东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测(二)数学(理科)试题答案

2016年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数学（理科）沈阳命题：沈阳市第四中学吴哲沈阳市第二十中学何运亮沈阳市第二十七中学李刚沈阳市第五十六中学高文珍沈阳市第二十中学王艳沈阳市第三十一中学李曙光沈阳主审：沈阳市教育研究院周善富本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，此中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其余题为必考题．注意事项：答题前，考生务势必自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定地区.第Ⅰ卷每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水署名笔在答题卡指定地点书写作答，在本试题卷上作答无效．考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1.已知则AIB，会合Bx13x9，会合Ax1x3（）3A.1,2B.1,2C.1,3D.1,32.设复数z1,z2在复平面内对应的点对于虚轴对称，且z2i，则z1z2（）1A.43iB.43iC.34iD.34i3.已知向量a(2,1)，b(0,1)，则|a2b|=（）A.22B.5C.2D.4log5x,x04.已知函数f(x),x，则f(f(1))=（）2x025A．41C．-4D．1B．44x5.已知x,y{1,2,3,4,5,6}，且xy）7，则y的概率（2A.1B．2C．1D.53326高三数学（理科）试题第1页（共17页）6.已知tan2，为第一象限角，则sin2cos的值为（）A.5B.425C.45D.525557.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥PA1B1A的左视图可能为（）A1D1B1C1ADPBCABCD8.将函数f(x)sin(2x)(||)的图象向右平移122个单位后的图象对于y轴对称，则函数f(x)在[0,]2上的最小值为（）

主视方向开始输入ab=0i=13113A.B.C.D.2222

把a的右数第i位的数字赋给t9.见右边程序框图，若输入a110011，则输出结果是（）bbt2i1A.51B.49C.47D.45i=i+1x2y210.(a0,b0)的右焦点，以已知点F是双曲线C：221abi>6否F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，是且MF与双曲线的实轴垂直则，双曲线C离心率是（）输出bA.5B.5C.2D.2结束211.在ABC中，D是BC中点，已知BADC90，则ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形1(1(x)ln(12)2f(x)12.当x0f(x)定义在(1,0)U(0,1)f(2)0x)fx时，总有，偶函数上，且恒成立，则不等式f(x)0的解集为（）A.x1x1且x0B.x|1x1或12x12C.x|1x1且x0D.x|1x1或0x12222高三数学（理科）试题第2页（共17页）第Ⅱ卷本卷包含必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都一定做答．第22题～第24题为选考题，考生依据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应地点上）1xy213.已知实数x,y知足x0，则z2xy的最大值为.y014.在椭圆x2y21上有两个动点M，N，若K2,0为定点，且KMKN0，则369KMNM的最小值为.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为.16.设G是一个非空会合，是定义在G上的一个运算.假如同时知足下述四个条件：（ⅰ）对于a,bG，都有abG；（ⅱ）对于a,b,cG，都有(ab)ca(bc)；（iii）对于aG,eG，使得aeeaa；（iv）对于aG,a'G，使得aa'a'ae（注：“e”同（iii）中的“e”）.则称G对于运算组成一个群.现给出以下会合和运算：①G是整数会合，为加法；②G是奇数会合，为乘法；③G是平面向量会合，为数目积运算；④G是非零复数会合，为乘法.此中G对于运算组成群的序号是___________（将你以为正确的序号都写上）.三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(本小题满分12分)已知数列an知足a1511,4anan13n2.（I）求证：数列an1为等比数列，并求数列an的通项公式；（II）令bnlog2an1，求数列bn的前n项和Sn.高三数学（理科）试题第3页（共17页）18.（本小题满分12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示以下（单位：cm）：男女7155789998161845298356170275461241801119男生成绩在175cm以上（包含175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包含175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包含165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包含165cm）定义为“不合格”．I）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；II）在五年一班的男生中随意选用3人，求起码有2人的成绩是合格的概率；（III）若从五年一班成绩“合格”的学生中选用2人参加复试，用X表示此中男生的人数，写出X的散布列，并求X的数学希望．19、（本小题满分12分）如图（1），在等腰梯形ABCD中，ABPCD，E,F分别为AB和CD的中点，且ABEF2，CD6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB平面EFDA，如图（2）所示，N是线段CD上一动点，且CNND.（Ⅰ）当1时，求证：MNP平面ADFE；2（Ⅱ）当1时，求二面角MNAF的余弦值.CNCFMDBFDMBEAEA(1)(2)高三数学（理科）试题第4页（共17页）20.（本小题满分12分）动点P在抛物线x2uuuur1uuur2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设PMPQ.（I）求点M的轨迹E的方程；2（II）设点S4,4，过N(4,5)的直线l交轨迹E于A,B两点，设直线SA,SB的斜率分别为k1,k2，求k1k2的最小值.(本小题满分12分)已知函数f(x)1x(acos)，aR.ex（I）若函数f(x)存在单一减区间，务实数a的取值范围；（II）若a0，证明：x1,1，总有f(x1)2f(x)cos(x1)0.2高三数学（理科）试题第5页（共17页）请考生在22，23，24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知四边形ABCD为eO的内接四边形且BCCD，其对角线AC与BD订交于点M，过点B作eO的切线交DC的延伸线于点P.（Ⅰ）求证：ABMDADBM；（Ⅱ）若CPMDCBBM，求证：ABBC.

AOBMDCP23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程xm2t已知直线l的参数方程为2(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴2t2为极轴成立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos232sin212，且曲线C的左焦点F在直线l上.（I）若直线l与曲线C交于A,B两点，求FAFB的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为p，求p的最大值.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知x0R使得对于x的不等式x1x2t错误!未找到引用源。成立．(I)求知足条件的实数t的会合T；(Ⅱ)若m1,n1，且对于tT，不等式log3mlog3nt恒成立，试求mn的最小值.高三数学（理科）试题第6页（共17页）2016年沈阳市高三教课质量监测（二）数学（理科）参照答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解答不一样，可依据试题的主要考察内容对比评分标准制定相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超出该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一．选择题9.A10.C11.D12.B一．选择题1.解：会合B化简为1,2，依题可见选B.2.解：依题z22i，进而z2i，于是z1z234i，选C.3.rrr2r2rr5，或用坐标法直接计算，选B.解：由|a2b|a4b4ab4.解：由题f(f(1))f(log51)f(2)1，选B.252545.解：由题基本领件空间中的元素有：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)(6,1)，知足题意的有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3)，所以选B.6.解：由题sin21，所以sin22145，cos25，所以选C.5557.解：在长方体ABCDA1B1C1D1中,三棱锥PA1B1A的左视图中，B1、A1、A的射影分别是C1、D1、D.所以选D.8.解：由题f(x)sin(2x)cos(2x2)1263依题k2,kZ，所以3.这样f(x)sin(2x3)3又2x3,2，所以f(x)min3，选D.332高三数学（理科）试题第7页（共17页）解：A.10.解：由题b2b，所以ab，即离心率为2，选C.a11.解：如图，由于BADC90，所以DACB90，在ABD与ADC中，由正弦定理得ABDAD，DCAD，sinBADsinBsinDACsinC所以sinBADsinCsinBsinDAC，即cosCsinCsinBcosB，B所以sin2Csin2B，进而2C2B或2C2B，于是BC或BC2

CD.选D.12解：由于f(x)是偶函数，它的图象对于纵轴对称，所以不等式f(x)0的解集也应是对称的，所以D清除；当x0时，总有1)()ln(12)2()恒成立，即2xx2xf(x)ln(12)f(x)成立，也就是2)f(x)0恒成立，又由于x1x2f(x)ln(1x1x2ln(1x2)ln(1x)ln(1x)，所以(ln(1x2))1111x12x，所以即是xx2[f(x)ln(1x2)]0恒成立，可见函数g(x)f(x)ln(1x2)在（0，1）上单一递加，又由于函数yln(1x2)是偶函数，所以函数g(x)f(x)ln(1x2)是偶函数，所以在（1,0）上单一递111)g(1g(0)0，所以g(x)的图象以下：减。又f()f()0，所以g()2222所以在（1，1）时，g(x)0，而ln(1x2)0，所以f(x)0成立2y而在（1）0，而ln(1x2)0，所以f(x)0,2又由函数f(x)的图象对称性可知，选B.ox-11○二.填空题:13.42315.2316.①④14.33高三数学（理科）试题第8页（共17页）13.分析：14.解：由于KMKN0，所以由向量数目积的几何意义可知：uuuuruuuuruuuur22y2y2x2KMNMKMx2，又由于点M在椭圆上，则9，4uuuuruuuuruuuur222823，当x8时，带入上式，得KMNMKMx2y23x4333KMNM23获得最小值.3解：如图所示，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，则由题意可知，A'OB'OC'O1，OE'hh23h2，A'E'1，A'B'34，24此时三棱柱的体积为V33(h34h)，此中0h2.16令yh34h(0h2)，则y'3h24，令y'0，则h23，当0h2333时，y'0，函数y增，当23h2时，y'0，函数y减.故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为23.3316.解：①若G是整数会合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法知足联合律；（iii）0G,aG,则0aa0a；（iv）aG，在整数会合中存在独一一个ba，使a(a)(a)a0；故整数会合对于运算组成一个群；高三数学（理科）试题第9页（共17页）②G是奇数会合，乘法，e1,不足（iv）；③G是平面向量会合，数目运算,不足（i）abG;④G是非零复数会合，乘法，（i）两个非零复数相乘仍非零复数；（ⅱ）非零复数相乘切合合律；（iii）1G,aG,1aa1a；（iv）aG，在G中存在独一一个1，使a11a1.aaa三.解答17.解：(I)由an1an13知44an11(an11)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分4所以数列an1是以512首，1公比的等比数列.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分4an12112n，an2112n1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（II）112，bnn数列112n的前n和Tn，Tn10nn2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分当n5，SnTn10nn2；当n6，Sn2S5Tnn210n50；所以Sn10nn2,n5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分n210n50,n618.解：（I）五年一班的女生立定跳成的中位数165168166.5cm．⋯2分2（II）“有两人的成合格”事件A，“有三人的成合格”事件B，起码有两人的成是合格的概率P，P＝P（A）+P（B），又男生共12人，此中有8人合格，进而P(A)C41C82，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4分C1233P(B)C83，所以p42.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分C1255高三数学（理科）试题第10页（共17页）（III）因女生共有18人，此中有10人合格，依意，X的取0,1,2.P(X0)C80C1025，P(X1)C81C10180C82C10028C18217C182，P(X2)，153C182153(每1分)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分所以，X的散布列以下：X012P5802817153153∴051802281368．（未化不扣分）⋯⋯12分E(X)（人）171531531539（或是，因X听从超几何散布，所以E(X)28818（人）919.解：（Ⅰ）点M作MPEF于点P，点N作NQFD于点Q，接PQ.由意，平面EFCB平面EFDAMP平面EFDA，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分MPEF且MPBECF22，EFCFEF平面CFDEFDFNQEFNQ平面EFDA，⋯⋯⋯4分NQ平面CFDNQFD又CN1ND，NQ2CF2，即MP//NQ，23可知MNPPQ且PQ平面ADFE，MNP平面ADFE.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）以F坐原点，FE方向x，FD方向y，FC方向z，成立如所示坐系.z由意，M(1,0,2)，A(2,1,0)，CF(0,0,0)N，MFyDB高三数学（理科）试题第11页（共17页）x

EAC(0,0,3)，D(0,3,0)，N(0,3,3)22平面AMN的法向量平面ABCD的法向量，ur即n1(1,1,1)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分uuur(2,1,0)，FN(0,3,3)，在平面FAN中，FAuur22即n2(1,2,2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分uuruur3，又由可知二面角cosn1,n2MNAF的平面角是角，9所以二面角MNAF的大小的余弦3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分920.解：（I）点M(x,y)，P(x0,y0)，由PM1x0xPQ，得y0，22y因点P在抛物x22y上，所以，x24y.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（II）方法一：由已知，直l的斜率必定存在，点Ax1,y1，Bx2,y2，yk(x4)5立，x24y得，x24kx16k200，x1x24k⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分由达定理，得.x1x216k20当直l点S即x14或x24，当x14，直SA的斜率看作抛物在点A的切斜率，k2，117；k2，此k1k288同理，当点B与点S重合，k117k2（学生假如没有，不扣分）8高三数学（理科）试题第12页（共17页）直l不点S即x14且x24∵k1y14,k2y24，x14x24k1k2(kx14k1)(kx24k1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分(x14)(x24)k2x1x2(k4k2)(x1x2)16k28k1x1x24(x1x2)1618k1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分32k44故k1k22k1k2211，4所以k1k2的最小1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分方法二：同上y14y24x124x224144k1-k2x14x24x14x244x1x2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分x1x2x1x2216k2416k204x1x24k24k54k224,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分1所以k1k2的最小1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分方法三：点Ax1,x12，Bx2,x22，由直lN(4,5)交迹E于A,B两点得:44x125x22544,化整理得:x14x24x1x24x1x220,令x1x2=t,则x1x24t20,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分高三数学（理科）试题第13页（共17页）y14y24x124x224144k1-k2x14x24x14x244x1x2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分1x1x21x1x221x1x2244x1x2204x1x2而4441t216t201t82161.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分4421.解：（I）由已知，得f(x)e1x(acosx)e1xsinxe1x(a(sinxcosx))⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因函数f(x)存在减区，所以方程f(x)0有解.而e1x0恒成立，即a(sinxcosx)0有解，所以a(sinxcosx)max.又sinxcosx2sin(x)2,2，所以，a2.⋯⋯⋯⋯⋯5分4(II)因a0，所以f(x)e1xcosx，所以f(x1)ex2cos(x1)ex2cos(x1).因2f(x)cos(x1)21x(sinxcos)cos(x1)，ex所以f(x1)2f(x)cos(x1)cosx1ex22e1xsinxcosx又于随意x1,1，cos(x1)0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分2要原不等式成立，只需ex22e1x(sinxcosx)0，只需e2x122sin(x)，于随意x1,1上恒成立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分42高三数学（理科）试题第14页（共17页）设函数g(x)2x222sin(x)，x1,1，42则g(x)222cos(x)22(2cos(x))，424当x1,0时，g(x)0，即g(x)在1,0当x0,1时，g(x)0，即g(x)在0,122

上是减函数，上是增函数，所以,在1,1上，g(x)ming(0)0，所以g(x)0.2所以，22sin(x)2x2，（当且仅当x0时上式取等号）①10分4设函数h(x)e2x1(2x2)，x1,1，则h(x)2e2x122(e2x11)，2当x1,1时，h(x)0，即h(x)在1,1上是减函数，22当x1,1时，h(x)0，即h(x)在1,1上是增函数，2222所以在1,1上，h(x)minh(1)0，所以h(x)0，22即e2x12x2，（当且仅当x1