专题08三角函数概念和诱导公式（考点通关）（原卷版）

专题08三角函数概念和诱导公式考点通关【题型解读】【知识必备】1．角的概念(1)任意角：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始的射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点；②角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为轴线角．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制．弧度的单位符号是“rad”，读作“弧度”（用弧度制表示角时，rad常常省略不写）．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.3．任意角的三角函数（1）单位圆定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．（2）比值式定义：设P(x，y)是角α终边上任意一点，且|OP|＝r(r＞0)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.注意：三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，但若不是单位圆时，设|OP|＝r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).（3）三角函数值在各象限的符号：记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限三个三角函数都是正值，第二象限正弦值为正，其余两个为负值；第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦值为正值.4．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.5.诱导公式角函数2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，对于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．【题型精讲】【题型一扇形面积公式与弧度制】必备技巧扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．例1（咸阳百灵高一月考）已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.【跟踪精练】1．（四川眉山市·仁寿高一开学考试）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?2.（赤峰月考）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（）A． B． C． D．3.我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（）A． B． C． D．【题型二三角函数的定义】必备技巧三角函数定义考查(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．例2（河南洛阳高一期末））（1）已知角的终边经过点，求的值；（2）已知角的终边经过点，求的值；（3）已知角的终边上一点，且，求．例3（河北·石家庄高一期末）若，且，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【跟踪精练】1．在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的值是（）A． B．或 C． D．2．若一个角的终边上有一点且，则的值为()A． B． C．－4或 D．3．（全国·高一专题练习）已知点P(cosα，tanα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【题型三同角三角函数关系应用】必备技巧同角三角函数关系应用(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.例4（1）（镇原高一期末）若，，则。（2）（甘肃省岷县第一高二月考）已知，，那么的值是。例5（北京市昌平区实验高一期末）已知角的终边过点，求：①；②；③例6（辽宁锦州·高一期末）已知，且．（1）求的值．（2）求的值．【跟踪精练】1．（广东·深圳外国语高一阶段练习）若角的终边落在直线上，则的值等于（）A．0 B． C．2 D．或22．（全国·高一阶段练习）已知，求下列代数式的值．（1）；（2）．3．（湖南益阳高一期末）若，则A． B． C． D．4.（赤峰月考）已知，求下列各式的值．（1）；（2）．【题型四三角函数诱导公式的应用】必备技巧利用诱导公式化简、求值的策略(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．(3)常见的互余的角：eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等，常见的互补的角：eq\f(π,6)＋α与eq\f(5π,6)－α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(2π,3)－α，eq\f(π,4)＋α与eq\