高中数学第二章函数21函数概念三要素求法素材苏教版必修1

函数的见解三要素的求法一、函数的见解：1．函数的见解：函数见解：设A、B是非空的数集，若是依照某种确定的对应关系f，使关于会合A中的随意一个数x，在会合B中都有独一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从会合A到会合B的一个函数记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的会合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是会合B的子集.（2）函数的表示方法1．剖析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连结起来，获得的式子叫做剖析式.2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（3）典型例题：1.函数y=f(x)表示（）A．y等于f与x的乘积B．f(x)必然是剖析式C．y是x的函数D．关于不相同的x，y值也不相同2.以下各图中，可表示函数y=(x)的图象的只可能是()fyyyyo

x

o

x

o

x

o

xABCD3.以下四种说法中，不正确的选项是（）A．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B．函数的定义域和值域必然是无量会合C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4.已知f(x)=x2+4x+5，则f(2)=__，f(–1)=__.5.已知f(x)=x2(x∈R)，表示的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.照射照射的定义：设A，B是两个非空的会合，若是按某一个确定的素x，在会合B中都有独一确定的元素y与之对应，那么这样的对应

对应关系(包括会合

f，使关于会合A中的随意一个元A，B以及A到B的对应法例f)叫做会合A到会合B的照射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的

B中的元素

b叫做a的象，a叫做b的原象.看下面的例子：设A，B分别是两个会合，为简洁起见，设

A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：关于左边会合的任何一个元素，在右边会合B中都有独一的元素和它对应

A中①“A到B”：照射是有方向的，A到B的照射与

B到

A的照射旧常不是同一个照射

,A

到B是求平方，B到A则是开平方，因此照射是有序的；②“任一”：就是说对会合A中任何一个元素，会合B中都有元素和它对应，这是照射的存在性；③“独一”：关于会合A中的任何一个元素，会合B中都是独一的元素和它对应，这是照射的独一性；④“在会合B中”：也就是说A中元素的象必在会合B中，这是照射的关闭性.指出：依照定义，（2）（3）（4）这三个对应都是会合A到会合B的照射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一一对一，多对一是照射

但一对多显然不是照射辨析：①随意性：照射中的两个会合A,B能够是数集、点集或由图形组成的会合等；②有序性：照射是有方向的，A到B的照射与B到A的照射旧常不是同一个照射；③存在性：照射中会合A的每一个元素在会合B中都有它的象；④独一性：照射中会合A的任一元素在会合B中的象是独一的；⑤关闭性：照射中会合A的任一元素的象都必定是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即中元素的象集是B的子集.

A照射三要素：会合A、B以及对应法例f，缺一不能；照射见解下的函数见解若是A，B都是非空的数集，那么A到B的照射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的会合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的会合C（CB）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从会合A到B的照射？（1）会合A={P|P是数轴上的点}，会合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）会合A={P|P是平面直角坐标系中的点，会合B={(x|y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；3）会合A={4）会合A={x|应班里的学生.

x|x是三角形}，会合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；x是新华中学的班级}，会合B={x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对（1）依照成立数轴的方法可知，数轴上的随意一个点，都有独一的实数与之对应，因此这个对应f：A→B是从会合A到B的一个照射.（2）依照成立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的随意一个点，都有独一的一个实数对与之对应，因此这个对应f：→B是从会合A到B的一个照射.A（3）因为每一个三角形只有一个内切圆与之对应，因此这个对应f：A→B是从会合A到B的一个照射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不仅一个，即与一个班级对应的学生不仅一个，因此这个对应f：→AB不是从会合A到B的一上照射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所注明的A中元素与B中元素的对应法例,是不是照射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即会合A中的随意一个元素,在会合B中都有独一确定的元素与之对应.例1，已知以下会合A到B的对应，请判断哪些是A到B的照射？并说明原因：⑴A=N，B=Z，对应法例：“取相反数”；⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法例：“取倒数”；⑶A={1，2，3，4，5}，B=R，对应法例：“求平方根”；⑷A={|00900}，B={x|0x1}，对应法例：“取正弦”.二、函数的三要素——定义域、值域、对应法例（a）函数定义的理解

.由函数的定义可知，一个函数的组成要素为：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，因此，若是两个函数的定义域相同，并且对应关系完好一致，我们就称这两个函数相等.区间的见解1）不等式a≤x≤b，用闭区间[a，b]表示；2）不等式a＜x＜b，用开区间(a,b)表示；3）不等式a≤x＜b(或a＜x≤b)用半开半闭区间[a，b](或(a，b])表示；4）x≥a，x＞a，x≤b，x＜b分别表示为[a，+∞)，(a,+∞)，(–∞,b]，(–∞,b).定义域的求法：例1：列函数中哪个与函数y=x相等？（1）f(x)1；x2（2）f(x)3x2；（3）f(x)x11.2x（4）y1232x1（5）y4x21|x|x31（6）y|x|x求函数的定义域的种类：一、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母必然不能够为0；（2）绝对不能够先化简后求函数定义域。例1求函数f(x)=x21的定义域．1二、含偶次根式的函数注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，经过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，经常用到区间的见解，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例1求函数y＝ax3（a为不等于0的常数）的定义域.三、复合型函数注意函数是由一些基本初等函数经过四则运算而获得的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，经过列不等式组来实现.（x0例1求函数y＝3x23）的定义域．＋2x33练习：1.求以下函数的定义域（1）y1x21；2（3）y1；|x|x（5）y4x21；|x|3

（2）yx2；x24（4）yx14x2；（6）yax3(a为常数).（1）已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)的定义域.（2）已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域.（3）已知函数f(x+1)的定义域为[–2,3]，求f(2x2–2)的定义域.抽象函数（一）、已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。例1.设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为________。（2）函数的定义域为__________。练习1已知f(x)的定义域为[1,3],求f(x-1)的定义域.2已知函数f(x)的定义域为（0，1），则函数f(1x1)的定义域是________。22163设函数yf(x)的定义域为A[4,)，给出以下函数：yf(2x4),yf(x)，yf(2x),yf()，其4x定义域仍是A的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4．（江西卷3）若函数yf(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)f(2x)的定义域是Bx1A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)U(1,4]D．(0,1)（二）、已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。例2.已知函数的定义域为，则的定义域为________。练习1已知函数f(2x4)的定义域为（0，1），则函数f(x)的定义域是________。2已知f(2x-1)的定义域为[-1，1]，求f(x)的定义域（三）、已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。例3.函数定义域是，则的定义域是（）A.B.C.D.练习1函数f(2x-1)的定义域为[1,3]，求函数f(x2+1)的定义域.2已知f(2x-1)定义域为[0，1]，求f(3x)的定义域解g(x)D注f(x)定义域f[g(x)]的定义域为D1依照xD1求g(x)的范围（四）、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算获得的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。例4.已知函数的定义域是，求的定义域。练习1.若函数yf(x)的定义域为[1，1]，求函数yf(x1)f(x1)的定义域。442．（2020年湖北卷）设fx2x，则fxf2（B）lgx2的定义域为2xA.4,00,4B.4,11,4C.2,11,2D.4,22,4求函数值域的方法：（1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比率函数yk(k0)的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；x二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域为R，当a>0时，值域为{y|y(4acb2)}；4a当a<0时，值域为{y|y(4acb2)}4a（2）配方法：若是y=f(x)是二次函数或是能够化为二次函数的函数，则能够用配方法求值域.例：求以下函数的值域：（1）y=x2-4x+5；（2）y=x2-4x+5，x∈[1,4]；(3)y=x2+2x+4,x∈[0,+∞)3）基本不等式法：利用平均不等式求值域转变成型如：例：求以下函数的值域：

yxk(k0)，用公式来求值域；x（1）y=x11,（x≠0）；（3）y=x9,（x>0）；（2）y=4x,（0＜x≤2)；xxx（4）y=x(6-x)；12x(x4),（5）y=x244）不等式性质法例：求以下函数的值域：（1）y=6；（2）y=2x24x10；（3）y=6x22x22x22sinx14）y=10-16x2；（5）逆求法（反求法）：经过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，经过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：yaxb,x(m,n)或将求函数的值域转变成求它的反函数的值域.cxd例：求以下函数的值域：（1）y=2sinx；（2）y=x2；3sinxx22（6）换元法（代数换元法）：经过变量代换转变成能求值域的函数，化归思想；例：（1）yx41x；（2）yx1x21.（1）已知f(x)=2x+3，求f(1)，f(a)，f(m+n)，f[f(x)].（1）已知函数x1,(x0)f(x)=,(x0)，0,(x0)则f{f[f(–1)]}=.（2）在函数x2,(x1)f(x)=x2,(1x2)中，若f(x)=3，则x的值是（）2x,(x2)A．1B．1或32C．±3D．3求函数的剖析式——求剖析式的方法1、整体代换（配凑法）2、换元法（注意新元的取值范围）3、待定系数法（已知函数种类如：一次、二次函数、反比率函数等）4、结构方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）5、赋值法例题剖析：题型一、代入法求剖析式例1已知f(x)3x25x7,求f(2x1)的剖析式.练习：1、已知f(x)x2,x02x1，g(x)1,x，求f[g(x)]和g[f(x)]的剖析式。0题型二、换元法例3、已知1x1x2f()1x2,,求f(x)的剖析式1x练1、已知f(1sinx)sinxcos2x,求f(x)的剖析式题型三、配方法求函数剖析式例2、已知f(x1)x2x,求f(x)及f(x+1)的剖析式。131练、已知f(x)xx3,求f(x)的剖析式x题型四、待定系数法例4、已知f(x)3x1,g(x)为一次函数，f[g(x)]2x3,求g(x)的剖析式练1、已知f(x)为一次函数，且知足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的剖析式。2、已知二次函数g(x)知足g(