北京延庆县四海中学高一数学文期末试题含解析

北京延庆县四海中学高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义域为的偶函数在区间单调递减，则满足的取值范围是A． B． C．

D．参考答案：A2.在数列{an}中，a1=，an+1=1﹣，则a10=（）A．2 B．3 C．﹣1 D．参考答案：D【分析】由a1=，an+1=1﹣，可得an+3=an．即可得出．【解答】解：∵a1=，an+1=1﹣，∴a2=1﹣2=﹣1，同理可得：a3=2，a4=，…，∴an+3=an．∴a10=a3×3+1=a1=．故选：D．3.（1）已知，求的值.（2）已知为锐角，，，求的值.参考答案：解：（1）原式=

=

（2）因为为锐角，，所以，---------------

1分由为锐角，，又，---------------1分所以，---------------2分因为为锐角，所以，所以.

---------------1分

略4.在△ABC中，a=2,,,则B= A．

B．或 C．

D．或参考答案：B5.函数的定义域为()(A){x|x≤1}

(B){x|x≥0}

(C){x|0≤x≤1}

(D){x|x≥1或x≤0}参考答案：C6.用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥；则其中正确的是（

）A、①②

B、②③

C、①④

D、③④参考答案：C略7.若对于任意实数x，都有f(-x)=f(x)，且f(x)在（-∞，0]上是增函数，则（

）A．f(-)<f(-1)<f(2)

B．f(-1)<f(-)<f(2)

C．f(2)<f(-1)<f(-)

D．f(2)<f(-)<f(-1)参考答案：D8.在下图中，二次函数与指数函数的图象只可为（）参考答案：C略9.函数的图象是……………

（）

参考答案：A略10.已知，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是_

____．参考答案：5412.已知集合M={2，3，5}，集合N={3，4，5}，则M∪N=．参考答案：{2，3，4，5}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】利用并集性质求解．【解答】解：∵集合M={2，3，5}，集合N={3，4，5}，∴M∪N={2，3，4，5}．故答案为：{2，3，4，5}．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．13.设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是

.参考答案：214.已知，，则

.参考答案：15.已知x>0，由不等式≥2·=2，=≥=3,…，启发我们可以得出推广结论：≥n+1(n∈N*)，则a=_______________．参考答案：16.在△ABC中，a=7，b=4，则△ABC的最小角为弧度．参考答案：【考点】HR：余弦定理．【分析】由三角形中大边对大角可知，边c所对的角C最小，然后利用余弦定理的推论求得cosC，则答案可求．【解答】解：∵在△ABC中，a=7，b=4，∴由大边对大角可知，边c所对的角C最小，由余弦定理可得：cosC===．∵0＜C＜π，∴C=．故答案为：．17.函数的定义域为

．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE（2）求三棱锥P﹣CED的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，则OE∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．（2）三棱锥P﹣CED的体积VP﹣CED=VC﹣PDE，由此能求出结果．【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，∴O是AC中点，∵E是侧棱PA的中点，∴OE∥PC，∵PC?平面BDE，OE?平面BDE，∴PC∥平面BDE．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵S△PDE===，∴三棱锥P﹣CED的体积VP﹣CED=VC﹣PDE===．19.已知集合A＝｛x|｝,B={x|2<x<10}求

;参考答案：解析：（1）；

（7分）（2）;

（7分）20.（16分）用一根细铁丝围一个面积为4的矩形，（1）试将所有铁丝的长度y表示为矩形的某条边长x的函数；（2）①求证：函数f（x）=x+在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数；②题（1）中矩形的边长x多大时，细铁丝的长度最短？参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用面积求出另一条边长为，则可得铁丝的长度；（2）①利用导数证明即可；②由①可知x=3时，函数取得最小值．【解答】（1）解：由题意，另一条边长为，则铁丝的长度y=2x+（x＞0）；（2）①证明：∵f（x）=2（x+），∴f′（x）=2﹣，∴在（0，2]上，f′（x）＜0，在[2，+∞）上，f′（x）＞0，∴函数f（x）=2（x+）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数；②解：由①可知x=2时，函数取得最小值8．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查学生的计算能力，属于中档题．21.已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有（Ⅰ）证明f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则，∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，由已知，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数，∴不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），∴，解得；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，要使f（x）≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1?t2﹣2at≥0，设g（a）=t2﹣2at，对?a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，∴，∴t≥2或t≤﹣2或t=0考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则，由已知，可比较f（x1）与f（x2）的大小，由单调性的定义可作出判断；（Ⅱ）利用函数的奇偶性可把不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），在由单调性得x2﹣1＜3x﹣3，还要考虑定义域；（Ⅲ）要使f（x）≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1，1]恒成立，只要f（x）max≤t2﹣2at+1，由f（x）在[﹣1，1]上是增函数易求f（x）max，再利用关于a的一次函数性质可得不等式组，保证对a∈[﹣1，1]恒成立；解答：解：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则，∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，由已知，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数，∴不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），∴，解得；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，要使f（x）≤t2