高中数学 人教A版 选修一直线和圆的方程 第12课时

课题：2.5.1直线与圆的位置关系（第一课时）合肥市一六八中学贾秋雨一、内容和内容解析1.内容直线与圆的位置关系.2.内容解析直线与圆的位置关系有三种，分别是；相交、相切、相离，三种位置关系的划分标准是直线与圆的公共点的个数.直线与圆的位置关系是初中和高中都有的教学内容，初中已经学习了直线和圆的三种位置关系的相关概念，会通过圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系来判断直线与圆的位置关系（是建立在给出d与r的数量或能用几何方法判断的情况下），同时学生在初中对于直线与圆的位置关系的判定是定性描述，无法做到定量刻画.也就是说对于直线与圆，学生已经从“形”的角度分析它们的位置关系，如何从“数”的角度刻画它们之间的位置关系就显得十分必要和重要.在本节将类比用直线的方程研究两条直线的位置关系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系,经历了从定性到定量的过程，实现了关系的精确化表达，体现了数形结合与方程的思想，将在坐标法的引领下用代数方法解决几何问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系，形成利用方程判断直线与圆的关系的两种方法.二、目标和目标解析1.目标(1)运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决简单的问题．体现数形结合思想，发展数学运算、直观想象和逻辑推理素养．(2)能理解并掌握解析几何研究问题的一般方法，为后续更一般的“曲线与方程”的学习做好准备．2．目标解析达成上述目标的标志是：=1\*GB2⑴学生能借助几何直观，充分利用图形的几何性质，利用点到直线的距离结合代数方法研究直线与圆的位置关系．(2)学生能够依据直线与圆的方程组成的方程组是否有实数解，来判断直线与圆的位置关系.(3)学生能归纳总结出解析几何研究问题的一般方法．三、教学问题诊断分析学生在初中“图形与几何”的学习中已初步了解了直线与圆的有关知识，前面又学习了直线的方程，学生对用代数方法建立几何问题，并利用方程研究其几何性质有了初步认识，这些都为本节的学习奠定了认知基础．但学生接触解析几何时间不长，对解析几何研究问题的一般策略还不太熟悉，这都有赖于老师的教学引导.我们将在直线与圆、圆与圆的位置关系的研究过程中进一步体会数形结合的思想，帮助学生形成用代数方法解决几何问题的能力.在问题解决中，我们都是在平面直角坐标系中将问题涉及的几何元素:点、直线、圆用坐标或方程表示，利用这些坐标或方程将几何问题转化为代数问题，运用代数运算解决代数问题，最后将代数结论“翻译”为几何结论．这体现了用坐标法研究问题的基本思想与完整过程，也就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”．关于这种问题解决的一般模式的教学需要带领学生在丰富的问题情境中不断地积累经验，以形成能力．根据以上分析，确定本节课的教学难点：运用直线和圆的方程综合解决判断直线与圆的位置关系问题．四、教学支持条件分析借助数学软件GeoGebra，采用动态方式展现直线与圆的位置关系的变化，为数学抽象提供直观的背景．教学过程设计（一）知识回顾，提出对象引导语：同学们好！我们前面我们分别学习了直线的倾斜角与斜率，直线的方程，直线的交点坐标与距离公式，从研究在坐标系中确定一条直线的位置到运用直线的方程来判断两条直线的位置关系.圆是本章研究的第二类图形，建立了圆的方程，运用圆的方程研究与圆有关的几何性质.本章最后一节是“直线与圆、圆与圆的位置关系”，本节将类比用直线的方程研究两条直线的位置关系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.我们今天先一起来探究直线与圆的位置关系.知识回顾：在初中，我们是如何定义直线与圆的位置关系的？师生活动：请学生代表回答这个问题，老师予以肯定，并指出所回答的答案与之后学习内容的联系，体现本单元的整体性与联系性.预设回答：(1)直线与圆相交，有两个公共点.(2)直线与圆相切，只有一个公共点.(3)直线与圆相离，没有公共点.设计意图：通过学生熟悉问题的问答，帮助学生回忆在初中中直线与圆的位置关系的定义.并且定义也为下面利用方程判断直线与圆的位置关系提供了一种思路，可以通过方程组解的个数情况来判断.为大单元教学中知识的延续性、思维的连贯性、方法的一致性做好指引.创设情境，探究新知问题：如图1，判断直线CD与圆A的位置关系.预设回答：相切.追问1：你怎么知道相切的呢？预设回答：有一个公共点.追问2：有问题吗？（有学生开始有不同的看法）预设回答：通过眼睛看的方式来确定它们的位置关系不大靠得住.设计意图：发展学生的考虑问题是否全面，为后面的定量计算刻画直线与圆的位置关系做好铺垫.师生活动：同学们产生了分歧，如何得出更精确的描述呢，我们不妨借助数学的软件GeoGebra来展示一下.经过刚才的这道题我们会发现只有图形，没有坐标系，也没有方程，看上去是相切，实际上是相离的.这正验证了我国的著名数学家华罗庚说的话“形缺数时难入微”，仅凭肉眼很难看得出他们是相离的.其实在初中我们学习的这种位置关系的判定是定性描述，无法做到定量刻画.现在高中将在直线与圆的方程的基础上定量的刻画直线与圆的位置关系.那么如何利用直线与圆的方程判断它们的位置关系呢？下面，我们将通过具体的例子来研究.设计意图：采用动态方式展现直线与圆的位置关系的变化，为数学抽象提供直观的背景．思考:如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？设计意图：让学生解题思维进行转变，从初中的定性描述到定量刻画，并思考如何借助直线与圆的方程判断它们之间的位置关系.问题探究建构新知例1已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2问题串：(1)观察上述例子，你有什么办法可以通过直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系吗？(2)在你想的这个方法的基础上，如何求得弦长呢？师生活动：学生观察题目，大部分同学可以两种方法，一是通过点到直线的距离公式计算直线与圆的位置关系，然后可以判断出直线与圆是相交的，再观察图形的几何性质，可以使用垂径定理AB=2预设回答：解法1：联立直线l与圆C的方程，得消去y，得，解得.所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.把分别代入方程①，得. 所以直线l与圆C的两个交点是，.因此.解法2：圆C的方程可化为，因此圆心C的坐标为，半径，圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交，有两个公共点.由垂径定理，得设计意图：让学生体验如何借助直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系.让学生知道高中求解直线与圆的位置关系，是建立在初中的基础上，只是高中更加的侧重定量的计算，初中是定性的描述.问题1:就解法1而言，我们将判断直线与圆的位置关系转化为联立方程所得方程组怎么样？预设回答：方程组解的个数问题.追问1：什么时候相交？相切？相离？预设回答：方程组有2个实数解时，相交；有1个实数解时，相切；无实数解时，相离.追问2:如果例1中只要判断直线与圆的位置关系，是否一定要求解出方程组所对应的实数解？预设回答：不一定,只要判断方程的判别式∆与0的大小就行.问题2:就解法2而言，我们将判断直线与圆的位置关系转化为比较哪两个量的大小关系？预设回答：圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系的比较.追问：什么时候相交？相切？相离？预设回答：当d<r时，直线与圆相交；当d=问题3:在例1中，若直线与圆相交，还要求直线被圆所截得的弦长，两位同学采用的方法中是分别如何求弦长的？预设回答：第一个是两点之间的距离公式，第二个是根据几何图形，根据勾股定理求解的.追问1：相对来讲，哪一个感觉计算量较小？追问2:如果有一个题目想让同学们求解直线与圆相交时的交点坐标，两种方法中哪一个比较合适呢？设计意图：采用问题串，并以渐进式的问题为载体，从学生知识结构的“最近发展区”入手，引导学生展示思维活动过程，让学生主动参与合作学，教师适时点拨，鼓励学生积极探究.在教学中多问“为什么”，挖掘结果形成背后的过程，可以引导学生经常的反思.让学生自己建构出判断直线与圆的位置关系的两种方法——几何法、代数法，并对比这两种方法的优缺点.问题解决后的反思旨在引导学生欣赏这个集合问题及感悟问题及绝过程中蕴含的解析几何思想和用坐标法解决几何问题的优缺点.方法总结：根据例1的求解过程，总结用方程判断直线与圆的位置关系的两种方法？师生活动：同学们，让我们再次回到例1的求解过程，你能不能总结使用方程判断直线与圆的位置关系的两种方法.预设回答：位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个代数法d<rd=rd>r几何法∆>0∆=0∆<0设计意图：让学生回顾例1的求解过程，总结一般题目中判断直线与圆的位置关系可以使用的两种方法.引导学生将几何问题代数化，总结出利用方程来判断直线与圆位置关系的方法，体会数形结合、转化与化归的数学思想.让学生自己建构出判断直线与圆的位置关系的两种方法——几何法、代数法，并对比这两种方法的优缺点.在解决例1之后让学生再次总结旨在培养学生特殊到一般的数学思想方法，以及几何问题代数化的简便之处.探究活动（小组合作讨论）与初中的方法相比，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？例1中的两种方法的差异是什么？师生活动：引导学生通过讨论，比较归纳更一般的结论.设计意图：让学生意识到高中是在借助直线与圆的方程的基础上进行定量的刻画判断直线与圆的位置关系.对于几何法和代数法两种方法在使用时要根据具体的题目来进行斟酌，可以达到简化计算量的目的.如需要求解直线与圆的交点坐标，代数法可能会比较的方便，如果需要求解弦长，几何法可能会更加的方便，借助勾股定理可以简化计算.学以致用：判断下面的直线l与圆C的位置关系l:3x+4y+2=0,圆C：x设计意图：让学生再次巩固借助直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系的两种方法的使用，加深对于直线与圆的位置关系定量刻画的理解.师生活动：经过刚才的讨论，同学们对于直线与圆的位置关系又有了进一步的了解，在三种位置关系中，相切是直线与圆特殊而重要的位置关系.接下来，我们来单独看一个直线与圆相切的题目.学以致用，解决问题例2过点作圆的切线l，求切线l的方程.师生活动：学生独立思考，解决问题，分享不同的解法.预设回答：解法1：根据题意可知，切线l的斜率存在.设斜率为k，则切线l的方程为，即.由圆心到切线l的距离等于圆的半径1，得.解得或.所求切线l的方程为或.解法2：根据题意可知，切线l的斜率存在.设切线l的斜率为k，则切线l的方程为.因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解.消去得因为方程只有一个解，所以.解得或所求切线l的方程为或.设计意图：直线和圆相切是直线和圆特殊又重要的位置关系.用待定系数法求圆的切线方程是一类重要问题.学生从两种不同的解法中再次体会直线和圆的位置关系的两种判定方法，是对本节课的主要内容的再次巩固.变式：将题目中的点P(2,1)改为(1)点P1,0(2)点P1,2问题1：本题中过点P(2,1)圆的切线有几条？追问1:为什么？什么时候有一条？预设回答：2条.因为点P在圆外，经过圆外一点有两条直线与圆相切.当点在圆上时，切线有1条.追问2:若将点改为点P1,0、点P追问3:所以以后要求过一点处圆的切线方程问题，我们要关注点与圆的位置关系。设计意图：让学生充分的利用初中所储备的知识，过一点圆的切线可能2条可能1条，取决于点所在的位置，除此之外就是直线的斜率是否存在的问题.探究活动（小组合作讨论）观察例2，求过一点P的圆的切线方程问题，需要注意什么？预设回答:1.先判断点P与圆的位置关系若点P在圆上，切线有1条；若点P在圆外，切线有2条.2.在求切线的过程中，要注意讨论斜率不存在的情况.（数形结合）设计意图：通过对例2的探究，掌握求过圆外一点的圆的切线方程的方法，再通过变式将问题进行拓展，总结出点在圆外、点在圆上的情况.在已知切线过定点的情况下求切线方程就是求切线斜率k这个代数量，一方面直线与圆相切就是直线与圆有唯一公共点，对应的代数形式就是联立的方程组有2组相等的实数解；另一方面，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径.此时产生了两种不同的解法.这道题充分展示了利用坐标法求切线方程的最大优点是方便利用待定系数法实现代数运算.需要注意的是，提醒学生结合图示可知，过圆外一点作圆的切线有2条，而且要注意对直线斜率不存在的情况进行讨论.学以致用：由点A(-2,4)引圆C:x2+预设回答：3x+4y-10=0或x=-2.设计意图：通过课堂练习，运用本节课所学知识来解决一些简单的与直线与圆位置关系相关的问题（求切线方程），检测学生对知识的理解，巩固所学内容.归纳反思，总结提升师生活动：引导学生回顾本节课的学习内容1.我们是如何探究利用方程判断直线与圆的位置关系的？探究过程是什么？2.本节课我们学习了哪些知识？3.本节课的学习过程应用了哪些数学思想？你有哪些感悟？（六）作业布置，自我提升(1)基