2023届湖南省长沙雅礼中学数学高一下期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列的通项公式，前项和为，则关于数列、的极限，下面判断正确的是（）A．数列的极限不存在，的极限存在B．数列的极限存在，的极限不存在C．数列、的极限均存在，但极限值不相等D．数列、的极限均存在，且极限值相等2．某学校的A，B，C三个社团分别有学生人，人，人，若采用分层抽样的方法从三个社团中共抽取人参加某项活动，则从A社团中应抽取的学生人数为（）A．2 B．4 C．5 D．63．函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为（）A． B． C． D．4．直线的倾斜角不可能为（）A． B． C． D．5．若关于x的不等式x-1-x-2≥A．0,1 B．-1,0 C．-∞,-1∪0,6．设公差为－2的等差数列，如果，那么等于()A．－182 B．－78 C．－148 D．－827．各棱长均为的三棱锥的表面积为（）A． B． C． D．8．若实数x,y满足x2y2A．4，8 B．8，+9．在中，，，则的外接圆半径为（）A．1 B．2 C． D．10．在正方体中为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知实数，是与的等比中项，则的最小值是______．12．异面直线，所成角为，过空间一点的直线与直线，所成角均为，若这样的直线有且只有两条，则的取值范围为___________________.13．设ω为正实数.若存在a、b(π≤a<b≤2π)，使得14．某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1~5号，并按编号顺序平均分成10组（1~5号，15．把数列的各项排成如图所示三角形状，记表示第m行、第n个数的位置，则在图中的位置可记为____________．16．在等比数列中，，公比，若，则达到最大时n的值为____________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18．足球，有“世界第一运动的美誉，是全球体育界最具影响力的单项体育运动之一．足球传球是足球运动技术之一，是比赛中组织进攻、组织战术配合和进行射门的主要手段．足球截球也是足球运动技术的一种，是将对方控制或传出的球占为己有，或破坏对方对球的控制的技术，是比赛中由守转攻的主要手段．这两种运动技术都需要球运动员的正确判断和选择．现有甲、乙两队进行足球友谊赛，A、B两名运动员是甲队队员，C是乙队队员，B在A的正西方向，A和B相距20m，C在A的正北方向，A和C相距14m．现A沿北偏西60°方向水平传球，球速为10m/s，同时B沿北偏西30°方向以10m/s的速度前往接球，C同时也以10m/s的速度前去截球．假设球与B、C都在同一平面运动，且均保持匀速直线运动．（1）若C沿南偏西60°方向前去截球，试判断B能否接到球？请说明理由．（2）若C改变（1）的方向前去截球，试判断C能否球成功？请说明理由．19．经观测，某公路段在某时段内的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间有函数关系：．（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？20．如图，在正方体中，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.21．设数列的前项和，数列为等比数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

分别考虑与的极限，然后作比较.【详解】因为，又，所以数列、的极限均存在，且极限值相等，故选D.【点睛】本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般.注意求解的极限时，若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到.2、B【解析】

分层抽样每部分占比一样，通过A，B，C三个社团为，易得A中的人数。【详解】A，B，C三个社团人数比为，所以12中A有人，B有人，C有人。故选：B【点睛】此题考查分层抽样原理，根据抽样前后每部分占比一样求解即可，属于简单题目。3、A【解析】

求出函数的对称轴方程，使得满足在内，解不等式即可求出满足此条件的一个φ值．【详解】解：函数图象的对称轴方程为：xk∈Z，函数图象的一条对称轴在内，所以当k＝0时，φ故选A．【点睛】本题是基础题，考查三角函数的基本性质，不等式的解法，考查计算能力，能够充分利用基本函数的性质解题是学好数学的前提．4、D【解析】

根据直线方程，分类讨论求得直线的斜率的取值范围，进而根据倾斜角和斜率的关系，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得当时，直线方程为，此时倾斜角为；当时，直线方程化为，则斜率为：，即，又由，解得或，又由且，所以倾斜角的范围为，显然A，B都符合，只有D不符合，故选D.【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的倾斜角和斜率的关系，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力.5、D【解析】x-1-x-2=x-1-∵关于x的不等式x-1-∴a2+a-1>1，即解得a>1或∴实数a的取值范围为-∞,-2∪6、D【解析】

根据利用等差数列通项公式及性质求得答案．【详解】∵{an}是公差为﹣2的等差数列，∴a3+a6+a9+…+a99＝（a1+2d）+（a4+2d）+（a7+2d）+…+（a97+2d）＝a1+a4+a7++a97+33×2d＝50﹣132＝﹣1．故选D．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及性质的应用，考查了运算能力，属基础题．7、C【解析】

判断三棱锥是正四面体，它的表面积就是四个三角形的面积，求出一个三角形的面积即可求解本题.【详解】由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即，

所以C选项是正确的.【点睛】本题考查棱锥的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题.8、A【解析】

利用基本不等式得x2y2【详解】∵x2y2≤(x2+y2)24∴x2故选A．【点睛】本题考查基本不等式求最值问题，解题关键是掌握基本不等式的变形应用：ab≤(a+b)9、A【解析】

由同角三角函数关系式,先求得.再结合正弦定理即可求得的外接圆半径.【详解】中,由同角三角函数关系式可得由正弦定理可得所以,即的外接圆半径为1故选:A【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦定理求三角形外接圆半径,属于基础题.10、B【解析】

取BC中点为M，连接OM，EM找出异面直线夹角为，在三角形中利用边角关系得到答案.【详解】取BC中点为M，连接OM，EM在正方体中为底面的中心，为的中点易知：异面直线与所成角为设正方体边长为2，在中：故答案选B【点睛】本题考查了立体几何里异面直线的夹角，通过平行找到对应的角是解题的关键.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

通过是与的等比中项得到，利用均值不等式求得最小值.【详解】实数是与的等比中项，，解得．则，当且仅当时，即时取等号．故答案为:．【点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.12、【解析】

将直线，平移到交于点，设平移后的直线为，，如图，过作及其外角的角平分线，根据题意可以求出的取值范围.【详解】将直线，平移到交于点，设平移后的直线为，，如图，过作及其外角的角平分线，异面直线，所成角为，可知，所以，所以在方向，要使有两条，则有：，在方向，要使不存在，则有，综上所述，.故答案为：【点睛】本题考查了异面直线的所成角的有关性质，考查了空间想象能力.13、ω∈[【解析】

由sinωa+sinωb=2⇒sinωa=sinωb=1.而[ωa,ωb]⊆[ωπ,2ωπ]【详解】由sinωa+而[ωa,ωb]⊆[ωπ,2ωπ]，故已知条件等价于：存在整数ωπ当ω≥4时，区间[ωπ,2ωπ]的长度不小于4π当0<ω<4时，注意到，[ωπ故只要考虑如下几种情形：（1）ωπ≤π2<（2）ωπ≤5（3）ωπ≤9综上，并注意到ω≥4也满足条件，知ω∈[9故答案为：ω∈[【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14、33【解析】试题分析：因为是从50名学生中抽出10名学生，组距是5，∵第三组抽取的是13号，∴第七组抽取的为13+4×5=33．考点：系统抽样15、【解析】

利用第m行共有个数，前m行共有个数，得的位置即可求解【详解】因为第m行共有个数，前m行共有个数，所以应该在第11行倒数第二个数，所以的位置为.故答案为：【点睛】本题考查等差数列的通项和求和公式，发现每行个数成等差是关键，是基础题16、7【解析】

利用，得的值【详解】因为，，所以为7.故答案为：7【点睛】本题考查等比数列的项的性质及单调性，找到与1的分界是关键，是基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，即可得出通项公式；（2）根据前项和公式，即可求出结果.【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，因为，所以，又，所以公差，所以．（2）由（1）知，，所以【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与前项和公式即可，属于基础题型.18、（1）能接到；（2）不能接到【解析】

（1）在中由条件可得，，进一步可得为等边三角形，然后计算运动到点所需时间即可判断；（2）建立平面直角坐标系，作于，求出直线的方程，然后计算到直线的距离即可判断．【详解】（1）如图所示，在中，，，,,，由题意可知，如果不运动，经过，可以接到球，在上取点，使得,,为等边三角形，,，队员运动到点要，此时球运动了.所以能接到球．（2）建立如图所示的平面直角坐标系，作于，所以直线的方程为：，经过，运动了．点到直线的距离，所以以为圆心，半径长为的圆与直线相离．故改变（1）的方向前去截球，不能截到球．【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用，以及点到直线的距离的应用，考查了推理与运算能力，属中档题．19、（1）v＝40千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时（2）汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内【解析】

（1）将已知函数化简，利用基本不等式求车流量y最大值；

（2）要使该时段内车流量至少为10千辆/小时，即使，解之即可得汽车的平均速度的控制范围．【详解】解:(1)＝≤＝≈11.08，当v＝，即v＝40千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．(2)据题意有：，化简得，即，所以，所以汽车的平均速度应控制在这个范围内．【点睛】本题以已知函数关系式为载体，考查基本不等式的使用，考查解不等式，属于基础题．20、（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设，连接，因为O,E分别为AC,中点，所以（2）平面，