高考数学不等式考点,高考数学不等式题及解析

考点03系等关系

受八、、。丁，♦]

【命题解读】

不等式是每年高考都要考察的内容，数学就是研究各种变量间的关系的，因此可以说就

是研究相等与不等的，不等式的考察主要有不等式的性质、解法和证明应用等，常常与函数、

数列、导数等相结合。在解答题中是必考的，在集合和函数的定义域、单调性、极值、最值

等方面都有，因此应用比较广泛。

【命题预测】

预计2021年的高考不等式的考察还是必须的，对于题目的难易度来说，易、中、难都

有，主要是以数学运算和逻辑推理为主。

【复习建议】

集合复习策略:

1.理解不等关系以及不等式的性质，高考对不等式的考察还是比较稳定的;

2.掌握不等式的应用，高考主要是考察不等式的各种应用;

3.掌握与不等式考察有关的知识点。

考向一比较大小

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法

a-b>0<=>a>b,

a-b=0=Q=b,

a-b<0=a<b.

(2)作商法

>l(a^R,b>0)<=>a>6(aGR,b>0),

b

a

<—=l=Q=b(a,bW0),

b

a

—<l(a^R,b>0)»a<Z?(a^R,b>0).

典例剧折

1.己知/=a+2Z?,s=〃+。2+1,则/和S的大小关系为

A.t>SB.t>s

C.t<SD.t<s

【答案】D

222

【解析】s-t=a+b+1-a-2b=b-2Z?+1=(fe-1)>0,故有s>tf

故选D.

2.12020陕西省期末】若P=&i+&i+7,Q=Ja+3+Ja+4(aNO),则P，2的大

小关系是()

A.P<QB.P=QC.P>QD.P,Q的大小由。的

取值确定

【答案】A

［解析］因为p2_Q2=2&7^+7-2Vfl+3To+4=2耳+7。-2址+7。+12<0，

P,Q>o,所以P<。，故选A.

考向二不等式性质

1.对称性（双向性）

2.传递性b>c=a>c（单向性）

3.可力口性:〃>/?=〃+c2b+c（双向性）；

a>b,c>d=a+c>〃+d（单向性）

4.可乘性:〃>/?,c>O=>ac>hc；

a>b,c<O=>ac<bc；

a>b>09c>d>0n〃c>0d（单向性）

5.乘方法则:。>b>0=〃W（〃eN,e1）（单向性）

6.开方法贝iJ:a>Z?>O=V^>YK（〃£N,色2）（单向性）

口典例剧新

1.如果实数。力满足：avbvO,则下列不等式中不成立的是（）

A.向+力>0B.—>—C./?'<0D.---->—

aba-ba

【答案】D

【解析】由avbvO,得同>向=>同一人>同一>=0,A正确；

由avZ?v0,得一〉一,B正确；

ab

由。3=（。_6）（。2+而+/；2）=（a+；6）.

又avZ?vO,

贝Ija—bvO,

所以/—//<（）,c正确.

由av6v0,

得一人>0,

所以0>a—,

则一[<▲,D错误.

a-ba

故选D.

2.12020江苏省期末】若实数加，〃满足〃2>〃，则下列选项正确的是（）

3

A.lg（w-n）>0B.g）C.m-^>0D.M>[〃|

【答案】C

【解析】根据实数加，〃满足加>",取m=0,n=~],则可排除43£）.

因为函数>=/在定义域上单调递增，因为〃?>〃，所以加3>“3,即加3一〃3>0

故选C.

3.12020浙江省杭州第二中学高三其他】若a+6>0,则（）

A.ln«+lnZ>>0B.>0C.tana+tan/>>0D.|ct|>|/?|

【答案】B

【解析】由。>一6得/>（_姆=_心所以^+川〉。

对于A,取a=〃=l,不成立；对于。取a=Z?=;r,不成立；对于。取a=b=l,不成立.

故选B.

%、检测训练

题组一（真题在线）

1.【2020年新高考全国I】已知心0,h>0,且a+氏1,则

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log2a+log2b>-2D.4a+4b<y/2

2.【2019年高考全国I】已知。=log2（）.2,b=产,C=0.2°3，则（）

a<h<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

3.【2019全国HI卷】若a>。，则（）

A.ln（a-/?）>0B.3"<3"

c.a3-/>3>0D.Ia|>|/?|

02

4.12019天津高考理科】己知a=logs2,b=log050.2,c=O,5.则a,匕,c的大小关

系为（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD,c<a<b

5.[2020年高考天津】设“eR,则“a>1”是“/〉。”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题组二

1.12020浙江省课时练习】已知a,6,c满足cvbva,且acvO,那么下列选项中不一

定成立的是（）

A.ah>acB.c（Z?-«）<0C.cb1<ab2D.ac（a-c）<0

2.12020浙江省高一课时练习】已知a,beR,是“。|。|>/?|匕|"的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.12020浙江省高一单元测试】若-1<b<3,则°一匕的值可能是().

A.-4B.-2C.2D.4

4.12020安徽省六安中学期末(理)】函数八月=总则对任意实数即々，下列不等式总成

立的是()

(再+X2)/(%)+〃龙2)R，石+-1</a)+-

I2)2

D(占+尤2卜/(.)+/(*2)

5.12020黑龙江省哈尔滨三中期末(理)】若a,b,c,dwR,则下列说法正确的是()

A.若od,则4c>Z?dB.若a>。，则QC?〉人。？

C.若avbvO,则D.若a>。，则/>/?

ah

6.12020浙江省高一期末】已知数列｛，〃｝满足4>2,%+]=〃；_4,neN*，则下列

结论中不一定正确的是()

A.-4,〃wN*B.4>2(%-l)(q-1)

111113/、2/、2/、25

+++<+

c7vt|7a7)7。47。3^1I4•口.&-1)+3-1)+(4-1)<%+公1

7.12020福建省高一期末】下列命题为真命题的是()

A.若a>人>0,则。<?2>匕(?2B.若a<6<0,则/>出,>护

c.若a>方>0且c<0,贝哈哈D.若且贝！JabvO

ab

?答案解析

题组一

1.ABD【解析】对于A,a2+Z>2=«2+(1-«)2=2a2-2a+l=2^-11+|>1,

当且仅当a=b="!■时，等号成立，故A正确;

2

对于B,a—h=2a—\>—l,所以2""‘>2"=’,故B正确；

2

对于C,log,a+log2h=log2ah<log2=晦；=-2，

当且仅当a=〃=L时，等号成立，故C不正确；

2

对于D,因为(右+4丫=1+2族41+。+6=2,

所以右+血4血，当且仅当a=b=g时，等号成立，故D正确；

故选ABD.

2.B【解析】由对数函数的图像可知：a=log20.2<0；再有指数函数的图像可知：

b=20'2>1»0<c=O,203<1>于是可得到：a<c<h.

3.C【解析】由函数y=d在R上是增函数，且口>6,可得">/,即一匕3〉。

4.A【解析】a=log52<log56<g,

b=log050.2>log050.25=2,

0.5'<0,50-2<0.5(,>故;<c<l，

所以avcvb.故选A

5.A【解析】求解二次不等式“2>Q可得：a>l或a<0,

据此可知：。>1是片〉^的充分不必要条件.故选A.

题组二

LC【解析】因为a,C满足cvZ?va,且acvO,则a>0,c<0,所以a6>ac一定

成立；又因为人一。<0,所以cg—a)>0,即—a)<0一定不成立；

因为/是否为。不确定，因此cb?cab?也不一定成立；

因为a-c>0,所以ac(a-c)<()一定成立.

故选C

2.A【解析】由题意，若。>|勿，则。>|例..0,则”>万，所以。同=/,则a|a|〉b|b|成

立.当。=1力=一2时，满足“同>6网，但a>网不一定成立，所以a>⑸是”时>网的充

分不必要条件.

故选A.

3.C【解析】v-l<fe<3,.-.-2<a-b<3.故选C.

4.A［解析］依题意以吟工会）=止要_（步产）=（.；2）2对,故

/（须）+/（尤2）伊*］,所以A选项正确.

2I2）

故选A.

5.D【解析】A：根据不等式的性质可知当a>人>0,c>d>0时，，能得到ac>Z?d.例

如当〃=0力=-1,C=0,d=-\,显然。>b,c>d成立，但是ac>"/不成立，故本选

项说法不正确；

B：当。=0时，显然QC?〉/?才不成立，故本选项说法不正确；

h-a,，八,b-a

_11^11=>11,3TH

C：---------、♦:a<b<0,cih>0,h—Q>0------.....>0^—>一,故本选项

abahahabah

说法不正确；

D：—b~—（Q—/?）（/+Clb+/?"）=（4—b）［（QHb）~+二力

24

■.■a>b:.a-b>0,（a+-b）2+-b2>0=>ai-b3>0^ai>b3,故本选项说法是正确的.

24

故选D

6.C【解析】因为a“+i-a”=片一2a“%（4-2）,4>2,所以有4+i>%>%>2.

11111

又因为a=a^-a=a（a„-l）,斫以----二---------=------------=-------------

n+lnn。用4；一。〃%（见一1）〃〃一1a”

对于A选项，册+]>—4<=>a；—4>—4<=>—4%+4>0<=>（a”—2）>0>故

成立；

对于B选项，>2（6Z2-1）>2—•—=2—<=>>2,故成立；

a2a}a}

1111111

对于C选项，一+—+—+—=----r+-----<---7+1,故不成立；

a

qa2%44.1%—1%―1

对于D选项，（%—1）~+（生—1）~+伍4-1）=a；+魅+a；—2（%+生+%）+3

=(%+%)+(%+%)+(4+。5)—2(%+G+包)+3=。5_%+3<。5+1<々5+：，故

成立,故选C.

7.BCD【解析】选项A：当c=0时，不等式不成立，故本命题是假命题;

a<b>a<b

选项B:\cr>ah.\nab>b；，a~9>ab>b：所以本命题是真命题;

a<0[b<0

选项C:。>6>0=。c2>/c>0=0<1Ijc.>本c，所以本命题是真命题;

选项D:>0=>0,v2«>&.-.ab<0,所以本命题是真

ababab

命题，所以本题选BCD.

考点。4基域系号式

0史-0—52^.I..T11,/

【命题解读】

基本不等式是高考的一个重点，根据近几年的高考分析，基本不等式的考察主要是利用

基本不等式求最值，求未知参数的范围等等，题目难度主要集中在中难度上，基本不等式牵

扯到的知识点比较多，主要集中在导数、数列、三角函数、解析几何等等。

【命题预测】

预计2021年的高考对于基本不等式的考察还是和往年一样，变化不是很大，主要集中

在应用上。

【复习建议】

集合复习策略：

1.理解基本不等式以及几个重要的不等式；

2.掌握基本不等式求最值等方面的应用。

考向一基本不等式

1.基本不等式早

⑴基本不等式成立的条件：4>0,b>0.

（2）等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.

2.几个重要的不等式

（l）a2+b2>2ab（a,bGR）.

（2/+经2小6同号）.

（3）叱（誓）2（4,feeR）.

（4）（—）V/（a,h&R）.

3.算术平均数与几何平均数

设a>0,h>0,则a,b的算术平均数为等，几何平均数为病，基本不等式可叙述为：两

个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题

已知x>0,y>0,贝

⑴如果积孙是定值p,那么当且仅当时，x+y有最小值，是2诉（简记:积定和最小）.

（2）如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时，町有最大值，是《（简记:和定积最大）.

典例剧新

,,1

1.若实数a,b满足曲>0,则/+〃+一+1的最小值为（）

2ab

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】因为。8>0,则----+\..2ab-\-----F1..2.2ab*---->-1=3,

2ab2abV2ab

1J?

当且仅当2ab=——且a=b时取等号，即。=匕=注时取等号,

lab2

此时取得最小值3.

故选：B.

2.12020甘肃省静宁县第一中学高三其他（理）】若圆（》—2）2+（丫—1）2=5关于直线

21

ax+by-l=0（。>0,/?>0）对称，则一+一的最小值为（）

ah

A.4B.472C.9D.972

【答案】C

【解析】由题意知圆心（2,1）在直线6+勿-1=0上，则2。+匕=1.又因为。>0,〃>0,所

以2+，=（2+J_］（2a+b）="+%+5..9,当且仅当女=生时，即4=。=工时取等

abyab）abab3

1

32

3.12020河北易县中学高三其他】已知m,〃是函数/（x）3-X-X-vaxia>0)的两

41

个极值点，则一+一的最小值为（）

mn

95

A.-B.9C.5

22

【答案】A

【解析】由题可知/'(x)=x2—2x+a(a>0).

因加，〃为函数/(%)的两个极值点，

所以m+〃=2,mn=(7>0,故/篦>0,n>0,

又△=4-4。>0,则且0<。<1

…41If4IV、1(m4Q、9

所以_+_=7_+_(m+/?)=-5c+—+——>-,

mn2\mn)nmJ2

yiAOO

当且仅当"T蓝‘即〃，‘〃二时取得最小值小

8

此时。=〃7〃=一，符合条件.

9

故选A

考向二基本不等式应用

1.基本不等式与函数相结合，在函数中的应用；

2.基本不等式在求解恒成立问题中的应用，以及求解未知参数等问题。

典例剧新

（

1a\

1.12020浙江省单元测试】已知不等式（x+y）—+—29对任意实数X、y恒成立，则

I》y）

实数。的最小值为（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】：（x+y）-1+—|=—+2+6!+1

八yary..一

若孙vO,则2<0,从而一+2+。+1无最小值，不合乎题意;

若？＞0,则上＞0,-＞o.

_axy_

①当。<0时，一+2+。+1无最小值，不合乎题意；

y工

奴，（］、

②当a=0时，---F—+^z+l=—+1>1,则（冗+y）—+—29不恒成立；

y尤Xy）

③当a>0B寸，

/x1aaxy一

（x+y）—+—=F—+a+l>2竺•上+Q+1=Q+2&+1=（G+1）,

y）yx

当且仅当y=JZx时，等号成立.

所以，（右+1『29,解得424,因此，实数。的最小值为4.

故选C.

2.【2020湖南省雅礼中学月考】函数/（幻=1+1（唱“》3>0,。工1）的图像恒过定点4,若

点A在直线如+町一2=0上，其中〃?”>0,则'+'的最小值为（）

mn

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由题意可得函数/（》）=1+1。8〃双。＞0,。71）的图象恒过定点4（1,1）,

又点A在直线〃a+"，-2=0上，〃?+〃=2,

.1il/lI、,nm、，cnm-

••I=一(—I—)(帆+zi)=1H----1----21+2.1—x—=2,

mn2mn2m2nV2m2n

rim

当且仅当一=—,即加=〃=I等号成立，

2m2n

所以—I—的最小值为2.

mn

故选B.

事检测训练

题组一（真题在线）

1.【2020年高考江苏】已知5/y2+)/*=[(乂丫€玲，则丁+丁的最小值是.

11Q

2.【2020年高考天津】已知a>0,。>0,且,洒=1,则——+—+——的最小值

2alba+b

为.

3.【2020年新高考全国I卷]已知“>0,b>0,且a+b=l,则

A.a2+b2>-B.T-b>-

22

C.log,a+log,b>-2D.4a+4b<41

(x+l)(2y+l)

4.12019天津高考理科】设x>0,y>0,x+2y=5,则-----T=----的最小值为

5.12017山东高考】若。知＞0,且"=1,则下列不等式成立的是（）

A.a+J<4<log2(a+b)B.^<log(a+b)<a+\

DZZ2D

C.〃+^vlog2(a+。)<。D.Iog2(a+b)<a+；〈去

6.12018天津卷】已知a,且。-3/?+6=0,则2"+喜的最小值为.

7.【2019年新高考全国I卷】已知。，4C为正数，且满足加七=1,证明：

(1)-+-+-<a2+b~+c2

abc

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3>24

题组二

1.12020河北省正定中学高三质量检测数学】圆龙2+丁+4》-6^+1=0关于直线

32

必一分+8=0(。>0力>0)对称，则二+一的最小值是

ah

A.25/6B.3C.—D.

2.12020浙江省高一单元测试】已知不等式(x+y)^+5]^9对任意实数X、N恒成立，

则实数。的最小值为()

A.8B.6C.4D.2

3.【2020山东省高三其他】在三棱柱ABC-A4G中，A3=BC=AC,侧棱A、，底

面ABC,若该三棱柱的所有顶点都在同一个球。的表面上，且球。的表面积的最小值为4万,

则该三棱柱的侧面积为()

A.6百B.3丛C.3亚D.3

4.12020浙江省单元测试】已知函数y=x+’+l(x<0),则该函数的().

x

A.最小值为3B.最大值为3

C.没有最小值D.最大值为-1

5.12020河北易县中学高三其他(理)】已知函数f(x)=|x+l|-|x-2].

(1)求不等式/(x)21的解集；

⑵记“X)的最大值为，小且正实数。，。满足力匕+五匕=加，求6的最小值.

6.12020河北省衡水中学高三三模(理)】已知函数〃x)=|"-3],不等式/(x)W2的解

集为{x|l〈x<5}.

(1)解不等式/(x)v2〃x+l)-l；

(2)若加23,〃23,/(m)+/(n)=3,求证：—+—>1.

mn

堂答案解析,

题组一

4

1.-【解析】V5x2/+/=l

y工0且f

42%当且仅当土苓，即时

•・•x2+y2~=-1--y：—Fy-2=—1—+-4--y-22_x'W

5/5y25

取等号....f+y2的最小值为:

4

故答案为

118abab8

2.4【解析】a>0,b>0:,a+b>0,ab=\-----1------1-----=----1--1---

9'2a2ha+b2a2ba-vb

a+b8、Ca+b8

------+------>2J-------x------=4当且仅当。+/?=4时取等号,

2a+bV2a+b

结合而=1,解得a=2—6力=2+0，或a=2+有/=2-百时，等号成立.

故答案为4

1\211

a-|--

3.ABD【解析】对于A,。2+/=/+（］一。）2=2/一2。+12722

当且仅当a=6='时，等号成立，故A正确；

2

对于B,a-b=2a-l>-l,所以2"“>2一|=4，故B正确;

2

a+Z?、~

I।o1c

对于C,log2a+log2h=log2ab<log2=§2/二-2，

当且仅当a=〃=1时，等号成立，故C不正确;

2

对于D,因为(J^+振)=1+2\[ab<\+a+b=2>

所以JZ+扬当且仅当a=o=g时，等号成立，故D正确;

故选ABD.

(x+l)(2y+1)_2xy+x+2y+l

4.473【解析】

历而

x>0,y>0,x+2y=5,个>0,「.

塔里工2卧=46

8y/xy

当且仅当孙=3,即X=3,y=l时成立,

故所求的最小值为4G。

5.B【解析】利用特殊值法检验排除，当”=2力带时，选项A.C.D对应的不等式不成立，故选B.

6.i【解析】由已知得a-3b=-6,由基本不等式得2"+a2旧而4=；,当且仅当a=-3,b=l时

取等号.

7.【解析】(1)cihc=1>—I---1—=he+etc+cib.

ahc

口,^b1+c2,/+c2,+〃2

由基本不等式口]得：bc<------,ac<------,ab<------,

222

工日.3111^b2+c2er+C1er+b22-

于是得到一+—+—<------+-------+-------=a1+h-+c22.

abc222

_3

(2)3

由基本不等式得到：a+b>24ab=>(a+b)>S(aby'

33

b+c>2y[bc=>(/?+c)3>80c)2'c+a>2>/ac=>(c+tz)3>8(«c)2,

于是得到

333I33T

(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3>8[(ab)2+(bc)2+(ac)2]>8x3y/(ab)2(be)2(ca)2=24

题组二

LB【解析】根据圆的方程可知，圆心坐标为。(-2,3),而直线经过圆心，所以

一2。一3〃+8=0,

得2〃+3/?=8,因为。>0力>0,

321310

所以3+±=±x(2〃+3人)>—+—x2=3,

ab828

故选B.

z1aIaxv

2.C【解析】•」(x+y)—।—=----1----FQ+1.

y)yx

axy一

若冲<0,则上<0,从而---1■—+〃+l无最小值，不合乎题意;

Xy尤

cVx八

若孙>0,则2>0,->o.

xy

①当avO口寸，•一+2+。+1无最小值，不合乎题意；

y工

②当a=0时，—+-+a+l=^-+l>l,则(x+y)-+-29不恒成立;

)尤xy)

③当4>0时，

(x+y)—■+•—=—+—+6/+1>2।竺2+a+l=々+2>/^+1=(6+1),

y)yx

当且仅当y=时，等号成立.

所以，(五+1『29,解得。24,因此，实数。的最小值为4.

故选C.

3.B【解析】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为。］、。2,则。1。2的中点为。，

设球。的半径为R,则。4=R,设A8=8C=AC=a,AA^h,

则OU』，O1A=-x^-AB=^-a，

22323

则在向ZXOaA中，R2=O^=OO；+O^=-h2+-a2>2x-hx^-a=—ah，

-_43"233

当且仅当//=立。时，等号成立,

3

所以S球=4万A?24万所以ah=4兀,所以a〃=Ji，

所以该三棱柱的侧面积为3H?=3jL

故选B.

4.CD【解析】QxvO,・,・函数

丁=*+—+1=—（一元）+厂工+1„-2/（-%）•——+1=-1,当且仅当x=-l时取等

xL（-X）」V（一%）

号，，该函数有最大值-1.无最小值.

故选CD.

4

5.（1）[l,+oo）；（2）-【解析】（1）当时，/（工）=尤+1—（九-2）=321恒成立，

/.x>2,

当一l〈xv2时，f(x)=x+l+x—2=2x—1>1,解得1<x<2,

当xv—l时，/(%)=—(X+D+%-2=-321不成立，无解,

综上，原不等式的解集为口+8).

(2)由(1)m=3,—---1----—=3,

。+2b2。+。

2。+。

〃+/7=—[(〃+2勿+(2〃+/?)(------1-为干+黑

9a+2ha+2h

篝鬻V,当且仅当羔=鬻2

即a=〃=—时等号成立,

9

4

・・・。+/＞的最小值是

9

6.【解析】(1)由〃x)W2,得—2Wax—342,lWax<5,

“力42的解集为{刈。＜5},

Li

则a>0,1；，得a=l.

二=5

a

不等式〃x)<2/(x+l)—1可化为|x—耳<2卜—2]-1,

x>32<x<3x<2

则jx_3<2(x_2)_]或j_(x_3)<2(x—2)_]或j_(x_3)<_2(x_2)_]

8

解得xN3或一<x<3或x<0,

3

Q

所以原不等式的解集为{XIX<0或X>§}.

(2)因为m23,〃23,

所以/(“)+/(〃)=卜〃一3|十|〃一3|二"一3+〃-3=3,即机+〃=9.

141

所以一+—=—(/〃+〃

mn9

n4/71

当且仅当一=—,即相=3,〃=6时取等号.

mn

所以不等式得证.

考点05二次茁熬

一完二次系署式

受J,、、、']lri\

【命题解读】

二次函数一直以来都是一个必考知识，在高中的学习中，二次函数可以说是解决“二次

问题”的核心灵魂，在高考中二次函数、一元二次方程方程和一元二次不等式统称为“二次

问题”，对于高考题主要是利用二次函数解决一元二次不等式，借助二次函数图形利用数形

结合写出有关不等式的解集或者是未知参数的取值范围。几乎不会出现直接求解二次函数的

题目，因此在复习的过程中要把二次函数和一元二次不等式相结合复习。

【命题预测】

预计2021年的高考对于二次函数的考察，还是紧靠一元二次不等式，难度不会太大，

比如集合部分和函数定义域部分的求解比较简单，稍有难度的主要还是数形结合出题，整体

保持稳定。

【复习建议】

集合复习策略：

1.掌握三个“二次”的关系；

2.理解二次函数的图象；

3.掌握数形结合求解的精髓。

考向一二次函数

1.二次函数解析式的求解，待定系数法，图象法；

2.二次函数最值的求解，以及与二次函数有关的恒成立问题。

品典例剧新

1.【2020黑龙江省大庆中学期末】已知函数/(x)=f+法+cS,ceR),且/(x)W0的

解集为

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)解关于犬的不等式时(X)>2(》一〃7-1),(/"20)；

(3)设g(x)=2“小缄t,若对于任意的西,々6[-2,1]都有|g(xJ-g(X2)区M,求M的

最小值.

【答案】(1)f(x)=x2-x-2(2)答案不唯一，具体见解析(3)—

16

【解析】(1)因为/(x)WO的解集为[-1,2],所以》2+云+°=0的根为一1,2,

所以一〃=1,c=—2,即Z?=—1,c——2；所以/(%)=%2一%一2；

(2),化简有机(f一％—2)>20-加一1),整理(3-2)。-1)>0,

所以当m=0时，不等式的解集为(-8,1),

当o<根<2时，不等式的解集为(-℃,1)

当m=2时，不等式的解集为(-8,1)11(1,+8)，

2

当机>2时，不等式的解集为(―00,—)U(l,+8)，

(3)因为xe[—2,l]时/(x)+3x—l=f+2x—3,根据二次函数的图像性质，有

f(x)+3x-l=x2+2x-3e[-4,0],

则有g(x)=2""T=2『+2X-3，所以，g(x)G焉」,

因为对于任意的XPX2€[-2,1]都有|g(xj-g®)的M,

叩求lg(X)-g(X2)lMov«M，转化为|g(X)Mov-g(X)MMWM，

而g(X)Ato=g6=l，g(x)丽,=g(-D=上，所以，

16

此时可得M2与，

16

所以M的最小值为彳.

16

Q

2.【2020湖南省高三其他（理”已知函数/■（无）=3x+—+a关于点（0,-12）对称，若对任

x

意的1,1],匕2'-/（2*）20恒成立，则实数上的取值范围为（）

A.Zr<-llB.A：>-11C.k<lD.A:>11

【答案】D

Q

【解析】由y=3x+—为奇函数，可得其图象关于（0,0）对称，

x

可得/（X）的图象关于（0,。）对称，

o

函数/(x)=3x+-+a关于点(0,-12)对称，可得a=—12,

x

对任意的Xk-2V-/(2V)>()恒成立，

Q

即入2'»3-2'+2—12,在xe［-1,1］恒成立，

2X

812

所以420^—57+3,在XG-1,1］恒成立，

令f=由可得fw：,2,

212

(313

设〃(f)=8〃—12f+3=8r--

、4J2

当r=2时，加。取得最大值ii,

则k的取值范围是kNil,

故选D.

考向二一元二次不等式

1.一元二次不等式的求解；

2.与一元二次不等式有关的恒成立问题。

典例剧折

1.12020浙江省期末】若对任意的xe（O,+8）,不等式V一公+2>0恒成立，则实数。的

取值范围为（）

A.（-oo,2>/2）B.（-272,272）

C.（2血,+8）D.（-OO,2A/2）U（2V2,+OO）

【答案】A

2

【解析】因为xw（0,+8）时，X2一6戊+2>（）恒成立，所以a<x+-在xw（0,+8）恒成

X

立，

因为》+222、仁=2夜，当且仅当尤=2,即》=夜或（舍）等号成立，

xVxx

所以。<2及，

故选A

2.已知集合A={x|x（x+l）>0},3={x|y=log2（x-l）},则4口8=（）

A.{x|x>l}B.{x|x>0}c.{x|0<x<l}D.0

【答案】A

【解析】•.•集合A={x|x（x+l）>0},

.,.集合A={x|x<-1或x>0},

•.,集合8={x|y=log2（x-1）},

集合5={x|x>l},AC|5={X|X>1},

故选A.

3.若不等式⑪2+bx+c>。的解集为{x|-l<x<2},那么不等式

a（》2+1）+/7a-i）+c>2ax的解集为（）

A.{x|-2<x<l}B.{%|%（-2批）1}

C.{x[x（0曲）3}D.{x|0<x<3}

【答案】D

【解析】因为不等式0?+法+。>0的解集为{x|T<x<2},所以—1和2是方程

bc

ox?+法+0=0的两根，旦。<0,所以—=-1+2=L—=-2,即/?=—〃，c=—2。,代

aa

入不等式+l)+h(x-l)+c>2ax整理得々(J-3x)>。，因为〃<0,所以

x2-3x<0,

所以0<x<3,

故选D

学检测训练