高数数一30第27讲广义积分

第五章一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.

熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.

了解利用建立递推关系式求积分的方法.

理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.

熟悉牛顿—莱布尼兹公式.

理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.

能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。

我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函数的积分.在科学技术和工程中，往往需要计算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷区间上的积分.这就需要我们将定积分的概念及其计算方法进行推广.

我们将运用极限的方法来完成这个工作.第五章一元函数的积分第五节广义积分一.无穷区间上的积分二.瑕积分三.广义积分的柯西主值四.Γ函数与B函数请点击一.无穷区间上的积分1.无穷积分的概念2.无穷积分的基本运算性质3.无穷积分敛散性的判别法4.无穷积分的绝对收敛性请点击1.无穷积分的概念——无穷区间上的广义积分例1解能否将这里的书写方式简化？这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.例2解例3解例4解例5解例5解综上所述，2.无穷积分的基本运算性质例6解罗例7解例8解3.无穷积分敛散性的判别法定理证定理（比较判别法）证定理（比较判别法的极限形式法）例9解读者不妨自己用比较判别法的极限形式进行判别.定理（柯西极限判别法）证例10解例11解例12解下面介绍两个有关函数乘积的无穷积分敛散性的判别法定理（阿贝尔判别法）有关证明请参看

《微积分学教程》第二卷第三分册

Г.M.菲赫金哥尔茨北京大学高等数学教研组译人民教育出版社1954.定理（狄利克雷判别法）有关证明请参看

《微积分学教程》第二卷第三分册

Г.M.菲赫金哥尔茨北京大学高等数学教研组译人民教育出版社1954.例13解4.无穷积分的绝对收敛性定理证定理（柯西判别法）该定理的证明请读者自己完成.例14解二.瑕积分1.瑕积分的概念2.瑕积分基本运算性质3.瑕积分敛散性的判别法请点击1.瑕积分的概念——无界函数的广义积分(1)瑕点的概念(2)瑕积分的概念类似地，可定义与无穷积分的情形类似，瑕积分也有下列运算形式：这样就将瑕积分的计算与定积分的计算联系起来了.2.瑕积分基本运算性质例15解例16解

有问题没有？例16解例17解例18解不存在例19解综上所述，得3.瑕积分敛散性的判别法

瑕积分敛散性的判别法与无穷积分的情形类似，我们仅介绍常用的方法.定理（瑕积分的比较判别法）定理（比较判别法的极限形式法）定理（瑕积分的柯西极限判别法）例19解例20解罗例21解柯西判别法比较判别法例22解三.广义积分的柯西主值无穷积分的柯西主值例23解由此例想到一点什么没有?例24