绝对值三角不等式

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绝对值三角不等式第一页，共二十一页，2022年，8月28日（一）绝对值的定义：

对任意实数a，

复习第二页，共二十一页，2022年，8月28日问题我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学能回答？或.当时，有：第三页，共二十一页，2022年，8月28日（二）绝对值的几何意义：

实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离（图1）。

如：|-3|或|3|在数轴上分别等于点A或点B到坐标原点的距离。|a|OAx第四页，共二十一页，2022年，8月28日

由绝对值的几何意义可知，A、B之间的点与坐标原点的距离小于3，可表示为：

即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3第五页，共二十一页，2022年，8月28日

同理，与原点距离大于3的点对应的实数可表示为：

如图第六页，共二十一页，2022年，8月28日

设a,b是任意两个实数，那么|a-b|的几何意义是什么？x|a-b|abAB第七页，共二十一页，2022年，8月28日探究

用恰当的方法在数轴上把|a|，|b|，|a+b|表示出来，你能发现它们之间有何关系？

定理1

如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立。绝对值三角不等式第八页，共二十一页，2022年，8月28日

如果把定理1中的实数a,b分别换为向量，能得出什么结论？你能解释其几何意义吗？探究？(1)当不共线时有(2)当共线且同向时有绝对值三角不等式第九页，共二十一页，2022年，8月28日如何证明定理1?探究

你能根据定理1的研究思路,探究一下|a|，|b|，|a+b|,|a-b|之间的其它关系吗?|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|结论:第十页，共二十一页，2022年，8月28日注意：1

左边可以“加强”同样成立，即

这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3

同号时右边取“=”，

异号时左边取“=”推论1：

推论2：证明：在定理中以

即：

第十一页，共二十一页，2022年，8月28日定理探索当时，显然成立，当时，要证只要证，即证而显然成立．

从而证得.

第十二页，共二十一页，2022年，8月28日定理探索还有别的证法吗？

由与，得.用可得什么结论？当我们把看作一个整体时，上式逆第十三页，共二十一页，2022年，8月28日定理探索证明吗？能用已学过得的可以表示为

即即.就是含有绝对值不等式的重要定理，

第十四页，共二十一页，2022年，8月28日例题求证.例2

已知，证明：第十五页，共二十一页，2022年，8月28日例题例3

求证.证明：在时，显然成立.当时，左边

第十六页，共二十一页，2022年，8月28日练习②已知求证.1．①已知，求证.②.①；2．已知，求证：第十七页，共二十一页，2022年，8月28日第十八页，共二十一页，2022年，8月28日

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