C)(x+)(y-)=0(D)(x-)(y+)=0Y.P.M数学竞赛讲座72.⑴(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)2+(y-4sinθ)2=4(θ∈R),则点P(x,y)所在区域的面积为.⑵(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系xOy中,由不等式组所确定的图形的面积等于.3.⑴(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知函数f(x)=x2+2bx+1和g(x)=2a(x+b),其中x、a、b均为实数.使y=f(x和y=g(x)在xOy平面上的图像不相交的实数对(a,b)组成点集A.那么,A在aOb平面上表示的图形S的面积为.⑵(2011年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)设k为正实数,若满足条件x(x-k)≤y(k-y)的点(x,y)都被单位圆覆盖,则k的最大值为.4.⑴(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在直角坐标系xOy中,已知圆心在原点O、半径为R的圆与△ABC的边有公共点,其中A(4,0),B(6,8),C(2,4),则R的取值范围为.⑵(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)自点M(3,2)引圆x2+y2=3的两条切线,切点分别为A与B,则以A、B为端点的劣弧的长度等于.⑶(2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)在平面直角坐标系中,己知点A(1,2)和B(4,1),圆上x2+y2=25的动点P与A,B形成三角形,则三角形ABP的面积的最大值为.5.⑴(2008年全国高中数学联赛广东初赛试题)若A、B两点分别在圆x2+y2-6x+16y-48=0和x2+y2+4x-8y-44=0上运动,则|AB|的最大值为.⑵(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)设符合条件的点(x,y)所成的集合为M,则区域M的面积为.6.⑴(2001年全国高中数学联赛上海初赛试题)当且仅当k满足a≤k≤b时,两曲线x2+y2=4+12x+6y与x2+y2=k+4x+12y有公共点,则b−a的值是_____.⑵(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设圆Ck={(x,y)|(x-mk)2+(y-mk)2≤2k2}(k∈N+),其中,mk定义如下:m1=0,mk+1=mk+2k+1(k≥1).则的面积为.10.直线与圆[例10]:(2009年全国高中数学联赛试题)己知直线l:x+y-9=0和圆M:2x2+2y2-8x-8y-1=0.点A在直线l上,B,C为圆M上两点,在△ABC中,∠BAC=450,AB过圆心M,则点A的横坐标的范围为.[解析]:[类题]:1.⑴(1991年全国高考试题)圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个⑵(2006年湖南高考试题)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2,则直线l的倾斜角θ的取值范围是()(A)[,](B)[,](C)[,](D)[0,]2.⑴(2010年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.⑵(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若圆C:(x-3)2=(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线l:4x-3y=2的距离为1,则r的取值范围是.3⑴(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)与圆(x-2)2+y2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()条.⑵(2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设圆x2+y2=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B,则|AB|的最小值为.8Y.P.M数学竞赛讲座4.⑴(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)从动点P(x,3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1引切线,则切线长度的最小值是.⑵(2007年湖北高考试题)由直线y=x+1上一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.⑶(2002年北京高考试题)己知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为.5.(2009年四川高考试题)若⊙O:x2+y2=5与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.6.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知圆M:(x-1)2+(y-3)2=4,过x轴上的点P(a,0)存在圆M的割线PAB,使得PA=BA,则点P的横坐标a的取值范围是______________.11.圆形函数[例11]:(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点,则k的取值范围是.[解析]:[类题]:1.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)函数y=-(x≤1)的曲线长度是.2.⑴(2009年江西高考试题)若不等式≤k(x+1)的解集区间为[a,b],且b-a=1,则k=.⑵(2009年江西高考试题)若不等式≤k(x+2)-的解集区间为[a,b],且b-a=2,则k=.⑶(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)若直线kx-y+3k-2=0与曲线y=有公共点,则k的取值范围是.3.⑴(1988年广东高考试题)曲线y=1+(-2≤x≤2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点时,实数k的取值范围是()(A)(,](B)(,+∞)(C)(,](D)(0,)⑵(2010年湖北高考试题)若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是()(A)[-1,1+2](B)[1-2,1+2](C)[1-2,3](D)[1-,3]⑶(2003年全国高考试题)不等式<x的解集是()(A)(0,2)(B)(2,+∞)(C)(2,4](D)(-∞,0)∪(2,+∞)4.⑴(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知曲线C:y=与直线l:x+y-m=0有两个交点,则m的取值范围是.⑵(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知直线Ax+By+C=0(A、B为实常数,且|A|≠|B|)和曲线y=,它们相交于P、Q两点.若P、Q与点D(1,0)的连线的倾角为α、β,则tan(α+β)=_____.5.⑴(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若关于x的方程=log2(x-a)有正数解,则实数a的取值范围为.⑵(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知直线l:y=-+m与曲线C:y=1+仅有三个Y.P.M数学竞赛讲座9交点,则m的取值范围是.6.⑴(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)称横坐标为整数的点为“次整点”,过曲线y=上任意两个次整点作直线,则倾斜角大于300的直线条数为.⑵(2009年上海高考试题)将函数y=(x∈[0,6])的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α)得到曲线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图像,则α的最大值是.12.构圆解题[例12]:(2008年重庆高考试题)函数f(x)=(0≤x≤2π)的值域为()(A)[,0](B)[-1,0](C)[-,0](D)[-,0][解析]:[类题]:1.⑴(1990年全国高考试题)如果实数x,y满足等式:(x-2)2+y2=3,则的最大值为()(A)(B)(C)(D)⑵(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知关于x,y的方程组仅有一组实数解,则符合条件的实数k的个数是.2.⑴(2008年全国I高考试题)若直线=1通过点M(cosα,sinα),则()(A)a2+b2≤1(B)a2+b2≥1(C)≤1(D)≥1⑵(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知点P(cosα,sinα)在直线l:=1上,且OP⊥l(0为坐标原点),则()(A)a+b=1(B)a2+b2=1(C)=1(D)=13.⑴(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知定点A(1,3),B(3,3),点P在x轴上运动,当∠APB最大时,点P的横坐标是.⑵(2004年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系XOY中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在X轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为_____.4.⑴(2004年全国II高考试题)在直角坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条⑵(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知两点M(1,0),N(-3,0),到直线l的距离分别为1和3,则满足条件的直线l的条数是.⑶(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知两点A(1,2),B(3,1)到直线L距离分别是,-,则满足条件的直线l共有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条10Y.P.M数学竞赛讲座5.⑴(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)平面直角坐标系中,点集M={(x,y)|,α,β∈R},则点集M所覆盖的平面图形的面积为.⑵(2008年重庆高考试题)函数f(x)=(0≤x≤2π)的值域是()[](B)[](C)[](D)[]6.⑴(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)以实数x,y为自变量的函数u(x,y)=x2+–2xy+的最小值是.⑵(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)二元函数f(x,y)=(x–y)2+(x++1)2的最小值是.⑶(2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)记F(x,y)=(x–y)2+(+)2(y≠0),则F(x,y)的最小值是.13.参数方程[例13]:(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)代数式a+b的最大值是.[解析]:[类题]:1.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知A(–1,-),O是坐标原点,线段OA在坐标平面内绕原点顺时针旋转,扫过的面积是,这时A点到达的位置A'的坐标是.2.(1987年全国高中数学联赛上海初赛试题)当t取实数值变化时,用x=,y=表示的点(x,y)表示的曲线是()(A)圆(B)不完整的圆(C)椭圆(D)不完整的椭圆3.⑴(1987年广东高考试题)如果实数x,y满足等式:x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值为()(A)(B)10(C)9(D)5+2⑵(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)实数x,y满足方程x2+y2=6x–4y–9,则2x–3y的最大值与最小值的和等于.4.(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a为实数,Sa={(x,y)|x=a+cosθ,y=+sinθ,θ∈R},若Sa⊆{(x,y)|x2+y2<4},则a的取值范围是_______.5.(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设x+y≥1,则x2+y2=.6.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)M={(x,y)|x3+8y3+6xy≥1,x,y∈R},P={(x,y)|x2+y2≤t2,t∈R,t≠0},若P∩M=,则t的取值范围是.14.轨迹问题[例14]:(2011年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知O为坐标原点,B(4,0),C(5,0),过C作x轴的垂线,M是这垂线上的动点,以O为圆心,OB为半径作圆,MT1,MT2是圆的切线,则△MT1T2垂心的轨迹方程是.[解析]:Y.P.M数学竞赛讲座11[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设P是圆x2+y2=36上一动点,A点坐标为(20,0),当P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹方程为.2.(2004年全国I高考试题)由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为.3.(2008年天津高考试题)己知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称.直线3x+4y-11=0与圆C相交于A、B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为.4.(2010年课标高考试题)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1).则圆C的方程为.5.(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)动点M(x,y)满足=|xsinα+ycosα-1|(其中α是常数),哪么点M的轨迹是.6.(2008年全国高中数学联赛上海初赛试题)一条长为4的线段AB在x轴正半轴上移动,另一条长为2的线段CD在y轴正半轴上移动,如果两条线段的4个端点A、B、C、D四点共圆,那么这个圆的圆心的轨迹是_______.15.曲线系[例15]:(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)与圆x2+y2–4x–8y+15=0切于点A(3,6),且过点B(5,6)的圆的方程是.[解析]:[类题]:1.(2001年上海高考试题)己知两个圆:x2+y2=1…①与x2+(y-3)2=1…②.则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程,将上述命题在曲线仍为圆的情况下,加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而己知命题应为所推广命题的一个特例,推广的命题为.2.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)过圆x2+y2+2x–6y+1=0与圆x2+y2–6x–6y+17=0的交点的直线方程可表示为.3.(2009年天津高考试题)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为2,则a=.4.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)从点A(–1,)向圆4x2+4y2–8x+4y–11=0作切线,则过切点的弦的方程是.5.(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)从直线l:+=1上的任意一点P作圆O:x2+y2=8的两条切线,切点为A和B,则弦AB长度的最小值为__________.6.(2007年山东高考试题)与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.16.整点问题[例16]:(1990年全国高中数学联赛试题)在坐标平面上,横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点,对任意自然数n,连结原点O与点An(n,n+3),用f(n)表示线段OAn上除端点外的整点个数,则f(1)+f(2)+…+f(1990)=.[解析]:[类题]:12Y.P.M数学竞赛讲座1.(1995年全国高中数学联赛试题)直角坐标平面上,满足不等式组的整点个数是______.2.(1996年全国高中数学联赛试题)在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________.3.(1999年全国高中数学联赛试题)平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式(|x|1)2+(|y|1)2<2的整点(x,y)的个数是()

(A)16(B)17(C)18(D)254.(2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设[x]表示不超过实数x的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的圆形的面积是.5.(2010年全国高中数学联赛试题)双曲线x2-y2=1的右半支与直线x=100围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是.6.(1994年全国高中数学联赛试题)已知点集A={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2≤()2},B={(x,y)|(x-4)2+(y-5)2>()2},则点集A∩B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_______.Y.P.M数学竞赛讲座1竞赛中的直线与圆高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特征--“数形二重性”的考察,需要充分挖掘蕴含的几何本质.一、知识结构1.三角形的四心表示:⑴静态形式:①重心:二、典型问题1.基本公式[例1]:(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设xk,yk(k=1,2,3)均为非负实数,则+++的最小值为.[解析]:在直角坐标系中,作点A(0,2007),P1(x1+x2+x3,y1),P2(x2+x3,y1+y2),P3(x3,y1+y2+y3).则+++=|AP3|+|P3P2|+|P2P1|+|OP1|≥|OA|=2007.[类题]:1.(2001年全国高中数学联赛试题)若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为.2.(1989年全国高考试题)函数y=的反函数的定义域是.3.(2010年重庆高考试题)直线y=x+与圆心为D的圆(θ∈[0,2π)]交与A、B两点,则直线AD与BD的倾斜角之和为()(A)π(B)π(C)π(D)π4.(2007年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系内,有四个定点A(-3,0),B(1,-1),C(0,3),D(-1,3)及一个动点P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为________.[解析]:设AC与BD交于F点,则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|,|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|,因此,当动点P与F点重合时,|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值|AC|+|BD|=3+2.3.⑴(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=+的最小值是.⑵(2011年台湾高校(对澳门地区)试题)设f(x)=+,则f(x)的最小值为.4.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设a是正数,若f(x)=+(x∈R)的最小值为10,则a=.5.⑴(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))函数y=-达到最大值时,x的值是.⑵(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二))当x∈R时,函数y=-()(A)没有最大值和最小值(B)有最大值,没有最小值(C)没有最大值,有最小值(D)有最大值和最小值6.⑴(1992年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=-的最大值是.⑵(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=-的最大值是.2.直线问题[例2]:(1988年全国高中数学联赛试题)在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点.我们用I表示所有直线的集合,M表示恰好通过一个整点的直线的集合,N表示不通过任何整点的直线的集合,P表示通过无穷多个整点的直线的集合,那么表达式:①M∪N∪P=I;②N≠;③M≠;④P≠.中正确的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4[解析]:由直线y=πx-π恰经过一个整点(1,0)知,②正确;由直线y=x+不经过任何整点知,③正确;由直线经过无穷多个整点知,④正确;又因直线l经过两个不同的整点A(x1,y1),B(x2,y2)直线l:(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)直线l经过无穷多个整点P(x1+t(x2-x1),y1+t(y2-y1))(t∈Z),所以所有的直线可划分为:不通过任何整点的直线、恰好通过一个整点的直线、经过两个不同整点的直线(经过无穷多个整点的直线),因此,①正确.故选(D).[类题]:1.(1987年全国高中数学联赛上海初赛试题)若直线(a−1)y=(3a+2)x−1不通过第二象限(x<0,y>0),则a的取值范围是___2Y.P.M数学竞赛讲座2.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)在直角坐标系中,过点(1,2)且斜率小于0的直线中,它在两坐标轴上的截距之和最小的直线的斜率为_____.3.(2007年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知P(2,1),过点P作直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,则使△AOB(O为坐标原点)的周长最小的直线l的方程是.[解析]:设∠BAO=θ,t=tan,则△AOB的周长为L=(2+cotθ)+(1+2tanθ)+()=6+≥10,当且仅当,即t=tan=时,上式等号成立.则l的斜率k=-.所以l的方程为3x+4y-10=0.4.(2000年全国高中数学联赛试题)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离中的最小值是.5.(1999年全国高中数学联赛试题)已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{3,2,1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是______.6.(2011年安徽高考试题)(理)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是______(写出所有正确命题的编号).①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数;⑤存在恰经过一个整点的直线.[解析]:①直线y=x+π不经过任何整点,①正确;②直线y=πx-π经过整点(1,0),②错误;③直线l经过两个不同的整点A(x1,y1),B(x2,y2)直线l:(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)直线l经过无穷多个整点P(x1+t(x2-x1),y1+t(y2-y1))(t∈Z),③正确;④必要性正确,由直线y=x+不经过任何整点知,充分性不正确,④错误;⑤直线y=πx-π恰经过一个整点(1,0),⑤正确.故填①③⑤.3.直线方程[例3]:(2008年全国高中数学联赛广东初赛试题)若点(1,1)到直线xcosα+ysinα=2的距离为d,则d的最大值是.[解析]:[类题]:1.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)m是任意实数,θ是给定的实数,由关于x和y的方程确定的动点(x,y)在平面直角坐标系内对应的图形是.2.(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)己知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使这个四边形面积最小的k的值为.3.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)当θ取遍全体实数时,直线xcosθ+ysinθ=4+sin(θ+)所围成的图形的面积是.4.(2009年江西高考试题)设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π).对于下列四个命题:①存在一个圆与所有直线相交;②存在一个圆与所有直线不相交;③存在一个圆与所有直线相切;④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).4.位置关系[例4]:(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)己知直线l1:x+2y-4=0,直线l2:2ax-y+1=0和坐标轴围成的四边形有外接圆,则a的值等于.[解析]:直线l2:2ax-y+1=0恒过点(0,1).①当a≥0时,四边形有外接圆l1⊥l2a=1;②当a<0时,四边形有外接圆圆内接四边形的外角等于内对角(tanα=2a,tan(900+α)=-tanα=-2)2a=-2a=-1.Y.P.M数学竞赛讲座3[类题]:1.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m+1)x+y-2=0和4m2x+(m+10.则m的值为.2.(1987年上海高考试题)若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合,则a等于()(A)-1和2(B)-1(C)2(D)3.(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)若直线l1:(2m+1)x-4y+3m=0与直线l2:x+(m+5)y-3m=0平行,则m的值为.4.(1988年全国高中数学联赛试题)已知直线l:2x+y=0,过点(-10,0)作直线m⊥l,则m与l的交点坐标为______.5.(2006年上海春招试题)在△ABC中,若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,则直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2(A)平行(B)垂直(C)重合(D)相交不垂直6.(2009年全国I高考试题)若直线m被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是:①150;②300;③450;④600;⑤750.其中正确答案的序号是(写出所有正确答案的序号).5.轴对称性[例5]:(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,若2x1x2=-1,则2m的值是.[解析]:由=-12(x1+x2)=-1,又=+mm=2(x12+x22)-=2(x1+x2)2-4x1x2-=3.[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)一束光线从点A(-1,1)发出并经x轴反射,到达圆(x-2)2+(y-3)2=1上一点的最短路程是.2.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系内,从点P(5,2)发出的光线射向x轴,经x轴反射后射到直线y=x上,被反射后恰好经过点Q(10,9),光线由P到Q走过的路程的长等于.3.(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知点A(m,n)在直线x+3y=41上,其中0<n<m.若点A关于直线y=x的对称点为B,点B关于y轴的对称点为C,点C关于x轴的对称点为D,点D关于y轴的对称点为E,且五边形ABCDE的面积为451,则点A的坐标为.4.⑴(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)若点A(1,3)与点B(-2,m)(m>0)关于直线l:6x+ny-5=0对称,则m+n=.⑵(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一张坐标纸对折一次后,点A(0,4)与点B(8,0)重叠.若点C(6,8)与点D(m,n)重叠,则m+n=.5.(2008年北京高考试题)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对称时,它们一之间的夹角为()(A)300(B)450(C)600(D)9006.(2007年四川高考试题)己知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于()(A)3(B)4(C)3(D)4[解析]:设点A(t,-t2+3),则点A(t,-t2+3)关于直线x+y=0对称的点B(t2-3,-t),由题知点B(t2-3,-t)在抛物线y=-x2+3上-t=-(t2-3)2+3t4-6t2-t+6=0(t-1)(t+2)(t2-t-3)=0;又因|AB|=|t2-t-3|,所以只有t=1,-2.此时|AB|=|t2-t-3|=3,故选(C).6.平面区域[例6]:(1994年全国高中数学联赛试题)已知有线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-1,1)和(2,2),若直线l:x+my+m=0与PQ的延长线相交,则m的取值范围是_______.[解析]:4Y.P.M数学竞赛讲座[类题]:1.⑴(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知两直线x−y=2与cx+y=3的交点在第一象限,则实数c的取值范围是_.⑵(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是.⑶(2004年天津高考试题)若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是()(A)0<k<(B)-<k<0(C)0<k<(D)0<k<52.⑴(2005年全国I高考试题)在平面直角坐标系内,不等式组所表示的平面区域的面积为()(A)(B)(C)(D)2⑵(1981年全国高中数学联赛试题)(2009年全国高中数学联赛试题)在坐标平面上有两个区域M和N.M是由y≥0,y≤x,和y≤2-x这三个不等式确定的,N是随t变化的区域,它由不等式t≤x≤t+1所确定的,t的取值范围是0≤t≤1.设M和N的公共面积是函数f(t).则f(t)为:.3.(2006年辽宁高考试题)双曲线x2-y2=4的两条渐进线与直线x=3围成的三角形区域满足的不等式组为()(A)(B)(C)(D)4.⑴(2010年北京高考试题)设不等式组,表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是(A((1,3](B)[2,3](C)(1,2](D)[3,+∞)⑵(2009年山东高考试题)设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则的最小值为()(A)(B)(C)(D)45.⑴(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若2x+y≥1,u=y2–2y+x2+6x,则u的最小值等于.⑵(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)如果实数x,y满足3x+2y－10,那么u=x2+y2+6x－2y的最小值是.6.⑴(2007年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,己知区域A={(x,y)|},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为()(A)2(B)1(C)(D)⑵(2008年浙江高考试题)若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是()(A)(B)(C)1(D)Y.P.M数学竞赛讲座5⑶(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在平面区域{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}上恒有ax-2by≤2,则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为.7.线性规性[例7]:(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设实系数一元二次方程x2+ax+2b-2=0有两个相异实根,其中一根在区间(0,1)内,另一根在区间(1,2)内,则的取值范围是.[解析]:[类题]:1.⑴(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)设z=x-y,式中变量x和y满足条件,则z的最小值为.⑵(2009年宁夏、海南高考试题)设x,y满足,则z=x+y()(A)有最小值2,最大值3(B)有最小值2,无最大值(C)有最大值3,无最小值(D)既无最小值也无最大值2.⑴(2009年湖南高考试题)己知D是由不等式组所确定的平面区域,则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为()(A)(B)(C)(D)⑵(2009年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)平面上满足约束条件的点(x,y)形成的区域为D,区域D关于直线y=2x对称的区域为E,则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为.3.⑴(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知,则x2+y2的最大值是.⑵(2008年福建高考试题)(理)若实数x,y满足,则的取值范围是.4.⑴(2009年陕西高考试题)若x,y满足约束条件,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是.⑵(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知x、y满足.若z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a-3,则a的取值范围是5.⑴(1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a,b是实数,二次方程x2−ax+b=0的一根属于区间[−1,1],另一根属于区间[1,2],则a−2b的取值范围为__________.⑵(2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知实系数一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x1,x2,且0<x1<1<x2,则的取值范围是.6.⑴(2008年四川高考试题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为.⑵(2007年全国II高考试题)己知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值且0<x1<x26Y.P.M数学竞赛讲座<2.则z=a+2b的取值范围是.8.特殊区域[例8]:(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)对一切满足|x|+|y|≤1的实数x,y,不等式|2x-3y+|+|y-1|+|2y-x-3|≤a恒成立,则实数a的最小值为.[解析]:|x|+|y|≤1所表示的平面区域以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶点的正方形区域,分别作直线:2x-3y+=0,y-1=0,2y-x-3=0,当点P(x,y)在点D(0,-1)时,|2x-3y+|+|y-1|+|2y-x-3|的最大值=.[类题]:1.⑴(1982年全国高中数学联赛试题)由方程|x－1|+|y－1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是.⑵(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设常数a≥0,则“|x|+|y|≥a”是“x2+y2≥a2”的(A)必要不充分条件(C)充分不必要条件(B)充要条件(D)不充分也不必要条件2.⑴(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)当x,y满足条件|x|+|y|≤1时,变量z=x-y+2的取值范围是.⑵(2011年安徽高考试题)(理)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为()(A)1,-1(B)2,-2(C)1,-2(D)2,-1⑶(2011年湖北高考试题)(理)已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥b,若x,y满足不等式|x|+|y|≤1,则z的取值范围为()(A)[-2,2](B)[-2,3](C)[-3,2](D)[-3,3]3.⑴(1987年全国高中数学联赛试题)已知集合A={(x,y)||x|+|y|=a,a>0},B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|}.若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则a的值为_______________.⑵(1994年全国高中数学联赛上海初赛试题)在直角坐标系中,满足的点(x,y)所构成的区域的面积是_____．4.⑴(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a为正数,而A={(x,y)|x2+y2≤1}、B={(x,y)||x|+2|y|≤a}是XOY平面内的点集,则A是B的子集的一个充分必要条件是()(A)a=2(B)a≥3(C)a≥(D)a≥⑵(1994年全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系中,方程=1(a,b是不相等的两个正数)所代表的曲线是()(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形5.⑴(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)集合M={(x,y)||x–6|+|y+12|=|x–12|+2|y+3|=15,x,y∈R}中的元素的个数是.⑵(1988年全国高中数学联赛试题)平面上有三个点集M,N,P.M={(x,y)||x|+|y|<1},N={(x,y)|+<2},P={(x,y)||x