高中数学数列分类典型试题及

高中数学数列分类典型试题及高中数学数列分类典型试题及/高中数学数列分类典型试题及2021/3/27精选高中数学数列分类典型试题及答案【典型例题】〔一〕研究等差等比数列的有关性研究通的性例1.数列足.1〕求；2〕明：.解：〔1〕.2〕明：由，故所以得.例2.数列的前和〔Ⅰ〕求的通公式；〔Ⅱ〕等差数列的各正，其前和，且，又成等比数列，求.解：〔Ⅰ〕由可得，两式相减得：，又∴故是首1，公比3的等比数列∴〔Ⅱ〕的公比，由得，可得，可得故可，又，由意可得，解得∵等差数列的各正，∴∴∴例3.数列的前三与数列的前三相同，且任意的都成立，数列是等差数列.⑴求数列与的通公式；⑵可否存在，使得，明原由.点：〔1〕左相当于是数列前n和的形式，可以想到求的方法，当，.〔2〕把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取情况.解：〔1〕⋯〕①，⋯〕②①－②得，，求得，在①中令，可得得，所以N*〕.由意，，，所以，，∴数列的公差，∴，.2〕，当，增，且，所以，，12021/3/27又，所以，不存在，使得.例题4.设各项均为正数的数列{a}和{b}满足：a、b、a成等差数列，b、an+1、b成nnnnn+1nn+1等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn解：依题意得：2b=an+1+an+2①n+1an+1=bb②2nn+1an、bn为正数，由②得，代入①并同除以得：，∴为等差数列∵b1=2，a2=3，，∴，∴当n≥2时，，a1=1，当n=1时成立，∴研究前n项和的性质例题5.等比数列的前项和为，且.1〕求、的值及数列的通项公式；2〕设，求数列的前项和.解：〔1〕时，.而为等比数列，得，又，得，从而.又.2〕，，得，.例题6.数列是首项为1000，公比为的等比数列，数列满足，〔1〕求数列的前项和的最大值；〔2〕求数列的前项和.解：〔1〕由题意：，∴，∴数列是首项为3，公差为的等差数列，∴，∴由，得，∴数列的前项和的最大值为.〔2〕由〔1〕当时，，当时，，∴当时，当时，∴.例题7.递加的等比数列{}满足，且是，的等差中项.〔1〕求{}的通项公式；〔2〕假设，求使成立的的最小值.解：〔1〕设等比数列的公比为q〔q＞1〕，由a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2〔a1q2+2〕，得：a1=2，q=2或a1=32，q=〔舍〕22021/3/27n－1〕nan=2·2=223n〔2〕∵，∴Sn=－〔1·2+2·2+3·2+⋯+n·2〕23n+123nn+1n+1∴2Sn=－〔1·2+2·2+⋯+n·2〕，∴Sn=2+2+2+⋯+2－n·2=－〔n－1〕·2－2，假设Sn+n·2n+1＞30成立，2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小5.例8.数列的前n和Sn，且成等差数列，.函数.〔I〕求数列的通公式；〔II〕数列足，数列的前n和Tn，比的大小.解：〔I〕成等差数列，①当，②.①－②得：，，当n=1，由①得，又是以1首3公比的等比数列，II〕∵，，，比的大小，只需比与312的大小即可.∵∴当，当，当，.研究生成数列的性例9.〔I〕数列，其中，且数列等比数列，求常数；〔II〕、是公比不相等的两个等比数列，，明数列不是等比数列.解：〔Ⅰ〕因{cn+1－pcn}是等比数列，故有cn+1－pcn〕2=〔cn+2－pcn+1〕〔cn－pcn－1〕，cn=2n＋3n代入上式，得[2n＋1+3n＋1－p〔2n＋3n〕]2=[2n＋2+3n＋2－p〔2n+1＋3n+1〕]·[2n+3n－p〔2n－1＋3n－1〕]，nn2即[〔2－p〕2+〔3－p〕3]=[〔2－p〕2n+1+〔3－p〕3n+1][〔2－p〕2n－1+〔3－p〕3n－1]，整理得〔nn2－p〕〔3－p〕·2·3=0，解得=2或=3.pp〔Ⅱ〕{an}、{bn}的公比分p、q，p≠q，cn=an+bn.{cn}不是等比数列只需≠c1·c3.事上，=〔a1p＋b1q〕2=p2＋q2＋2a1b1pq，c1·c3=〔a1＋b1〕〔a1p2＋b1q2〕=p2＋q2＋a1b1〔p2＋q2〕.22由于p≠q，p＋q>2pq，又a1、b1不零，例10.n2〔n≥4〕个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等a24=1，32021/3/27S=a11+a22+a33+⋯+ann解：数列{}的公差d，数列{}〔i=1，2，3，⋯，n〕的公比q=a11+〔k－1〕d，akk=[a11+〔k－1〕d]qk－1依意得：，解得：a11=d=q=±2∴a11=d=q=，∴akk=，，两式相减得：例11.函数的象点和，1〕求数列的通公式；2〕，假设，求的最小；3〕求使不等式所有均成立的最大数.解：〔1〕由意得，解得，〔2〕由〔1〕得，①②①－②得.，，由得随的增大而减小，又恒成立，3〕由意得恒成立，是随的增大而增大的最小，，即.〔二〕明等差与等比数列化等差等比数列.例12.数列中，且足，.⑴求数列的通公式；⑵，求；⑶=，可否存在最大的整数，使得任意，均有成立假设存在，求出的；假设不存在，明原由.解：〔1〕由意，，等差数列，公差，由意得，.2〕假设，，故〔3〕，42021/3/27假设任意成立，即任意成立，的最小是，的最大整数是7.即存在最大整数使任意，均有例13.等比数列与数列足N*.1〕判断是何种数列，并出明；2〕假设.解：〔1〕的公比q，∵，∴。所以是以公差的等差数列.〔2〕∵所以由等差数列性可得⋯由推关系明等差等比数列例14.数列和足：，，，〔〕，且是以公比的等比数列.I〕明：；II〕假设，明：数列是等比数列；III〕求和：.解法1：〔I〕：由，有，.II〕：∵，，，.是首5，公比的等比数列.〔III〕解：由〔!UndefinedBookmark,ROMAN〕得，，于是.当，.当，.故解法2：〔!UndefinedBookmark,ROMAN〕同解法1〔!UndefinedBookmark,ROMAN〕.〔II〕：，又，是首5，公比的等比数列.〔!UndefinedBookmark,ROMAN〕由解法1中〔!UndefinedBookmark,ROMAN〕的52021/3/27近似方法得，，..例题15.设数列1〕证明：数列是等比数列；2〕设数列的公比，数列满足，bn=f〔bn－1〕〔n∈N*，n≥2〕，求数列的通项公式；3〕设，，求数列的前n项和Ｔn.1〕证明：由相减得：∴数列是等比数列〔2〕解：是首项为，公差为1的等差数列，∴..3〕解：时①②①－②得：∴所以：.例题16.的各个极点分别为，设为线段的中点，为线段OC的中点，为线段的中点.对每一个正整数为线段的中点.令的坐标为，.1〕求及；2〕证明：3〕记，证明：是等比数列.1〕解：由于y1=y2=y4=1，y3=，y5=，所以得a1=a2=a3=2.又由，对任意的正整数n有an+1====an恒成立，且1=2，所以{an}为常数数列，an=2，〔n为正整数〕a2〕证明：依照，及=an=2，易证得yn+4=1－3〕证明：由于bn+1==〔1－〕－〔1－〕=，又由b1==1－y4=，所以{bn}是首项为，公比为的等比数列.【模拟试题】一、填空题1.在等差数列｛a｝中，a=2，a+a=13，那么a+a+a等于=.2.数列的通项，那么其前项和.3.首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，那么公差的取值范围是.4.在等比数列中，和是二次方程的两个根，那么62021/3/27的值为.5.等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，那么n=.6.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为________7.两个等差数列和的前项和分别为A和，且，=，假设为正整数，n的取值个数为___________。8.数列对于任意，有，假设，那么.记数列所有项的和为，第二项及今后各项的和为，第三项及今后各项的和为，第项及今后各项的和为，假设，，，，那么等于.等差数列共有项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，那么其中间项为_____.等差数列中，，假设且，，那么的值为.设为等差数列的前项和.，那么等于.函数定义在正整数集上，且对于任意的正整数，都有，且，那么____.14.三个数成等比数列，且，那么b的取值范围是.15.等差数列中，前项和为，首项.1〕假设，求2〕设，求使不等式的最小正整数的值.点拨：在等差数列中知道其中三个就可以求出别的一个，由可以求出首项与公差，把分别用首项与公差，表示即可.对于求和公式，采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些.比方：判断的正负.问题2在思虑时要注意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项.等差数列{}的前项和为，，.I〕求数列{}的通项与前项和为；〔II〕设〔〕，求证：数列{}中任意不相同的三项都不可以能成为等比数列.在直角坐标平面上有一点列，对所有正整数n，点位于函数的图象上，且的横坐标组成以为首项，为公差的等差数列.⑴求点的坐标；⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的极点为，且过点，设与抛物线相切于的直线的斜率为，求：.⑶设，等差数列{}的任一项，其中是中的最大数，，求{}的通项公式.数列满足，1〕求数列的通项公式；2〕假设数列满足〔n∈N*〕，证明：是等差数列.72021/3/27【试题答案】423.4.10210；5个解法一：点拨利用等差数列的求和公式及等差数列的性质“假设，那么〞剖析：=解法2：点拨利用“假设{}为等差数列，那么〞这个结论，依照条件找出和的通项.剖析：可设，，那么，，那么=由上面的解法2可知=，显然只需使为正整数即可，故，共5个.议论：同等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，依照详尽的情况可以灵便应用.反思：解法2中，假设是填空题，比率常数k可以直接设为1.4解：.解：依题意，中间项为，于是有解得.解：由题设得，而，，又，，.解：，，.∴。13.解：由知函数当从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，形成一个首项为2，公差为4的等差数列，.82021/3/27解：设，那么有.当时，，而，；当时，，即，而，，那么，.解：〔1〕由，得：，又由.即，获取.〔2〕由假设≤5，那么≤，不合题意>5，即，所以≥15，使不等式成立的