北师大新版七年级数学下两直线的位置关系讲义(含试题及答案)

一、知识概述1、同一平面内两条直线的位置关系有相交和平行两种．（1）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．这个公共点叫做交点．（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．注意：互相重合的直线通常看做一条直线．2、对顶角如图，∠1和∠3，∠2和∠4有一个公共顶点，且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，叫做对顶角．3、对顶角性质对顶角相等．4、补角和余角如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．如图，∠1＋∠2＝180°，则说∠1与∠2互为补角，即∠1是∠2的补角，同时∠2也是∠1的补角．如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．5、余角、补角的性质同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．6、垂线定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．直线AB与CD互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”．若直线与直线m垂直，记作．7、垂线性质（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．①两直线垂直的位置关系是用角来刻画的；②两直线垂直并不限于横平竖直的位置，要善于认识不同位置图形的垂直情况，如图．今后遇到线段、射线间的垂直，都是指它们所在直线互相垂直，垂足可能在线段（或射线）上，也可能在线段的（或射线的反向）延长线上.8、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注意：垂线段：是一个几何图形；距离：是一个数量，这个数量是垂线段的长度．二、典型例题讲解例1、如图，两条笔直的街道AB、CD相交于点O，街道OE、OF分别平分、，请说明街道EOF是笔直的．

分析：要说明街道EOF是笔直的，也就是要判断EOF是一条直线，只需判断，因为，所以只要求出即可．解：因为与是对顶角，所以.又因为，，所以．因为，所以，即，所以EOF是一条直线，即街道EOF是笔直的．例2、已知，如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF＝32°，你能求出∠AOE的度数吗？分析：我们由AB⊥CD可知∠AOC＝90°，因此，∠AOE与∠EOC互余.又因为∠EOC与∠DOF是对顶角，于是∠EOC＝32°，于是∠AOE可求.解法一：∵直线CD与EF交于O（已知），∴∠EOC＝∠DOF（对顶角相等）.∵∠DOF＝32°（已知），∴∠EOC＝32°（等量代换）.∵AB、CD互相垂直（已知），∴∠AOC＝90°（垂直定义）.∴∠AOE＋∠EOC＝90°.∴∠AOE＝90°－∠EOC＝90°－32°＝58°.

解法二：∵直线AB、CD互相垂直（已知），∴∠BOD＝90°（垂直定义）.∴∠BOF＋∠DOF＝90°.∵∠DOF＝32°（已知），∴∠BOF＝90°－∠DOF＝58°.∵直线AB与直线EF交于点O（已知），∴∠AOE＝∠BOF（对顶角相等）.∴∠AOE＝58°.反思：第一种解法先用对顶角后用互余，第二种解法先用互余后用对顶角，我们在平时做题时也应该多想多做，多角度分析解决问题.例3、如图，直线AB交CD于点O，由点O引射线OG、OE、OF，使OC平分∠EOG，∠AOG＝∠FOE，∠BOD＝56°，求∠FOC.分析：要求∠FOC，根据已知条件只有∠BOD＝56°，因此应从∠FOC与∠BOD的关系入手求解.解：∵OC平分∠EOG，∴∠1＝∠2.（角平分线定义）∵∠FOE＝∠AOG，∴∠FOE＋∠1＝∠AOG＋∠2即∠FOC＝∠AOC.（等式的性质）又∵AB、CD相交于点O，∴∠AOC与∠BOD是对顶角．由“对顶角相等”，可得∠AOC＝∠BOD.∴∠FOC＝∠BOD，∵∠BOD＝56°，∴∠FOC＝56°．例4、已知两条相交直线所组成的四个角中有两个角，其中一角比另一个角的4倍小15°，求这两个角的度数.分析：这两个角可能是对顶角，也可能是互为补角，故有两种情况．解：设另一个角为x度，则其中一个角为（4x－15）度，于是x＝4x－15或x＋(4x－15)＝180解得x＝5或x＝39这时4x－15＝5或141答：这两个角为5°，5°或39°，141°．例5、如图，直线AB，CD相交于点O，Q是CD上一点，（1）过点Q画AB的垂线，E是垂足，（2）过点O画CD的垂线．解析：要正确画好垂线，要注意两个方面：一方面要遵循“一靠二落三画”，“一靠”即用三角板的一条直角边靠在已知直线上，“二落”即使Q点落在另一条直角边上，“三画”即过Q点画出与已知直线垂直的直线.另一方面要认清过哪个点与哪条直线垂直．答案：如下图．1、如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．垂足为O，则图中∠AOE和∠DOB的关系是（）A．同位角B．对顶角C．互为补角D．互为余角2、点到直线的距离是指（）A．直线外一点与这条直线上任意一点的距离B．直线外一点到这条直线的垂线的长度C．直线外一点到这条直线的垂线段D．直线外一点到这条线的垂线段的长度3、可以判定两条直线垂直的语句是（）A．对顶角相等B．两邻角的和等于180°C．所成的四个角均相等D．同角的补角相等4、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）A．2.5

B．3C．4

D．55、已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值等于（）A．45°B．60°C．90°D．180°6、如图，CD⊥AB，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C．图中线段的长能表示点到直线（或线段）距离的线段有（）A．1条

B．3条C．5条

D．7条7、下列说法中，正确的是（）A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线B．P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到l的距离一定是1C．相等的角是对顶角D．钝角的补角一定是锐角8、若AO⊥BO，垂足为O，∠AOC∶∠AOB＝2∶9，则∠BOC的度数等于（）A．20°B．70°C．110°

D．70°或110°9、如图，OA⊥OB，OC⊥OD，则下列叙述中正确的一项是（）A．∠AOC＝∠AODB．∠AOD＝∠BODC．∠AOC＝∠BODD．以上都不对DDCACCDDC二、解答题10、如图，直线EF、BC相交于点O，∠AOC是直角，∠AOE＝115°，求∠COF的度数.隐藏答案解：观察图形并结合题意可以得到两种方法求∠COF.一是利用余角定义90°－∠AOF；一是利用对顶角相等∠BOE＝∠COF.解法一：因为∠AOE＝115°（已知），所以∠AOF＝180°－115°＝65°（平角定义）.所以∠COF＝90°－∠AOF＝90°－65°＝25°.解法二：因为∠AOE＝115°（已知），所以∠BOE＝115°－90°＝25°.所以∠COF＝∠BOE＝25°.11、两条直线相交于一点，有多少个不同的对顶角？三条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角？四条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角？试根据此规律，归纳n条直线相交于一点，有多少对不同的对顶角.隐藏答案分析：先从特殊情形入手，寻找问题的解决途径：当三条直线相交于一点时，有6对对顶角，当三条直线两两相交时，同样有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，有12对对顶角，当四条直线两两相交时，同样有12对对顶角；……由此可知，直线相交于一点与直线两两相交，它们的对顶角的对数是相同的．解：对顶角是两条直线相交而构成的，每两条直线相交只有一个交点并且有两对对顶角，所以“对顶角的对数＝直线交点个数的2倍”．易知条直线两两相交时有个交点，则有对对顶角，所以当条直线相交于一点时，同样有对对顶角．12、已知，如图，AB⊥CD于O点，EF过O点，∠COE∶∠BOF＝2∶7，求∠AOE的度数.隐藏答案解：设∠COE＝2x，则∠BOF＝7x，∠AOE＝∠BOF＝7x，因为∠AOC＝90°，即∠COE＋∠AOE＝90°，2x＋7x＝90°，x＝10°，∴∠AOE＝7x＝70°．13、一个角的补角和这个角的余角的2倍互为补角，求这个角的度数．隐藏答案解：设这个角为x度，则这个角的补角是（180－x）度，这个角的余角是（90－x）度，由这个角的补角和这个角的余角的2倍互为补角，得1