高中数学 人教A版 必修一 《集合与常用逻辑用语》 1.2 集合间的基本关系

安徽省普通高中新课程新教材优秀课例教学资源教学设计课程基本信息学科高中数学年级高一学期秋季课题1.2集合间的基本关系教科书书名：高中数学必修第一册教材出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学目标1.理解集合之间的包含与相等的含义。2.能识别给定集合的子集，了解空集含义。3.能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换，提升数学抽象素养。教学内容教科书关于集合安排了三节内容，第一节引入新的数学对象——集合，第二、三节研究这个数学对象。研究一个新对象时，类比已有的学习经验是一个好方法。本节类比实数，发现和提出“集合是否像实数一样具有相等关系、大小关系”的问题，抽象概括出包含关系，并从子集角度再认识相等关系。包含关系是集合的基本关系，包含关系和相等关系也都是从元素与集合之间的关系定义集合之间的关系。也就是说，当我们判断集合间关系时，其实是回归到了元素与集合的关系。明确了这一点，对于辨析属于关系、包含关系及理解其符号表示都是很有帮助的。如“A⊆B”就是“对于任意ɑ∈A,ɑ∈B”。符号化是数学的重要特征。在集合的学习中，需要建立符号表示和数学意义之间的联系，Venn图则是梳理集合间的关系以及后面所学的运算的直观且有效的工具。通过各种问题，建立自然语言、符号语言和图形语言(Venn图)之间的联系，有利于表示数学问题，也有助于提升学生数学抽象素养。结合以上分析，确定本节课的教学重难点：教学重点：1.集合间包含与相等的含义。2.用集合语言表达数学对象或数学内容。教学难点：对相似概念及符号的理解，例如区别元素与集合、属于与包含等概念及其符号表示。教学过程一、温故知新、引入新课教师引入：上一节课我们学习了集合的相关概念，下面我们简单回顾一下。1.元素、集合的概念：研究对象统称为元素。一些元素组成的总体叫做集合。2.集合中元素的性质：无序性、确定性、互异性3.集合的表示方法：列举法、描述法4.常用数集：N、N*(N+)、Z、Q、R学生回答后，教师让学生欣赏关于宇宙的视频片段，并提问：把地球、太阳系、银河系、宇宙都看成集合，可以直观感知到集合的范围在不断扩大，该实例启发我们思考：集合与集合之间存不存在相应的联系呢？下面我们来看几个问题。设计意图：巩固旧知，对新知的引入起到过渡作用，从而实现新旧知识的有效衔接。利用视频激发学生的学习兴趣，从而引入本节新课。二、多维互动，主题探究问题1我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，类比思考，两个集合之间是否也有这样的关系？答案：也有。问题2国庆期间，小明同学和爸爸妈妈爷爷奶奶一家人跟着旅行团来到了游乐场，旅行团一共15人，信息如下表：姓名性别年龄（岁）身高（cm）体重（kg）小明男511219小明爸爸男3318885小明妈妈女3216360小明奶奶女6316258小明爷爷男6518290c女3115743d男3117060e男3218285f女2117760g男4216855h男51184100i男2317570j女711922k女4016549l女1015033（1）高空滑道适合年龄16～50岁的游客玩耍，应该如何表示这个集合A呢？（2）激流勇进项目适合年龄10～60岁的游客玩耍，应该如何表示这个集合B呢？（3）你能发现这两个集合的关系么？答案：（1）A={小明爸爸,小明妈妈,c,d,e,f,g,i,k}。（2）B={小明爸爸,小明妈妈,c,d,e,f,g,h,i,k,l}。（3）集合A中任意一个元素都是集合B中的元素。问题3观察如下例子，你能发现下面两个集合之间的关系吗？A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}。答案：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素。学生独立观察，充分思考，交流讨论。教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，不难发现，对于问题2与问题3，集合A中任意一个元素都是集合B中的元素。这时我们说：集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。接着教师抽象概括出子集的定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集。记作：A⊆B(或B⊇A)，读作：“A包含于B”(或“B包含A”)。教师强调：包含于和包含这两个符号，我们应该如何区分？开口朝向哪个集合，另一个集合就是它的子集。在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。对于问题2和问题3中集合A和集合B的包含关系，可以这样表示：教师强调：特别地，对于数集，除了Venn图之外，也可以用数轴表示。问题4观察如下例子，判断集合A是否是集合B的子集？(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4}。(2)A={x∣x≤0,且x∈R},B={x∣x＜1,且x∈R}。(3)A={-1,2,3},B={2,3,4}。(4)A={x∣x是两条边相等的三角形},B={x∣x是等腰三角形}。教师提问，让学生回答后，师生共同评析：(1)(2)(4)中，集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,故集合A是集合B的子集。(3)中，因为集合A中的元素-1不在集合B中，故集合A不是集合B的子集。教师追问：对于第(4)小题，两个集合中的元素有什么关系？学生思考、交流，师生共同小结得出：由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合A、B都是由所有等腰三角形组成的集合。集合A的元素与集合B的元素是一样的，根据第1节所学内容，集合A与集合B相等。教师再次追问：现在我们已经学习了子集的定义，也就是说，我们会用包含的角度去分析集合之间的基本关系了。能不能用包含关系来概括集合相等的定义呢？学生思考、交流，师生共同小结得出：集合A、B都是由所有等腰三角形组成的集合。即集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，同时，集合B中任何一个元素也都是集合A中的元素。即A包含于B，B也包含于A。从而引出集合相等的定义：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等,记作A=B。也就是说，若A⊆B,且B⊆A，则A=B。教师提示：这里与实数间关系中的“若ɑ≤b,且b≤ɑ，则ɑ=b”可类比。教师继续追问：由此可见，两个集合相等是包含关系的特例。那么如果A⊆B，除了A=B之外，还有其他情况吗？对于第(1)、(2)小题，两个集合中的元素是什么关系？教师引导学生发现：集合B中含有其“特有”的元素，即集合B有，而集合A没有的元素。从而引出真子集的定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B,且，就称集合A是集合B的真子集。记作：。读作：“A真包含于B”(或“B真包含A”)。教师强调：真包含于和真包含这两个符号的区分方法：开口朝向哪个集合，该集合范围就大。设计意图：让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论。这是一个提升学生数学抽象素养的时机。问题5子集与真子集的异同分别是什么？答案：相同点：一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素。不同点：子集包括了两个集合相等的情况，而真子集不包括该情况。问题6分析ɑ∈A与{ɑ}⊆A的区别，并填空：元素与集合之间的关系：。集合与集合之间的关系：。答案：属于关系。包含关系。学生探究后，派代表举手回答，教师加以点拨，帮助学生提升对概念的理解。一个房间里面没有任何东西，我们把它叫做空房；一个纸盒里面没有任何东西，我们把它叫做空纸盒；……以此类推：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。空集的性质：1.规定：空集是任何集合的子集，2.空集是任何非空集合的真子集。问题7你能举出几个空集的例子吗？学生举例，教师补充一些实例，如：某班同学都出去上体育课了，教室里剩余同学的集合；一元二次方程当△＜0时的实数解组成的集合；等等。设计意图：对于难度不大的内容，以问题串的形式，帮助学生深入理解概念；并通过举例子，使抽象概念具体化。对于子集问题，师生共同探究得出下列结论：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A。(2)(传递性)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。问题8将实数间的关系与集合间的关系进行类比，填写如下表格：实数间的关系(ɑ、b)集合间的关系(集合A、B)ɑ≤bɑ<bɑ=bɑ≤ɑ若ɑ≤b，b≤c，则ɑ≤c答案：A⊆B。。A=B。A⊆A。若A⊆B，B⊆C，则A⊆C。学生思考后举手回答，教师点评并加以完善。设计意图：依据《课程标准》，注重类比思想的应用，有利于数学课堂的教学，也有利于学生对新知的掌握。增强学生思维的严密性，提升学生的逻辑推理素养。三、例题讲解，巩固新知例1写出集合{ɑ，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。解：集合{ɑ，b}的所有子集为Ø，{ɑ}，{b}，{ɑ，b}。真子集为Ø，{ɑ}，{b}。学生分析解题思路，教师给出解答示范。设计意图：巩固子集和真子集的概念和性质，体会分类的原则和方法，为保证不重不漏，要按照一定顺序写出子集，比如可以根据子集中元素的个数分类。例2判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：(1)A={1，2，3}，B={x∣x是8的约数}。(2)A={x∣x是长方形}，B={x∣x是两条对角线相等的平行四边形}。解：(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集。(2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集。学生判断，教师给出解答示范。设计意图：检验学生对子集概念的掌握情况，进一步明确判断两个集合之间的关系的基本方法——定义法。四、实践练习，能力形成1.写出集合{ɑ，b，c}的所有子集。解：Ø，{ɑ}，{b}，{c}，{ɑ，b}，{ɑ，c}，{b，c}，{ɑ，b，c}。2.用适当的符号填空。(1)ɑ____{ɑ，b，c}；(2)0____{x│x2=0}；(3)Ø____{x∈R│x2+1=0}；(4){0，1}____N；(5){0}____{x│x2=x}；(6){2，1}____{x│x2−3x+2=0}。答案：(1)∈；(2)∈；(3)=；(4)；(5)；(6)=。3.已知集合A={x│0<x<ɑ}，B={x│1<x<2}，若B⊆A，求实数ɑ的取值范围。解：借助数轴可得，ɑ∈{ɑ│ɑ≥2}。第1题一学生上黑板解答，其余学生独自解答。教师在学生中巡视，发现问题并个别辅导，最后对黑板上的反馈情况进行评析。第2、3题学生讨论后，派代表回答，师生共同评析。五、归纳小结教师引导学生回顾本节知识：1.子集,真子集的概念与性质；2.集合的相等；3.集合与集合,元素与集合的关系。设计意图：通过归纳小结培养学生自觉回顾、善于总结