2022-2023学年浙江省湖州、衢州、丽水三地市数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知点到直线的距离为1，则的值为（）A． B． C． D．2．已知向量，，则，的夹角为（）A． B． C． D．3．等差数列中，若，则=()A．11 B．7 C．3 D．24．对变量有观测数据，得散点图(1)；对变量有观测数据（，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断()A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关5．已知变量x，y的取值如下表：x12345y1015304550由散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归直线的方程为，据此可预测：当时，y的值约为（）A．63 B．74 C．85 D．966．在等比数列中，则（）A．81 B． C． D．2437．若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（）A． B． C． D．8．用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为（）A． B．， C．， D．，9．如图为A、B两名运动员五次比赛成绩的茎叶图，则他们的平均成绩和方差的关系是（）A．， B．，C．， D．，10．已知等差数列{an},若a2=10,a5=1,则{an}的前7项和为A．112 B．51 C．28 D．18二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在ΔABC中，角A,B,C所对的对边分别为a,b,c，若A=30∘，a=7，b=212．某扇形的面积为1，它的周长为4cm，那么扇形的圆心角的大小为____________.13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，b=1,则_____________14．中，内角，，所对的边分别是，，，且，，则的值为__________．15．在中，角为直角，线段上的点满足，若对于给定的是唯一确定的，则_______．16．在四面体ABCD中，平面ABC，，，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．解关于不等式：18．在国内汽车市场中，国产SUV出现了持续不退的销售热潮，2018年国产SUV销量排行榜完整版已经出炉，某品牌车型以惊人的销量成绩击退了所有虎视眈眈的对手，再次霸气登顶，下面是该品牌国产SUV分别在2017年与2018年7～11月份的销售量对比表时间7月8月9月10月11月2017年（单位：万辆）2.83.93.54.45.42018年（单位：万辆）3.83.94.54.95.4（Ⅰ）若从7月至11月中任选两个月份，求至少有一个月份这两年该国产品牌SUV销量相同的概率．（Ⅱ）分别求这两年7月至11月的销售数据的平均数，并直接判断哪年的销售量比较稳定．19．如图，在四棱锥中，，，，，，，分别为棱，的中点.（1）证明：平面.（2）证明：平面平面.20．已知函数．（1）求（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．21．若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“和一点”.（1）函数是否有“和一点”？请说明理由；（2）若函数有“和一点”，求实数的取值范围；（3）求证：有“和一点”.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据点到直线的距离公式列式求解参数即可.【详解】由题,,因为,故.故选：D【点睛】本题主要考查了点到线的距离公式求参数的问题,属于基础题.2、A【解析】

由题意得，即可得，再结合即可得解.【详解】由题意知，则.，则，的夹角为.故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于基础题.3、A【解析】

根据和已知条件即可得到．【详解】等差数列中，故选A．【点睛】本题考查了等差数列的基本性质，属于基础题．4、C【解析】

根据增大时的变化趋势可确定结果.【详解】图（1）中，随着的增大，的变化趋势是逐渐在减小，因此变量与负相关；图（2）中，随着的增大，的变化趋势是逐渐在增大，因此变量与正相关.故选：【点睛】本题考查根据散点图判断相关关系的问题，属于基础题.5、C【解析】

由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，取求得值即可．【详解】由题得，．故样本点的中心的坐标为，代入，得．，取，得．故选：．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6、A【解析】解：因为等比数列中，则，选A7、B【解析】

利用向量的数量积运算即可算出．【详解】解：，，又在上，故选：【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．8、D【解析】

根据题意验证，，时，不等式不成立，当时，不等式成立，即可得出答案.【详解】解：当，，时，显然不等式不成立，当时，不等式成立，故用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为，故选：.【点睛】本题考查数学归纳法的应用，属于基础题．9、D【解析】

根据题中数据，直接计算出平均值与方差，即可得出结果.【详解】由题中数据可得，，，所以；又，，所以.故选D【点睛】本题主要考查平均数与方差的比较，熟记公式即可，属于基础题型.10、C【解析】

根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前项和可得解.【详解】由等差数列的通项公式结合题意有:，解得：，则数列的前7项和为:，故选：C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项公式，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、32或【解析】

由余弦定理求出c，再利用面积公式即可得到答案。【详解】由于在ΔABC中，A=30∘，a=7，b=23，根据余弦定理可得：a2=b所以当c=1时，ΔABC的面积S=12bcsinA=32故ΔABC的面积等于32或【点睛】本题考查余弦定理与面积公式在三角形中的应用，属于中档题。12、【解析】

根据扇形的面积和周长列方程组解得半径和弧长，再利用弧长公式可求得结果.【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，则，解得，所以.故答案为：【点睛】本题考查了扇形的面积公式，考查了扇形中弧长公式，属于基础题.13、2【解析】

根据条件，利用余弦定理可建立关于c的方程，即可解出c.【详解】由余弦定理得，即，解得或（舍去）.故填2.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.14、4【解析】

利用余弦定理变形可得，从而求得结果.【详解】由余弦定理得：本题正确结果：【点睛】本题考查余弦定理的应用，关键是能够熟练应用的变形，属于基础题.15、【解析】

设，根据已知先求出x的值，再求的值.【详解】设，则.依题意，若对于给定的是唯一的确定的，函数在（1，）是增函数，在（，+）是减函数，所以，此时，.故答案为【点睛】本题主要考查对勾函数的图像和性质，考查差角的正切的计算和同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16、【解析】

易得四面体为长方体的一角,再根据长方体体对角线等于外接球直径,再利用对角线公式求解即可.【详解】因为四面体中,平面,且,.故四面体是以为一个顶点的长方体一角.设则因为四面体的外接球的表面积为,设其半径为,故.解得.故四面体的体积.故答案为：【点睛】本题主要考查了长方体一角的四面体的外接球有关问题,需要注意长方体体对角线等于外接球直径.属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、当时，；当时，；当时，；当时，；当时，【解析】试题分析：当时，；当时，当时，；当时，；当时，考点：解不等式点评：本题中的不等式带有参数，在求解时需对参数做适当的分情况讨论，题目中主要讨论的方向是：不等式为一次不等式或二次不等式，解二次不等式与二次方程的根有关，进而讨论二次方程的根的大小18、（Ⅰ）；（Ⅱ），，年销售量更稳定.【解析】

（Ⅰ）列举出所有可能的情况，在其中找到至少一个月份两年销量相同的情况，根据古典概型概率公式求得结果；（Ⅱ）根据平均数和方差的计算公式分别计算出两年销量的平均数与方差；由可得结论.【详解】（Ⅰ）从月至月中任选两个月份，记为，所有可能的结果为：，，，，，，，，，，共种情况记事件为“至少有一个月份这两年国产品牌销量相同”，则有：，，，，，，，共种情况，即至少有一个月份这两年国产品牌销量相同的概率为（Ⅱ）年销售数据平均数为：方差年销售数据平均数为：方差年的销售量更稳定【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、计算数据的平均数、利用方差评估数据的稳定性的问题；处理古典概型问题的关键是通过列举的方式得到所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，从而利用公式求得结果.19、（1）见解析（2）见解析【解析】

（1）由勾股定理得，已知，故得证；（2）由题，E为AB中点，，故ABCD为平行四边形，，由F为PB中点，EF为三角形APB的中位线，故，AP和AD相交于A，EF和CE相交于E，故得证．【详解】证明：（1）因为，，，所以，由所以.因为，，所以平面.（2）因为为棱的中点，所以，因为，所以.因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.因为，分别为棱，的中点，所以，所以平面.因为，平面，平面，所以平面平面.【点睛】本题考查直线和平面垂直的判定，平面和平面平行的判断，比较基础．20、（1）,的增区间是．（2）．【解析】试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式计算周期．（2）利用正弦函数的单调区间，再求的单调性．（3）求三角函数的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可．（4）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方．试题解析：（1）因为－1＝－1，故最小正周期为得故的增区间是．（2）因为，所以．于是，当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值－1．考点：（1）求三角函数的周期和单调区间；（2）求三角函数在闭区间的最值．21、（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）见解析【解析】

（1）解方程即可判断；（2）由题转化为2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分离参数a＝2x﹣2求值域即可求解；（3）由题意判断方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．【详解】（1）若函数有“和一点”，则不合题意故不存在（2）若函数f（x）＝2x+a+2x有“和一点”.则方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，即a＝2x﹣2有解，故a＞﹣2；（3）证明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），即cos（x+1）＝cosx+cos1