中考压轴题-二次函数九年级数学中考复习

中考压轴题——二次函数九年级数学中考复习1．（2023•长沙一模）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点．过点作线段垂直轴交于点，过点作线段垂直抛物线的对称轴交于点，我们称矩形为抛物线的“伴随矩形”．（1）请根据定义求出抛物线的“伴随矩形”的面积；（2）已知抛物线的“伴随矩形”为矩形，若矩形的四边与直线共有两个交点，且与双曲线无交点，请直接写出的取值范围；（3）若对于开口向上的抛物线，当时，方程的两个根为，，且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形”为正方形；②（其中表示矩形的面积）；③的最小值为．请求出满足条件的值．

2．（2023•栖霞区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．是抛物线上一点，且在直线的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若面积是面积的2倍，求点的坐标；（3）如图，交于点，交于点．记，，的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

3．（2023•秦都区校级二模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，且，点为抛物线的对称轴与轴的交点，连接．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2023•长沙二模）我们不妨约定：若存在实数，对于函数图象上任意两点，、，，都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．（1）下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“”，不是的打“”；①；②；③．（2）若一次函数和反比例函数，为常数，且，当且时，这两个函数的幸福指数相同，求的值；（3）若关于的幸福函数为常数），当时，幸福指数为，求的值．

5．（2023•长沙二模）如图1，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点是线段上的一个动点，连接并延长与过，，三点的相交于点，过点作的切线交轴于点．（1）①求点的坐标；②求证：；（2）如图2，连接，，，，当，时，①求证：；②求的值．

6．（2023•未央区校级模拟）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；（2）如图1，连接，点是线段上的点，当与相似时，求点的坐标；（3）如图2，过点作轴于点，在抛物线上存在点，使，求点的坐标．

7．（2023•咸宁一模）如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．（1），，三点的坐标为，，．（2）连接，交线段于点，①当与轴平行时，求的值；②当与轴不平行时，求的最大值；（3）连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

8．（2023•郧西县模拟）如图1，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，顶点的横坐标为1，对称轴交轴交于点，交与点．（1）求顶点的坐标；（2）如图2所示，过点的直线交直线于点，交抛物线于点．①若直线将分成的两部分面积之比为，求点的坐标；②若，求点的坐标．

答案版：1．【解答】解：（1），，当时，，，伴随矩形”的面积；（2），“伴随矩形”为矩形的四个顶点坐标分别为，，，，，，直线经过点时，，解得，直线经过点时，，解得，时，矩形的四边与直线共有两个交点，当双曲线经过点时，，时，矩形的四边与双曲线无交点，时，满足题意；（3），，，抛物线的“伴随矩形”的顶点分别是，，，，，，“伴随矩形”为正方形，，，，，抛物线开口向上，，，方程的两个根为，，△，，，，，，的最小值为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得（舍或（舍；综上所述：的值为9或．2．【解答】解：（1）将，代入，，解得．抛物线的解析式为：．（2）设直线的解析式为：，将，代入，，解得．，，，，即，过点作轴于点，与交于点，过点作于点，如图，，．设点的横坐标为，，，，．解得或；或．（3），，，，，，，．设直线交轴于点．则，过点作轴，垂足为，交于点，如图，，，，，，，设，，由（2）可知，，．，当时，的最大值为．3．【解答】解：（1），则点，则抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为，即点，则，当矩形为时，如下图，过点作轴于点，四边形为矩形，则，，，，，故设，则，则点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：（舍去）或，则点的横坐标为：；当矩形为时，如下图，过点作轴于点，同理可设：点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：（负值已舍去），则点的横坐标为：；综上，点的横坐标为：或．4.【解答】解：（1）①当时，，当时，，则，符合题意，故正确；②当时，，当时，则，则，故错误；③当时，，当时，，则，故错误；故答案为：，，；（2），故，时，当时，，当时，，当时，，当时，，即，解得：；当时，列出的函数关系式和的值和得情况完全相同，故；（3）当时，，同理可得：当时，，当时，；①当时，当时，，当时，，则，解得：；②当时，当时，当时，，当时，，则，解得：；当时，同理可得：，解得：或1（均舍去）；③当时，当时，，当时，，则，解得：；综上，或3或5．5．【解答】（1）①解：令，，解得或，；②证明：如图，连接，连接，延长交轴于点，过、、三点，为顶点，，，又，，为切线，，又，，；（2）①证明：如图，，，令，可得，或，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，；②解：设，点的坐标为，，，，由角平分线成比例定理可得：，，，，，或（舍去），，．6．【解答】解：（1）设抛物线解析式为：，将点，，分别代入得：，解得：，故抛物线解析式为：．由于，所以该抛物线的顶点坐标是；（2）、点，，，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，设点的坐标为，，则，当与相似时，分两种情况：①若，则，即，解得，，，；②若，则，即，解得，，；综上所述，点的坐标为，或；（3）过点作于点，过点作轴于点，连接，，由抛物线的对称性质可得，，，，，，，，，，，，，，，，，解得，，，设，则，，，当时，，则为锐角，且，点在点左侧的抛物线上，即，在中，，即，或或（舍去），经检验，或列方程的解，且符合题意，当时，，即，当时，，即．综上所述，点的坐标为或．7．【解答】解：（1）令，则，；令，则，或，，．故答案为：；；．（2）①轴，，，，，轴，．②如图，过点作交于点，直线的解析式为：．设点的横坐标为，则，，．，，，当时，的最大值为．另解：分别过点，作轴的平行线，交直线于两点，仿照以上解法即可求解．（3）假设存在点使得，即．过点作轴交抛物线于点，，，，延长交轴于点，轴，，，为等腰三角形，，，，，直线的解析式为：，令，解得或（舍，存在点满足题意，此时．8.【解答】解：（1）函数的对称轴为直线①，将代入可得②，联立①②解得，故抛物线的表达式为，将代入上式得：，；（2）①对于，令，解得或3，故点，由点、的坐标得，直线的表达式为③，当时，如图1，过点作，则，即，当时，，解得，故点的坐标为，；当时，同理可得，点，，故点的坐标为，或，；②当点在上方时，，，取线段的中点，由中点坐标可得，连接，则，，故直线与轴负半轴的夹角为，，故直线与轴的夹角为，设直线的表达式为，将点的