福建船政职院航海数学讲义03积分

PAGE第三章积分微积分中的两个基本概念：微分和积分，它们都来源于实践.在第二章中我们已经学习了导数与微分，本章我们将学习它的逆运算——积分.3．1原函数与不定积分3.1.1原函数与不定积分在第二章中我们所学的是已知一个函数，求这个函数的导数（微分）；现在是已知一个函数的导函数，求该函数的表达式.为此，先给出下面的几个概念和结论.1、若=（），则称函数为函数的一个原函数.2、函数若有一个原函数，则有无穷多个原函数，即有的形式.设，，则有.从而有，所以.即同一个函数的原函数间仅差一个常数.3、设是的一个原函数，称表示式为的不定积分，记为.即.（为任意常数）其中称为积分变量，函数称为被积函数,称为积分号，称为积分表达式.4、导数（微分）与不定积分具有如下的关系：；；；.即先积分后导数为自己，先导数后积分为自己加.例1∵，∴是函数的一个原函数.∴表示了函数所有的原函数，∴是的不定积分.即.注：(1)可以用求导的方法验证所求不定积分是否正确；(2)微分与积分是互逆的运算；（3）也可称为函数的原函数族；或称为函数的全体原函数.3.1.2直接积分法本节，我们专门学习如何求函数的不定积分.显然求不定积分实质上是求一个原函数的问题，而求导与求不定积分是互逆的运算，所以可以从导数的计算公式推出一些简单的不定积分公式.1、不定积分的性质：性质1.；性质2..2、不定积分的基本公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．以上公式是由16个导数公式推导出来的，如公式（5）的推导：由，两边同时积分，得，（先导后积），所以.运用性质和基本公式(有时需要作适当的变形)求得积分的方法，称为直接积分法.例2求不定积分.解原式.例3.解原式.例4求不定积分.解原式.例5求不定积分.解原式.例6求不定积分.解原式.例7求不定积分.解原式.例8求不定积分.解原式.例9求不定积分.解原式.注：(1)对被积函数要充分利用化乘除为加减的方法；(2)要熟练对被积函数使用三角公式化简的方法；(3)对被积函数要充分利用化假分式为真分式与多项式之和的方法；(4)不定积分的答案一定要且仅要加一个.练习题3.11．若的一个原函数为，则？2．若的一个原函数为，则？3．若，则？4．若的一个原函数为，则？5．若的一个原函数为，则？6．若，则？7.求下列不定积分：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12).8.已知函数的导数为，且当时，，求此函数．9.已知一条曲线在任一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数，且曲线过点，求曲线方程．3．2第一类型换元法大多数的积分，不能直接利用积分公式，可考虑用变量代换法，即可求得.设，求.作变量代换，令，有，则.或是用“凑微分”法，即.例1.解1令，则，，则原式.解2原式.例2.解1令，则，则原式.解2原式.通过上述两个例子，说明了求不定积分的一种方法，即利用变量代换，使所求的积分成为基本公式表中的形式，再利用公式得到答案，这种方法称为第一类型换元法或“凑微分”法.当读者熟练后，一般都不写出中间变量，而直接利用“凑微分”写出答案.例3.解原式.例4.解原式.例5.解原式.以下例题是先适当变形后再用凑微分法：例6.解原式.例7.解原式.例8.解原式.例9.解原式.例10.解原式.例11.解原式.例12.解原式.例13.解原式.例14.解原式.注：1、利用变量代换法，得到结论时要记住将变量回代；2、通常，我们用“凑微分”法而不用变量代换法求积分.练习题3.2求下列不定积分：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.；14.；15.；16.；17.；18.；19.；20.；21..3．3第二类型换元法有时被积函数较复杂，不能用前面所学的积分法求出积分，但当我们作了适当的变量代换后，所得到新的积分可以求得，这就是第二类型换元积分法.对于，设是的一个原函数.作变量代换，令，有，则.一般地，第二类型换元法的类型有：（1）含：作变量代换；（2）含：作变量代换；（3）含：作变量代换；（4）含：作变量代换.例1.解令，则.原式.例2.解令，则.原式.例3.解令，则.原式.图3.3.1例4.图3.3.1解令，则.原式.由作辅助三角形（如图3.3.1），由图中得，即原式.注：1、用哪类换元积分法，一般地说有其特定的题型.但不是绝对的，如例3，两种方法都适用；2、用变量代换法求不定积分需回代.练习题3.3求下列不定积分：1.；2.；3.；4.；5.6..3．4分部积分法有些形如的积分，用前面的求法都无效，可以用下述的分部积分法来解决.由微分的乘法法则，有，两边求不定积分，，所以.这就是分部积分公式.1、单一函数的积分例1.解原式.例2.解原式.例3.解原式.2、两个函数相乘的积分例4.解原式.例5.解原式.例6.解原式.例7.解原式.3、多次应用分部积分公式例8.解原式.例9.解原式.例10.解原式，移项得，原式.注：(1)若是单一函数，则，；(2)若是两个函数相乘，一般地选取求导数后变得快的函数为，如对数函数、反三角函数和幂函数.(3)若需要多次应用分部积分公式，则的选取应贯穿始终.练习题3.4求下列积分：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.； 8.；9.；10.；11.；10..3．5积分表的使用在以后的专业学习和实际工作中还会遇到很多的积分，仅靠以上所学的这些公式和方法不一定能完全解决问题.因此，有必要附上简明积分表以供查用.下面我们举例说明积分表的使用方法.例1.解查表中(一)类公式(10)，，，得原式.例2.解查表中(五)类公式(52)，，，得原式.例3.解查表中(十三)类公式(137)，，，得原式.注：有些题目需做适当的整理或变换，才能查积分表.练习题3.5利用积分表求下列各不定积分1.；2.；3.；4.；5.；6..3．6定积分的概念、性质和公式3.6.1定义和几何意义图3.6.1在这之前，我们能求规则图形(如矩形、梯形等)的面积，但无法求如图3.6.1所示的“曲边梯形”面积.下面，我们利用古人“穷竭法”的思想，获得求解“曲边梯形”面积的方法.图3.6.1(1)分割：用个分点….把区间分成n个小区间，，…，，每一个小区间的长度为….(2)求和：在每一个小区间上任取一点，作乘积的和式.(3)取极限：小区间的最大长度记为，则.从上面的分析可得：若函数在闭区间上连续，则和式极限必存在.此时，我们称和式的极限值为函数在闭区间上的定积分.记作，即.其中称为积分变量，与分别称为积分的下限与上限，函数称为被积函数，区间称为积分区间，称为积分号.因此，定积分的几何意义表示由曲线，，，所围成平面图形的面积的代数和.例1求.解将区间等分，得，取，则，作乘积的和式，则.注：1、定积分的值与积分区间的分法和积分变量无关；2、定积分的值与被积函数和积分的上、下限有关.3.6.2基本性质1、两个规定(1)；(2).2、性质(1)；(2)（为常数）；(3)；(4)；(5)若在区间上有，则有；(6)若在区间上连续，且，则；图3.6.2(7)积分中值定理：若在区间上连续，则在区间内至少存在一点（如图3.6.2），使图3.6.2.例2估计的值.解令，求导得，令，得.由，，，得在闭区间上的最大值和最小值为，.由性质(6)，，所以.3.6.3牛顿-莱布尼兹公式那么我们该怎么求解定积分？它与不定积分之间又有什么样的关系？设，显然可以把看作是关于为自变量的函数（简称为变上限函数），由定积分的定义知，表示从点到点的曲边梯形的面积，可以证明（略），所以是的一个原函数.因此，若是的一个原函数，则有.将代入得得，==，从而得；将代入得得，，即有=.通常，将记为，即.这就是牛顿－莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式.这个公式巧妙地将计算定积分的问题，转化为求函数的一个原函数的问题.因此牛顿－莱布尼兹公式是连接定积分与不定积分之间的一座桥梁，在积分学中起着重要的作用，通过它可以较简单地计算出定积分的值.3.6.4直接积分法例3求.解.例4.解.从理论上说，会求不定积分，再求定积分已不是问题.但我们还得注意定积分运算的具体特点.例5求定积分.解原式.例6求定积分.解原式.例7求定积分.解原式.例8已知，求定积分.解.注：1、定积分的答案不要加常数；2、如果定积分的上下限是常数，则答案一定是常数；3、要理解绝对值函数和分段函数的定积分方法；4、要熟练对被积函数使用化简或三角化简的方法；5、充分利用化乘除为加减和化假分式为真分式的方法.练习题3.61.估计定积分的值.（1）；（2）；（3）；（4）.2.比较下列积分值的大小：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与.3.计算定积分.4.设，求.5.计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；(4)；(5)；（6）.3．7定积分的积分法在学习了不定积分求解方法的基础上，我们可以很容易地应用牛顿－莱布尼兹公式求解定积分；同时求解不定积分时所使用的换元法和分部积分法在求解定积分时仍然适用，但应清楚它们之间的差异.3.7.1“凑微分”法(第一类换元法)例1.解原式.例2.解原式.例3.解原式.例4.解原式.注：定积分的“凑微分”法不必回代，不加，不要改变上下限.3.7.2第二类换元法在不定积分的基础上，可以利用换元法求解定积分.但应注意，做变量代换时，上下限也要跟着变换.例5.解令，则.原式.例6.解令，则.原式.例7设在上连续，证明：.证明由性质3，.令，则.所以，.当在上连续且为奇函数时，，所以；当在上连续且为偶函数时，，所以=.例8.解由于被积函数在上为奇函数，于是有.例9.解由于被积函数在上为奇函数，有.于是，原式.注：1、例7的结果可以作为公式来使用；2、要清楚定积分与不定积分的区别，找出它们各自在解法上的特点.定积分：①求出一个原函数不；②做了变量代换要变上、下限，不要回代；③当上、下限是常数时，答案一定是常数.3.7.3分部积分法公式.例10.解原式.例11.解原式.例11.解令，则，则原式.练习题3.7求下列定积分：1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.；14.；15.；16.；17.；18..3．8无穷积分本节主要解决积分区间为无限的情形.若在区间上连续，极限叫做在区间上的无穷积分，记为，即=.若存在，则称无穷积分收敛，否则称无穷积分发散.类似地可定义和.例1计算.解1原式=.解2原式.例2计算.解原式.例3计算.解原式.例4计算.解原式.注：1、可以采用例题1解法2的计算方法；2、，答案对，但算法在概念上错误（与在对称区间上定积分的性质不同）.否则，，.这是错误的，因为它们的积分值都不存在.练习题3.8计算广义积分的值：1.2.；3.；4.；5.；6.；7.；8..3．9定积分在几何方面的应用应用定积分来解决几何、物理、技术等方面的问题是一个常用的方法，本书只介绍定积分在几何方面的应用.3.9.1平面图形面积：由定积分的几何意义，表示由曲线，，，所围成的平面图形面积.因此，可以得到如下的结论：若时，则由曲线，，，所围成的曲边梯形的面积是(如图3.9.1示).(上–下)图图3.9.1同理，若时，则由曲线，，，所围成的曲边梯形的面积是.(右–左)求解面积的步骤：(1)画出简图；(2)求出曲线的交点，确定积分区间；(3)用定积分表示面积并求出解.例1求两条抛物线、所围成的平面图形的面积.解如图3.9.2示，解方程组，得交点及；图3.9.31图3.9.4-图3.9.31图3.9.4-1例2求由曲线，和所围成平面图形的面积.解如图3.9.3，由，得；得.例3求由曲线和所围成平面图形的面积.解如图3.9.4，由，得；图3.9.5.图3.9.53.9.2旋转体的体积由曲线，，，所围成的平面图形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积公式是(如图3.9.5示):.同理,由曲线，，，所围成的平面图形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积公式是.图3.9.61图3.9.711例4求由抛物线，直线和围成的平面图形绕轴及轴旋转一周所得旋转体的体积.图3.9.61图3.9.711解如图3.9.6示，；如图3.9.7示，.练习题3.91.求曲线，与轴围成的平面图形的面积.2．求曲线，，，所围图形的面积.3．求由直线和抛物线所围图形的面积.4．求曲线，，所围图形的面积.5.求曲线，，所围图形的面积.6．求曲线与所围图形的面积.7．求曲线，，，所围图形的面积.8．求由曲线在区间上的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积.9．求由抛物线、、与围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.10．求由抛物线与围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.复习题(三)1.判断正误：（1）一切初等函数在其定义区间上都有原函数；（2）若，则在上.（3）在上连续是在上可积的充分条件，但不是必要条件.（4）若，在上都不可积，则在上必不可积.（5）若，则有.2.填空：（1）.（2）设的一个原函数为，则．（3）若，则．（4）设的一个原函数为，则．（5）若，则．（6）设是的一个原函数，则．（7）已知，且，则．（8）设有连续导数，，，则．（9）．3．选择题：（1）设在上连续，则必有（）.(A)导函数；(B)不定积分；(C)极值；(D)最大值与最小值.（2）设连续函数在区间上不恒为零，、是的两个不同的原函数，则在上有（）.(A)=；(B)；(C)；(D).（3）连续曲线在区间上与轴围成三块面积、、，其中，在轴下方，在轴上方，已知，，，则（）.(A)；(B)；(C)；(D).（4）设的一个原函数是，则（）．(A) (B)(C)(D)（5）设的可导函数，则（）

．(A) (B) (C) (D)（6）设在上连续，则为（）.(A)小于零