连续交通流模型

连续交通流模型第一页，共一百零二页，2022年，8月28日目录

5.1简单连续流模型

5.1.1守恒方程

5.1.2守恒方程解析法以及交通波

5.1.3应用

5.1.4信号交叉口中排队的形成与消散

5.1.5守恒方程的数值解法

5.1.6多车道流体力学模型

5.2高阶模型

5.2.1简单连续流模型的评述

5.2.2瞬态和停车—起动波

5.2.3动量方程第二页，共一百零二页，2022年，8月28日

5.2.4粘滞模型

5.2.5高阶模型的稳定性分析

5.2.6利用有限元的数学解法

5.2.7实际例子中参数的标定

5.2.8瓶颈处交通流的计算

5.2.9密度与松弛时间和期望系数5.3随机性连续波动模型

5.3.1交通流的变化

5.3.2速度分布的计算

5.3.3加速度干扰

5.3.4微观时间间隔分布和宏观交通流量分布第三页，共一百零二页，2022年，8月28日如果从一架飞机上看某条高速公路，我们会很自然的把来来往往的车流想象成河流或某种连续的流体。正是由于这种相似性，经常使用流量、密度、速度等流体力学术语来描述交通流特性。我们知道，流体满足两个基本假设，即流量守恒和速度与密度对应。对于交通流，第一个假定使用守恒方程或连续性方程来表示。第一个假设的理论被广泛的接受，并且关于它的有效性没有争论。第二个假设却引起了很多的争议，在一定程度上说，这是因为该假设无法始终被理解，而且测量方法具有一定的矛盾性。第二种假设具有一定的限制性。5.1简单连续流模型第四页，共一百零二页，2022年，8月28日限制条件为速度（或流量）是密度函数，但只适用于平衡状态，由于平衡状态只能在实际应用中得出，满意的速度－密度关系式很难得出，该关系式通常通过假设或理论推断得出。本章中，对简单模型和高阶模型都进行了介绍，并对其进行解析求解和数值求解。本章的目的不是重申以前专论中有名的文献，而是为在业的工程师总结简单连续流理论的本质，阐述该理论如何应用于模型和现实生活环境的分析中。对于经过三十年来的演变的高阶模型，一直没有被充分的涉及到；因而，本章将对高阶模型进行详细的介绍。第五页，共一百零二页，2022年，8月28日5.1.1守恒方程守恒方程很容易通过设有两个交通计数站的单向连续路段导出（两个计数点分别设在上游和下游），如图5.1所示。两点间的距离为，在间距内没有出口和进口(即两站之间没有交通流的产生或离去)。图5.1用于推导守恒方程的路段示意图第六页，共一百零二页，2022年，8月28日设是在时间内通过站i的车辆数，是时间内的交通量。是站1和站2同时开始计数所持续的时间。两站之间一般不会有车辆的减少，设>。由于在间距内没有车辆的减少，在站1和站2间会产生车辆的聚集。设=，则车辆聚集数为负值。

下面介绍守恒方程的推导过程。第七页，共一百零二页，2022年，8月28日守恒方程的推导:

第八页，共一百零二页，2022年，8月28日如果在路段内有车辆的产生和离去，那么守恒方程将采用如下更一般的形式：（5.2）

这里是指车辆的产生（离去）率（单位时间、单位长度内车辆产生或离去数）。第九页，共一百零二页，2022年，8月28日5.1.2守恒方程解析法以及交通波

1.守恒方程解析法

对于守恒方程的一般形式（5.2），考虑最基本的关系：

我们可以很容易知道，如果，在公式（5.2）中，我们得到只有一个未知量的方程，可以对其解析求解。一般情况的解析法很复杂，在实际应用中是不可行的。因此我们只考虑没有交通产生或离去的影响，即的情况。基于这种思想，守恒方程可以写为如下形式：或（5.4）第十页，共一百零二页，2022年，8月28日

可以是任意的函数，不需要为了使结果通用作特定的假设。采用格林希尔治（Greenshields）提出的速度—密度线性模型，则公式（5.4）变形为：

这里，表示自由流速度，是阻塞密度。第十一页，共一百零二页，2022年，8月28日

2.交通波公式（5.4）是一阶拟线性偏微分方程，可以通过特性曲线的方法解决，求出其解析解。交通特性曲线是基于定义和边界条件，从时空分布中散发出来的直线。交通特性曲线的斜率：

它表示交通特性有着与流率—密度曲线相同的坡度。在空间分布中任何一点（x,t）的密度由通过该点的时空特性曲线得出。第十二页，共一百零二页，2022年，8月28日当两条交通特性曲线相交时，在这一点密度就会有两个值，这是不符合实际的。这种差异可以通过交通波的产生进行解释。简言之，两条交通特性曲线相交，将会产生交通波，特性曲线终止。一个交通波表示或的中断。

交通波的速度是：其中，，表示下游条件，，表示上游条件。

第十三页，共一百零二页，2022年，8月28日当>0时，交通波向下游运动，当<0时，交通波沿道路向上游传播。进一步的讲，某一点上的上游和下游交通流率的不同，并不能说明存在交通波，除非在交通特性曲线相交的条件下才能成立。一般来说，只有当下游密度大于上游密度时才会发生。当下游密度小于上游密度时，将得到类似于排队消散的流率的传播。当下游的密度高于上游时，将会产生交通波，此时，尽管车辆正在向下游行使，仍将会产生车辆的排队。交通波密描述了两种交通状态的转化过程，代表了转化的方向和进程。>0，表明波面的运动方向与交通流的运动方向相同；，表明波面维持在原地不动；，则说明波的传播方向与交通流的运动方向相反。第十四页，共一百零二页，2022年，8月28日在图5.2a)中，两点代表两种交通流状态，当这两种交通流状态相遇时，便产生交通波，其波速为连线的斜率。图5.2b)是在时空坐标系中描述的交通波，明显可以看出交通波的含义。图5.2交通波含义示意图a)b)第十五页，共一百零二页，2022年，8月28日5.1.3应用

虽然简单的连续理论在50年代就得到了发展，并在文献中被大量的涉及，但是并没有被广泛地应用于实际中去。一部分原因是缺乏对物理问题的理解，还有部分原因是确定初始和边界条件具有一定的困难。而且，通过解析解法很难获得实际的初始和边界条件、复杂的关系式等。第一个问题可以通过更好的理解后面小节中的原理和定义物理问题来进行解决。后面的小节为解决这一问题的一个实例。交通波的另一个实际应用是交通信号控制、主干道及自由流的分析。将简单连续理论的应用于更复杂的环境中的问题，只能通过守恒方程的数值解进行解决。本章中也将应用数值解法对简单连续模型进行改进。下一节将以简单连续模型在信号交叉口中的应用来说明理论如何更好的说明排队的形成和消散。第十六页，共一百零二页，2022年，8月28日5.1.4信号交叉口中排队的形成与消散解析结果排队长度的稳定性信号线和排队行为

第十七页，共一百零二页，2022年，8月28日通过确定简单连续模型的临界和初始条件，应用简单连续模型求解排队数，而临界和初始条件可以通过信号控制交叉口检测设备获到，如图5.3所示。该图中分别表示距离和时间。假设从停车线开始的距离内没有出入口，并且认为足够长，排队没有超出这一路段。在图5.3中和分别表示信号周期C开始和结束时的排队的初始长度和最终长度。如图5.3所示，从边界发出的特性曲线把整个时空区域分成四个流率—密度状况截然不同的区域。特性曲线相交线，即为交通波曲线。在图示的周期内，交通波曲线为。因此，这条线代表了车队队尾的轨迹，并且它到停车线的垂直距离代表车队长度，由表示。曲线上任何点的切线的斜率表示该点交通波沿道路向上游或下游的传播速度。第十八页，共一百零二页，2022年，8月28日区域密度

1，423

图5.3信号控制交叉口在一个饱和周期内排队的形成过程第十九页，共一百零二页，2022年，8月28日1.解析结果曲线ACMDE的每一段以及点C、M、D、E的坐标都可以用解析法得到。为了获到解析解，必须假设流量与密度，或者等价的速度与密度之间有特定的关系。为了简单起见，可以采用格林希尔治速度——密度线性模型。假设x的方向为正，B点的坐标为（0，L），即。下面是推导图5.3中各参量的方法和模型。第二十页，共一百零二页，2022年，8月28日先考虑C点坐标位置设y表示排队长度。

对于曲线CMD：对于FD曲线：第二十一页，共一百零二页，2022年，8月28日

对于曲线DE：在车流未饱和的周期里，车队消散的最短时间：

这是解决初始排队长度所需要的最小时间。在这样的周期里，最终排队长度与初始队长无关，由下式给出：第二十二页，共一百零二页，2022年，8月28日

2.排队长度的稳定性

前一节提到的初始排队和最终排队的解析关系可以应用于饱和周期的稳定性分析。公式(5.19)可以写为：

（5.23）式中：因此公式(5.23)可以推广到任何周期N，形式为：

式中和是指周期N和N+1开始时的排队长度。显然，如果或，即，则存在稳定状态。因此，对于稳定状态：第二十三页，共一百零二页，2022年，8月28日由此得到稳定状态时的绿信比如下所示，记为：因为是正的，所以很容易看出如果，周期尾部的排队长度将随着这种情况的延续持续增长。否则，如果b<0或，周期尾部的排队长度将会减少。如果b=0，交通需求的一个微小变动将会使平衡状态改变，出现亚稳定状态。第二十四页，共一百零二页，2022年，8月28日

3.信号线和排队行为

将类似的分析结果应用于交叉口系统是一个相对复杂的解析过程，但是对观察到问题的本质很有价值。图5.4描述了在一个饱和周期内信号连接线上排队长度和交通波的发展。虽然是简单化的假设，但实现的可能性是很大的。因此，我们可以应用数值解法来求解复杂条件下的守恒方程。连续交通流的模型的主要的优点为在守恒方程中考虑了可压缩性，交通流量假设为密度的函数。车队进入高密度区域，连续模型显示车队的可压缩性；相反的，当车队进入低密度区域，我们可以观察到排队的消散或消失现象。第二十五页，共一百零二页，2022年，8月28日图5.4一个饱和周期内两个信号交叉口间交通波的传播第二十六页，共一百零二页，2022年，8月28日5.1.5守恒方程的数值解法

数值计算思路如下：首先把所要考虑的道路离散成若干微小的路段并按连续时间增量来更新离散化的网络中每一节点的交通流参数值。如图5.4所示。图5.5道路空间离散实例第二十七页，共一百零二页，2022年，8月28日首先从空间上对路段进行离散化处理，然后再将时间离散，即:

T为观测周期，并满足下面的方程：式中：——在路段，时刻的密度、流量；

——初始时刻；

——时间和空间的增量,要求大于自由流速度；

——路段在的净流率。第二十八页，共一百零二页，2022年，8月28日

如果密度确定，在时刻的速度由平衡态速度——密度关系得，即：例如，对于格林希尔治线性模型有：式中：——自由流速率,阻塞密度。需要指出的是，上式适用于任何速度——密度模型，包括不连续模型；如果无法获得的解析表达式，那么可以从曲线通过数值方法获得其数值解。时刻的流率可以从下面的基本关系式获得：第二十九页，共一百零二页，2022年，8月28日5.1.6多车道流体动力学应用

双车道或多车道的简单连续流模型可以通过整合每个车道的守恒方程得出。车道间的交通流变化意味着所研究车道上的车辆产生或减少。车辆产生条件基于这样一个假设：相邻车道之间的车流的交换与平衡密度的偏差成比例。假定每一条车道都满足守恒方程，对每一车道分别写出守恒方程：第i车道的流率（i=1,2）第i车道的密度（i=1,2）车道交换率（i=1,2），正值表示进入，负值表示离开从上述条件可得：——敏感系数，表示交叉强度，单位为t-1；——第i个车道的均衡密度。由于系统封闭，流量守恒，则容易得到：

第三十页，共一百零二页，2022年，8月28日该方程的局限：（1）上述的模型并没有考虑入口或出口匝道引起的车辆的产生和离去。（2）此外，当两车道密度相等时，如果平衡密度，则根据这一模型判断将会发生车辆变换车道的现象。而事实上，当两车道密度值相差不大时，车辆一般不会改道行驶。为了使这个模型更符合实际情况，对其加以改进，考虑三方面：（1）敏感系数是可变的，它随两车道之间的密度不同而不同；（2）考虑进出口问题；（3）考虑时间滞后影响。上面的公式被修改为：这里的为车道1（右侧车道）内的交通产生率，驶入为正，驶出为负。且有：第三十一页，共一百零二页，2022年，8月28日前面的公式中：是恒定值，如果密度值低于该值，将不会发生车道间交通流量的变换；为相互作用滞后时间，为阻塞密度。在该模型中假设车辆在1车道上增加（或离开），这里的1车道指公路的右侧车道。

图5.6给出了两车道公路路段（包含一个入口匝道）的空间离散化过程；多个出口和进口的情况可以类似推出。图5.6同向2车道高速公路空间离散图示第三十二页，共一百零二页，2022年，8月28日由以上求出的数值解为：式中：：在：初始时间；：相应于的平衡速度。

假设使用格林希尔茨的简单均衡模型，可以证明得到

随着每个时间段密度的计算，流率和速度可以从下面两式得到：时第i个车道第j点的密度和第三十三页，共一百零二页，2022年，8月28日求解所需的上游或下游边界条件

车辆的到达和离开相对应常量时间变量随机量随机量可用仿真技术得到初始条件可以为常量，也可以根据所考虑的实际情况随距离变化。在确定下游边界条件时，当交通流量不能确定，并且充分小时，可以假设：在初始阶段（即当），可以假设，这意味着没有变换车道的现象发生。第三十四页，共一百零二页，2022年，8月28日可以将多车道模型直接扩展到多于两个车道的情况。

上面所讨论的模型没有明显地包括道路宽度y这一因素，也就是说没有对y方向进行空间离散。由于我们已经把道路划分成了多条车道，所以y方向的空间离散是很自然的。原则上，一个二维空间模型能够更准确地描述交通流行为。下面是一个满足守恒规律的的简单连续流方程：由于上面的方程有三个未知量，因此必须和下面的两个状态方程结合起来进行求解：在新方程里，密度代表每单位区域内的车辆数，例如阻塞密度定义为：分别为x和y方向的最小净空高度。公式（5.39）的一般形式为：第三十五页，共一百零二页，2022年，8月28日5.2高阶模型5.2.1简单连续流模型的评述

前面所述的简单连续流模型适用在描述交通流的运动波。尽管如此，这些模型存在如下缺陷：动态模型包含固定的速度-密度关系（即速度要随着交通密度进行瞬时调整），实际上速度是在延误一段时间才进行调整的，并且反映的是下游的交通流条件。2.运动波理论说明了通过由急剧加速突变（steepingspeedjumps）最终变为无穷急剧突变（infinitesharpjumps.）的交通波的形成。这一宏观理论的数值取自于所有车辆的平均值。在时间和空间延展的区域内得到的都是平均值。因此，无穷突变（Infinitejumps）与基本的宏观描述是相矛盾的。唯一的解决办法是增加一个加速度附加方程，包含对速度—流量特征的非瞬时的调整，在公式的最后介绍了强激波（sharpshocks）的扩散和消去（参照图5.7）3.非稳定交通流，通过规则的依赖于广幅度的振动时间的停车-启动波，由适当条件进行描述。振荡解无法由动态方程得出。第三十六页，共一百零二页，2022年，8月28日交通流的动态模型存在着滞后现象。与车辆近似接近扰动的行为相比，滞后现象包括一个一般的出现扰动后的车队阻滞行为（参照图5.7）。简单连续流模型无法描述这种现象。

在图5.8中，滞后现象是简单动态交通波理论无法解决的交通流动态特性的一个典型实例。通过观测出现扰动后的车队获得的流量和密度，与车队接近扰动的情况下获得的值是不相同的。图5.8滞后现象作为交通流动态特性的一个典型实例图5.7宏观模型

第三十七页，共一百零二页，2022年，8月28日5.除了滞后现象外，至关紧要的不稳定影响是双态行为（即超过某一临界密度，交通流变为不稳定状态）。当超出临界密度，在无任何明显的原因的情况下，交通流迅速呈现更加拥挤的状况。动态交通波动理论只能表明，交通波的传播方向可以从下游到上游发生变化。根据交通流动力学，速度—密度关系近似曲线上的测定点的偏差，不是仅有随机效应所能解释的，还有其他的原因。使用混合了固定和不固定的交通观测点的稳态的速度—密度特性曲线来进行动态描述。用特性曲线来描述的速度—密度关系对各种交通控制的设计都是至关重要的，因此对于这种混合引起了高度的质疑。简单连续流模型的这些重要缺陷表明了动态扩展的必要性，从而产生了对交通流描述的改进。第三十八页，共一百零二页，2022年，8月28日5.2.2瞬时和停车-启动波

在得到更加详细化的高阶的连续流模型（将加速度以及非瞬时的和空间的阻滞反应的惯性效应考虑了进去）之前，实验观察资料都是以瞬变现象和停车-启动波的形式来描述的。我们印象最深刻的瞬变现象和停车-启动波形式的测量方法来自于欧洲的高速公路。在欧洲，由于空间限制，拥有大量的双车道高速公路。这些高速公路，大多装有一种密集的测量栅格，不仅仅可以测量流量和占有率，也可以进行速度探测，还能显示出稳定的停车-启动波，波动有时能够持续三个小时以上。在德国（利特兹巴茨（Leutzbach），1991）、荷兰(沃维（Verweij），1985)、意大利(法若瑞（Ferrari），1989)都有测量数据。德国的数据是首先公布的。数据来自于卡尔斯鲁厄大学运输学院在德国A5Karlsruhe-Basel（卡尔斯鲁厄-巴塞尔）高速公路617公里处的调查记录。每个调查数据为两分钟的平均值，在这两分钟内每30秒启动一次。数据来源于假期交通调查（不包含货车）。每种测量方法都可以高度理想化的描画出测量群列以及周期性的停车-启动波并得到相应的振幅和周期。振动周期T，来自于高度理想化的周期性线形,停车-启动波振幅A来自于如图5.9a,b）和图5.9c,d）所示的停车-启动波理论。第三十九页，共一百零二页，2022年，8月28日周期T16min15min7.5min5min振幅A70kn/h70km/h40km/h25km/h测量方法序号2a2b3a3b数据来源于德国卡尔斯鲁厄大学运输学院图5.9a,b非稳态交通流平均速度的时间数组图5.9c,d发生较小波动的非稳态交通流平均速度的时间数组第四十页，共一百零二页，2022年，8月28日

以上的数据表示出振幅和周期的比例关系。这种关系表示出了停车-启动波的非线性和不协调性。在协调振动情况下，振幅和周期是相互独立的，就像线性的钟摆一样。很显然，振幅和周期存在比例关系只限于在交通流的临界车速（80kn/h）和阻塞速度（10km/h）之间。对于从自由流车速到完全停滞状态全部范围内的停车-启动波振动，饱和效应将减轻这种比例关系。介绍一种荷兰的调查方法，作为瞬态效应的例子：调查地点：荷兰A16高速公路西行1.1公里到4.35公里处调查时间：1983.3.303：30-6：00pm路段情况：包括2.0公里和2.5公里间的上坡辅道和2.9公里到3.3公里间的通往鹿特丹(Rotterdam)中心枢纽的出口，还包括位于3.8公里到4.35公里之间从鹿特丹中心枢纽到高速公路的入口。这条汽车高速公路除了在3.3到3.8公里间为两车道外，其他路段均为三车道公路。调查点位设置：分别设在1.1，1.6，2.0，2.5，2.9，3.3，3.8和4.35公里处，每个调查点平均间隔500米。第四十一页，共一百零二页，2022年，8月28日图5.10相邻的测量站点平均速度的定时显像

在4.35公里处，从下午3：50到5：20存在一个交通衰减，此时的速度为70km/h，而自由流车速为110km/h。在堵塞区域内，速度变化是不稳定的，没有明显的波动。种衰减随着调查站点向着上游不断的扩大，并且在3.3公里处形成有规律的停车-启动波，周期约为4min，振幅约为30km/h。较远的上游1.1公里调查站点处，由于初始扰动的大范围扩散，交通流重新变得不稳定，缓慢的交通流区域几乎全部被阻尼掉。由图可以得出，交通流衰弱时以负的波速约-10km/h向后传播。第四十二页，共一百零二页，2022年，8月28日5.2.3动量方程在前面的小节中，简单连续流模型的扩展用来解释动态效应，是由首先惠特汉（Whitham，1974)和佩尼（Payne，1979)首先提出的。一小队车辆的实际速度u(x,t)可以有预定地点上，滞后时间后的速度-密度的平衡关系得出:（5.41）为了计算方便，将不再对x和t进行论证。对公式（5.41）的右端，有：其中，。导数dv/dt是观测者沿着流线x=x(t)移动的加速度。

假设和都小范围的服从于车队的实际加速度，将上式关于这两个量进行泰勒级数展开，得到：（5.42）（5.43）第四十三页，共一百零二页，2022年，8月28日上面的公式在固定的坐标系内变换，得到：实际的加速度被分解为阐述沿交通流线路的空间变化的加速度的对流项，还分解为一个显著依赖时间的堵塞形成的局部加速度。连续方程：和动量方程：组成了一阶偏微分方程，并且认为方程描述了与交通流有关的动态效应，例如停车—启动波的形成，不稳定流和瞬变现象的分态，以及还有在瓶颈处的交通状况等。尽管如此，这些基本的方程式既不能描述停车-启动波也不能正确地描述出瓶颈处的交通状况。

第四十四页，共一百零二页，2022年，8月28日为了说明得到的动量方程的不同条件，基于空气动力学方法进行了微观的说明。假设一个车辆速度分布函数f(x,v,t)，可得t时刻在路段x和x+dx之间，速度在v和v+dv的范围内的车辆数dN：相应的密度增量为：密度和平均速度为：第四十五页，共一百零二页，2022年，8月28日经过对运动公式的一系列推导，得到：对流运动和相关的均衡速度分布引出了分布函数f的运动方程：

所有公式的系数都取决于调查站点，采用最小二乘法。在所有的方法中，都存在交通量的样本大小只包括一小部分极小量的情况，流量模型存在的这个必然的缺陷限制了模型的应用。第四十六页，共一百零二页，2022年，8月28日5.2.4粘滞模型在密度状态下,可以通过引进一个通用坐标量,建立不受稳定性限制的,静止的停车-启动波，即：

(5.70)

其中,包括未知车队的速度。如果密度和平均速度只与通用坐标量z有关,则：

(5.71)

这个偏微分方程就转化为了普通的微分方程,然后就可以得到基本方程：连续性方程：

(5.72)

动量方程：

(5.73)第四十七页，共一百零二页，2022年，8月28日

连续性方程可以直接被整合为：

（5.74）

必须补充一下,以上的公式说明密度和速度与车队的速率有关。波动沿着道路移动的解法,只有在密度的增加与车队的平均速度减少比例相同时,才能得到结果，反之亦然。恒量表示净流量，须满足边界条件和初始条件的值。合并连续性方程到动量方程,于是产生了一个曲线方程，这个方程是关于停车-启动波解法的速度特征曲线：

（5.75）简化并做数学处理后，得到无量纲系数：

（5.76）

得到曲线方程：（5.77）

第四十八页，共一百零二页，2022年，8月28日这个曲线方程的首要条件,就是能够直接整合为一般微分方程。它包括两个专用参数：流率和车队速度。关于的这个曲线方程存在异常即分母趋于零。负的速度被排除在外。

（5.78）

关于这方面Dressler做了详细的讨论。它与纵坡有关，纵坡可能为拐点也可能为极值点z=z(u)。极值由u=u(z)得到，从而导致不明确的解，因此应该排出在外。为了得到拐点，条件

（5.79）

必须同时满足。计算为

和

（5.80）

第四十九页，共一百零二页，2022年，8月28日

（5.81）

这说明了对于纵坡拐点的两个条件不能够同时满足。所以一定要消除这个异常，否则会产生不确定的解。要消除这个异常，在曲线方程(式5.77)中分子分母的零点必须一致，这样就确定了车队的速率为

（5.82）

车队速率和瓶颈容量为两个独立的参数；通过确定它们的具体值来获得确定的结果，表现了模型的局限性。由公式5.82给出的车队速率和净流率，曲线的一个固定形状被确定了，然而到目前为止，没有实用的周期性的解法。由于粘滞模型尚未被人完全掌握，所以很少被使用。

第五十页，共一百零二页，2022年，8月28日5.2.5高阶模型的稳定性分析

基本方程：

（5.88）

依靠速度和密度的平衡关系，得平衡方程：

（5.89）

为了确定解决方法的稳定性，用方程组（5-90）中的k,u的表达式

（5.90）

来代替方程（5-88）中的k,u，其中只有在第一个方程中才考虑和（为方便起见，在导数不能使用的地方，我们用无量纲坐标

来代替）。在方程5.90中，是波数，是对应的频率。第五十一页，共一百零二页，2022年，8月28日连续性方程和动量方程如下：

（5-91）取为雷诺数的倒数：

（5-92）有解的条件是特征值存在：

（5-93）其中，a为无量纲的交通参数。

（5-94）第五十二页，共一百零二页，2022年，8月28日对应于两个不同类型的刺激，存在相应的特征值的两个分支，一个分支导致了永久的负数部分，因此是稳定的。另外一个分支有一部分可以独立于参数a变换它们的符号，因此，也导致方程解的不稳定性，交叉点由如下给出：

（5-95）如果a>0，这是符合一个真实波数的，为不稳定状态的必要条件，如果a<0,则达不到交叉点。整体的稳定性分析时，a<0时方程解是稳定的,a>0方程解时变的不稳定，这是由佩恩1997年分析得到的。波数依赖于特征值的实数的部分，与稳定范围一起显示在图5.14和图5.15中。图5.14显示了，对于a>0，从平衡方程的线性稳定性分析来看，波数依赖于特征值的实数部分上游支流的正值导致了平衡方程的不稳定。第五十三页，共一百零二页，2022年，8月28日图5.14波数依赖于线性稳定性分析图5.15交通参数a和同性质交通流的区域第五十四页，共一百零二页，2022年，8月28日相应的特征值能用下式计算：

（5.96）

其中，N是普通的常量。例如，在过渡点：

上游的支流为：（5.97）

为了解释上游的不稳定流，用密度和速度的符号的偏离平衡，来描述上游交通流的刺激，在这里速度与密度以相反的方向变化。第五十五页，共一百零二页，2022年，8月28日

在平衡方程中,随着密度的降低，速度随之升高。这个刺激导致不稳定交通流超过了密度的临界值。如能从整个刺激中，通过协调速度和密度使它们同相来起作用，则到达第二个和较低的稳定的分支，而这在实际的交通中是不正常的现象。当密度增加时，交通流变得拥挤，司机对速度的反应减弱了是导致交通流不稳定、波动传播、停止-启动波形成的原因。当然，这种反应也是为了安全起见。而采用人工的距离控制系统，使较低的支流刺激成为可能。通过距离控制系统得到了“高密度—高速度”的反应，增加了道路的容量。在不稳定的区域内，线性稳定性分析显示，指数紊乱地增长。因为饱和作用的影响将限制非线性稳定性的增长，就必须考虑不稳定区域。一些用来描述在不稳定区域行为的非线性稳定性分析的方法已经发展起来。这些方法大部分都是以特征值增长的线性稳定性分析作为出发点。第五十六页，共一百零二页，2022年，8月28日利用有限元的数学解法

在一个很广的范围内，直到现在，高阶模型还是没有能够成功显示出比普通连续模型的优越性，甚至是在改进算法后也是如此。这种情况与欧拉方程在流体力学种的运用和其在静水力学中的运用类似，并没有得到改进的结果，甚至是得到了错误的结果。（例如：剪切面，浮力和漩涡的边界线条件）。只有在纳维尔·斯托克斯(NavierStokes)水平下，完全的流体动力学作用才能正确地被考虑进去。因此，只能用高阶模型来描述在瓶颈处的交通流、停止－启动波的形成和在不稳定交通流的多种多样的交通模式也就不奇怪了。（包括粘滞和等于零的粘滞和趋于零的粘滞的区别）。除深刻理解宏观交通流机理外，还要提供合适的数学方法。在很多情况下，由于相关的数字不稳定性经常导致错误的结果，简单的离散化方案并不适合。第五十七页，共一百零二页，2022年，8月28日

数学解法必须包括：

1、通过牛顿迭代法修正非线性关系的处理方法，差异集中的完全综合处理步骤，使得它在所有条件下都是稳定的。

2、考虑到基本不同的平衡系统的曲线特性，修正边界条件和初始条件。如果系数不突变，这个明确的处理过程证明了数学稳定的，因此，就能引入瓶颈的概念。有时还要做一些附加的简化（例如，运用对数密度或分开动量平衡中保守的部分）；这些方法是与特殊的期望项和基本图表的形式联系的，因此一般都是不常用的。第五十八页，共一百零二页，2022年，8月28日

数学解决方案的关键在于为空间的离散化和时间的调整而正确的选择空间和时间上的步长。很多文章建议空间步长取大约500米，理由是这与空间变化的长度一致，而在传统上是观测场所的范围。数学解决方法的经验显示，可以考虑更小的有效长度。巴黎周围的Périphérique大道的计算用了125米，并建议采用更小的离散结构。较小的结构引起剪切面（＝80米）的长度特性，并推出变化小的最小长度是与一辆汽车的长度相一致的。在整个数学处理过程中，取：（5.98）空间的步长是通过速度特性和时间步长相联系的。为了记录波动向前传播，选择合适的向后传播的速度是20km/h。（5.99）

第五十九页，共一百零二页，2022年，8月28日因为时间步长小于实际为边界条件观测速率（通常取30秒的扫描率）。观测的数据要通过内插来提供过平滑的作用，使数学计算达到稳定的。积分后基本方程转化为：

（5.100）将其代入三个方程（对应于未知的变量，k、v和w）里。为了迅速地确定静态和动态的参数。用下面的方法来规范化变量：（5.101）

上式中，参考状态可以是在特殊车道数下的阻塞密度。未知的变量可以放在一起用向量y表示：

（5.102）第六十页，共一百零二页，2022年，8月28日基本方程是准线性的偏微分方程的形式:

(5.103)

(5.104)

包含静态速度－密度的方程

（5.105）

指数描述了密度的依赖性，在车道减少和瓶颈的情况下，也包括阻塞密度，它是依赖于空间的。第六十一页，共一百零二页，2022年，8月28日基本方程包含了两个动力学参数：

(5.106)

结合它的特性对方程5.103进行整合。为保证唯一性，需要两个初始条件，例如：

和三个边界条件，例如：（5.107）为了解的数学稳定性，必须考虑到不同方程的双曲线特性，因此，只有很少的边界条件，左边界和右边界能用到（5-108）第六十二页，共一百零二页，2022年，8月28日为了得到详细的数学解，方程结合方法把图解显示在图5.16中。

图5.16类似微分方程的对时间和空间栅格的逐步积分第六十三页，共一百零二页，2022年，8月28日为了得到连续函数：

（5.109）

被定义为格子的函数代替：

(5.110)所有的导数的被不同的居中的商代替:(5.111)

(5.112)函数值用中点值代替：

（5.113）第六十四页，共一百零二页，2022年，8月28日积分的过程是一个逐步的过程，从已知时间层，变量开始，（5.114）处理这一层到新的未知的层，，计算未知量：

(5.115)

由于基本方程是非线性的，使用明确的步骤必须与未知量相符合。牛顿迭代过程的结果是非常稳定。变量用代替，误差用线性化的初始方程计算。用矩阵向量表示为：（5.116）第六十五页，共一百零二页，2022年，8月28日基本方程可以写成如下形式：

（5.117）其中

（5.118）

（5.119）

（5.120）

（5.121）第六十六页，共一百零二页，2022年，8月28日其中，k、kt分别是：

（5.122）

（5.123）从初始条件作为初始值：

（5.124）左边界条件：

（5.125）第六十七页，共一百零二页，2022年，8月28日用下式进行递归计算：

（5.126）作为的函数，它的结果取决于右边界条件：

（5.127）完整的数学解决过程如图5.17所示：第六十八页，共一百零二页，2022年，8月28日5.17数学解决方法的流程图表第六十九页，共一百零二页，2022年，8月28日5.2.7实际例子中参数的标定为了标定参数，我们来比较介于交叉口中间路段的观测方法，并估计平均速度和交通量，或者在调查的条件下基于模型的本地密度的计算。基本原理见图5.18。

图5.18通过测量和比较计算来标定参数第七十页，共一百零二页，2022年，8月28日在边界处，和中间处，测量平均速度和交通量或者本地密度。初始条件与边界条件基本上是相容的。在经过一些简单的迭代后，平均速度和本地密度的结果，通过模型方程来计算和介于交叉口中间路段的观测来比较。利用指数,定义如下：（5.128）

是一个静态函数，并且可以通过选择最佳的参数最小化。

（5.129）显然，在离散化处理中结果依赖于选择的步长。通过斜率或比较的方法确定最小值显得太麻烦。MonteCarlo方法作为一种更好的方法，减少了计算并得出了合理的结果。

第七十一页，共一百零二页，2022年，8月28日速度－密度特性是依赖于周围数据（车道数，坡度，曲率）和环境条件（天气，一天的时间）,而不是特定的位置。在用能量关系分析的情况下,通过引入限制速度,来降低自由流速度和指数的值。下面给出了一个例子，说明通过在每个过渡段引入不同的卡车比例来改变阻塞密度是合适的。（5.130）

其中：相对卡车比例；

——对于100％的乘客汽车阻塞密度；

——对于100％的卡车阻塞密度。为了标定参数，使用了德国靠近纽伦堡的A3Fürth-Erlangen大道的数据。1992年11月7，8号，在卡车比例相对较低时，收集了数据。这个过程通过仿真被详细地记录下来，相应的无量纲的数据是：（5.131）第七十二页，共一百零二页，2022年，8月28日图5.20在介于交叉口中间路段上测试点的平均速度的观测和估算的时间序列第七十三页，共一百零二页，2022年，8月28日结果是交通流模型描述了介于低、高雷诺数之间的流体状态，作为一个高雷诺数的流体，忽视粘滞是不可能，而低雷诺数的扩大也是不可能的。剪切面深度：（5.133）两车道公路临界密度的计算如下：（5.134）

（5.135）第七十四页，共一百零二页，2022年，8月28日5.2.8瓶颈处交通流的计算

瓶颈处交通流的计算对交通流的测试是至关重要的。瓶颈处交通流的观测是：

1、在瓶颈处交通量超过容量最多只持续几分钟的时间。

2、交通流密度能在任何一点超过阻塞密度。

3、如果交通需求超过容量，则在瓶颈位置之前会发生阻塞。

4、溢出的交通通过上游的波动标记，在拥挤的区域内形成停止－启动波

5、空间改变发生的距离短于100m。

6、应该在这样一种条件下选择边界条件，即影响交通量和交通方式全额导而不引起交通波动变化。在先前描述的高速稳定流的宏观模型的基础上，车道减少（两车道变为单车道）已经被模拟了。第七十五页，共一百零二页，2022年，8月28日下面的图显示了是在长度为10公里的两车道公路上，在瓶颈处交通的最大密度，从每公里320辆减少到220辆。图5.21a1到4分钟内交通密度的发展变化过程图5.21a显示了在空间距离5.6公里到8.5公里之间，在瓶颈处，形成了高密度的区域。第七十六页，共一百零二页，2022年，8月28日图5.21b-d显示了，在1000秒的时间内，速度变化发展的过程。

图5.21b6到10分钟后的交通速度变化发展过程第七十七页，共一百零二页，2022年，8月28日图5.21c显示300秒到800秒之后的速度的变化过程。速度高峰在上游徘徊，而过分反应区域则衰退了。额外的波动形成了启动—停止波。图5.21c12到24分钟后的速度变化发展过程第七十八页，共一百零二页，2022年，8月28日图5.21d显示了1000秒以后的在瓶颈处的速度变化发展过程。在拥挤区域，在瓶颈处之前形成了停止－启动波。图5.21d30分钟后瓶颈处的速度变化发展过程

第七十九页，共一百零二页，2022年，8月28日

5.21b-d图从一系列的折断，显示了在瓶颈处密度高峰的形成、密度高峰的移动和过分反应区域界限的衰退。同时也显示在交通瓶颈处，存在着额外的小的波动。这些比较麻烦的小的波动是用来表征溢出的交通流的。在瓶颈密度过大的情况下，给人的最后一个印象是密度分布的发展超出了最初的分布，瓶颈本身从6.5公里持续到8.5公里。停止－启动波位于车道减少路段的拥挤区域的上游。第八十页，共一百零二页，2022年，8月28日密度与松弛时间和期望系数目前,密度与持续松弛时间和期望系数已经引起大家的关注。许多人正在尝试用一个比较可行的方式来描述这两个系数。首先，来看松弛时间与密度的相关性：

0﹤r﹤1

与r的取值有关，在r一定时，当交通接近非常拥挤时，松弛时间变大；当密度非常低时，松弛时间变小。与密度的这种关系说明了一个事实，在拥挤的交通条件下，由于驾驶员之间的相互影响，车辆几乎不可能达到设计速度。但是随着密度的增加，这种影响所产生的消极作用会逐渐变小。在低交通密度条件下，达到最初的设计速度是可能的，建立基于松弛时间的模型(见图5.22)。由可知，期望系数表示车辆速度分布的标准偏离程度。第八十一页，共一百零二页，2022年，8月28日

对于这个标准的偏离,这里采用以前的观测方法，表示出在低交通密度下，速度分布范围的扩大情况和其可能的结果，以便了解个体的设计速度。速度分布范围逐渐变窄，以出现拥挤作为结束。停止-启动波和伴随着不稳定交通流的波动，导致了速度的分布范围的扩大，这并不是因为不同的车辆有不同的设计速度，而是由交通的动力性能引起的，这使得观测地速度的分布范围较大。最后，在十分拥挤的交通条件下，交通流量极小，平均速度和速度分布相一致，这种情况下，就有必要对不同的速度进行研究了，标准的偏离值趋于零。综上所述，可以得出密度k与期望系数的函数关系，如图5.24所示，具体参数标定小节。第八十二页，共一百零二页，2022年，8月28日图5.22密度—松弛时间关系图

图5.24期望系数第八十三页，共一百零二页，2022年，8月28日5.3.1交通流的变化

交通流是一个随机过程，不能够完全的用宏观流的时空变化来描述。

首先，根据调查可以得出堵塞时的速度分布和加速干扰分布，它们反映出阻塞的形成与消散。5.3随机性连续波动模型调查：德国布鲁斯特-卡尔斯鲁厄高速公路如何将随机过程的特征纳入宏观描述?第八十四页，共一百零二页，2022年，8月28日图5.251976年4月15日上午10：30到下午1：50在617公里处通往卡尔斯鲁厄方向某一车道的时间速度序列图第八十五页，共一百零二页，2022年，8月28日用15km/h的标准偏差和120km/h的近似值，表示的近似服从高斯分布。

图5.26对应与图5.25的速度分布第八十六页，共一百零二页，2022年，8月28日速度分布的计算

当速度分布的范围扩大到接近阻塞密度时，将导致交通阻塞，形成停止-启动波，这种波动理论是由黑德曼提出的(1986)，他通过对不同的速度区间的计算，得出了交通密度在不同速度区间中的函数。阻塞密度取值25veh/km，作为超出交通承载能力的典型值。为了保证速度分布能够充分的反映实际情况，而且视交通流足够静止，这里按照斯特戈斯(Sturges)规则来划分速度分区间的间距。第八十七页，共一百零二页，2022年，8月28日

为了便于将速度分布划分为由一系列数据组成的合适区间组合，这里根据经验规则划分速度区间的等分间距，如下式所示：

(5.138)

式中：——取二元对数；——平均流量；

——速度级差；t——观测时间。作用：根据观测速度的范围，可以得出合适的速度区间间距，速度按照观测的数值进行平均分布。时间间隔取2分钟，平均交通流取2,000veh/h，得出速度区间的间距是：△u=10km/h。

﹡区间划分的好坏以及划分是否有意义取决于交通流的变化

﹡不合理的划分会使交通状况变得模糊。

﹡所测速度误差不得超过5km/h第八十八页，共一百零二页，2022年，8月28日对于交通流的宏观，流量变化可以从两个方面进行描述：

（1）在加速度方程里考虑干扰周期的影响，记为波动系数,这样方程模型可以修改成如下形式

（5.140）意义：速度和密度不再取准确值，而是取分布其周围的任意近似值。

波动系数通过整体-个体现象的随机影响描述这种干扰，比如碰撞、违规的交通引导以及驾驶员注意力的变化，干扰取决于所观测事件的不连续性，用于对影响力的描述。第八十九页，共一百零二页，2022年，8月28日在最简单的情况下，随机常量在空间和时间上是与相关的，服从高斯分布：

(5.141)

这里，<...>表示在一个全体上的期望值，常量是在自由交通流情况下，速度分布的标准偏离程度，的相关性的意味着相互关系在时空上迅速地衰减，取值分别为空间c0=35m，时间=1.8sec。第九十页，共一百零二页，2022年，8月28日（2）把非线性的对流作用视为反馈作用，这种作用可以通过边缘稳定方法进行解释（参考小节）。这里用稍微不同于小节的方式介绍矢量，整体描述有关调查点的速度和密度：

综合表达式

自变量和近似值

第九十一页，共一百零二页，2022年，8月28日在边缘点满足