高中数学 人教A版 选修一直线和圆的方程 第16课时

直线和圆的方程复习小结（第二课时）合肥市第一中学洪雨沛内容和内容解析1.内容圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.2.内容解析（1）内容的本质：本节内容是对圆相关知识的复习.圆具有非常良好的几何性质，也是学生系统性学习的第一个二次曲线.直线与圆的综合问题也帮助学生更进一步的理解解析几何的核心方法——坐标法.为后面学习更加复杂的椭圆、双曲线、抛物线做好知识、方法的铺垫，也做足了心理准备.（2）蕴含的数学思想和方法：本节内容，圆的标准方程与一般方程、切线长与点心距、切点弦与公共弦可以相互转化，体现了化归与转化的思想方法.利用待定系数法求解圆的方程，蕴含了方程思想.利用坐标法解决平面几何问题，蕴含了数形结合的数学思想方法.（3）知识的上下位关系：圆是继直线之后第一个系统性学习的二次曲线.圆在研究的过程中也用到了直线中很多的代数工具.直线与圆的综合应用，充分展现了坐标法的魅力，为后面学习更加复杂的椭圆、双曲线、抛物线做好知识、方法的铺垫，也做足了心理准备.（4）育人价值：本节课蕴含的数学思想方法，能够进一步丰富学生解决问题的经验.本节课的复习小结，能够加深学生对解析几何坐标法的理解，提高学生利用坐标法解决平面几何问题的能力.（5）教学重点：圆的方程，直线与圆的位置关系.目标和目标解析1.目标（1）掌握圆的标准方程和圆的一般方程；（2）掌握直线和圆的位置关系；（3）理解圆与圆的位置关系.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能够说出两种方程的特点，并能够根据条件熟练地写出圆的方程.（2）能够判断直线和圆的位置关系.直线与圆相交能够求出弦长.能够求出圆的切线方程，会计算切线长，能够写出切点弦所在直线方程.（3）能够通过多种途径判断圆与圆的位置关系，能够根据圆与圆的位置关系求出参数的取值范围.教学问题诊断分析本节课是圆的复习课，重点是知识的回顾与方法的总结整理.知识的回顾上，要引导学生回顾与圆有关的基础知识，并建立知识与知识之间的联系.在理解知识的过程中，还需要融入解析几何的核心思想——坐标法.在例题的解决过程中，除了知识最基本的应用之外，重点是对基本方法的梳理，因此引导学生梳理思路与方法格外重要.对例题进行合理的变式有助于提升学生的思维能力，放手让学生去改编题目，同学之间相互提问相互解答，能够发展学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力.教学支持条件分析为调动学生的学习兴趣，可以借助微课、学案等形式，提前布置课前学习任务，课上由学生分享、呈现，教师引导补充.为了加强学生课堂上彼此之间的联系，教师可采用拍照直播的形式开展师生活动.本节课将设计学案提前分给学生，学生可以在学案上进行答题，可以在学案上对问题进行改编设计，便于学生的发挥和相互交流.教学过程设计（一）单元回顾，整体把握引导语：本章，我们从确定直线的要素出发，学习了直线的倾斜角与斜率，依据不同的确定直线的方式，学习了直线的不同方程.通过对直线方程的定量研究，学习了两条直线的交点坐标，以及与点、直线有关的距离问题，包括两点间的距离、点到直线的距离和平行线间的距离.依据确定圆的几何要素以及两点间的距离公式，得出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程.通过对直线与圆的方程的研究，学习了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.本章我们的核心任务是利用坐标法解决平面几何问题，这就需要将几何要素转化为坐标形式.图SEQ图\*ARABIC1直线与圆的方程知识框图（二）例题训练，巩固提升例1：求下列各圆的方程.圆心为，且过点；过三点；圆心在直线上，且经过原点和点.解：（1）圆的半径，故根据圆的标准方程可直接写出圆的方程为：.（2）法一：设圆的方程为，将带入得，解得.所以方程为.法二：设圆的方程为，将带入得，解得.所以方程为.（3）设圆心坐标为，则，解得.所以圆的方程为.师生活动：带领学生回顾圆的方程相关知识，并对两种方程的各自特点进行总结.教师展示例1，并给学生适当的思考时间，让学生梳理解决这些问题的方法.最后教师总结求圆的方程的一般方法（包括直接法和待定系数法），并让学生对例1（2）进行求解，得出最后的答案.设计意图：知识回顾，为例1根据条件求圆的方程做铺垫.复习课重要的是知识的回顾和方法的总结，故在问题的解答上，以学生表达自己解决问题的方法为主，最后选择一道题（例1（2））实施方案，进行计算，得到最终的结果.后面的例2、例3均以该圆为背景.例2：已知圆，直线.判断直线和圆的位置关系；求直线和圆相交所形成的弦的长.解：（1）圆心到直线的距离，所以直线和圆相交.（2）.师生活动：回顾直线和圆的位置关系，分析代数法与几何法处理直线和圆的位置关系的思路，并对两种方法进行比较.教师展示例2，学生思考后给出解答.教师对问题进行改编，将静态直线改为动态直线，让学生继续判断直线与圆的位置关系，并求弦长的取值范围.预设学生会误判最大值为8，产生错误的原因是对直线系的理解不够全面.借此错误强调斜截式方程的局限性.设计意图：练习最基本的判断直线与圆的位置关系，并在相交情况下求弦长.之后对例题进行合理的变式，由特殊到一般，由静到动，能够提升学生的思维能力.最后总结“过圆内一定点的直线与圆相交”，深入到圆上一定点与圆外一定点的情况，作总结的同时引出例3.例3：已知圆，点.（1）求过的圆的切线方程；（2）过作圆的切线，切点分别为.求线段的长，并求弦所在直线方程.解：（1）当切线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，满足题意.当切线斜率存在时，设切线为，通过解得.故切线方程为综上所述，过圆的切线方程为和.（2）求切线长：法一：；法二：在直角三角形中，，所以.求弦所在直线方程：圆，圆，.故弦所在直线方程为.师生活动：教师展示（1）求切线的过程，故意不讨论斜率是否存在，直接设切线方程为，让学生发现老师的错误同时，加深对点斜式局限性的认识，提醒学生以后在解决相似问题的时候应该尤其注意.探究到弦所在直线方程时，给出相应的提示，并带学生回顾两圆相交所形成的公共弦所在直线的方程的求法，并实施计算出弦所在直线方程.设计意图：教师将经典错误进行展示，让学生寻找问题，加深学生对易错点的理解.在解决（2）的过程中，重视化归与转化数学思想方法的渗透.最后通过圆圆相交的公共弦问题，引出接下来对圆圆位置关系的回顾与总结.问题：圆与圆有哪些位置关系？你能够回忆起判断圆与圆位置关系的方法吗？师生活动：教师抛出问题，给学生充分时间进行思考，并在学案上完成表格.设计意图：圆与圆的位置关系概念较多，判断方法较多，通过表格能够清晰地帮助学生回顾相关知识，也教会学生通过表格等多种形式对学过的知识进行复习与整理.表SEQ表\*ARABIC1圆与圆的位置关系知识填空例4：已知圆与圆相离，求的范围.解：圆心距，.若两圆外离，则，解得.若两圆内含，则，解得.综上，两圆相离，师生活动：带领学生对问题进行细致的分析，尤其是对关键词“圆”、“相离”进行解读.通过分析圆心与半径，让学生意识到未必是圆，需限制，并且圆的半径是并不是.相离包括两种具体的位置关系：外离与内含，需分类进行讨论.解读之后让学生完成得出最后参数的范围.设计意图：圆与圆的位置关系较复杂，通过该问题加深学生对相关知识的理解.（三）题目改编，提升思维师生活动：对本节课的例3、4进行适当的改编，并将问题写在学案上.小组内部相互讨论相互交流，组间可以交换题目相互解决.教师根据课堂时间和进展决定开展该活动的形式.若时间充裕，可以适当开展进行，若时间不充裕，让同学们课后完成.例3改编示例：已知圆，点是直线上的动点，过作圆的切线，切点分别为.（1）求线段长的最小值；（2）求弦长的最小值.师生活动：引导学生改编题目可以修改题目条件形式，如可以将静态的点调整为动态轨迹，轨迹也可以从直线调整为其他曲线，也可以修改问题，如可以将求弦长改为求角度、面积等，可以将求值改成求最值或范围.设计意图：本节课对例2进行了改编，也完成了对例2改编的探究，学生形成了一定的改编问题的经验.此,处，鼓励学生对本节课的其他例子也进行适当的改编，并相互交流.放手让学生去改编题目，同学之间相互提问相互解答，能够发展学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力，提高学生的思维，是培养创新人才的必经之路.（四）课堂小结，总结提升问题5：本节课我们复习思路是什么？问题6：本节课我们复习了哪些知识内容？问题7：本节课的学习过程（渗透的数学思想）对你有什么启发吗？设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，深化对课堂内容的理解.希望本节课类比的思想方法能够给学生启发，在今后的研究中起到帮助作用.（五）章节小结，总结提升总结语：本章，我们通过类比平面几何中的综合法和向量法，学习了平面几何中的坐标法.通过对一维数轴上问题的探究，帮助我们研究平面中的坐标法.我们也可以在平面中的坐标法，继续推广到空间中.本章接近尾声，之后我们将继续研究平面解析几何，研究生活中经常出现的圆锥曲线，请期待吧！图SEQ图\*ARABIC2章节总结图（六）作业布置，练习巩固1.基础性作业：复习参考题综合运用13~15题.2.提高性作业：复习参考题综合运用16题、拓广探索19,20题.3.探究性作业：已知为直线上一动点，过点向圆作两切线，切点分别为、．（1）求四边形面积的最小值及此时点的坐标；（2）直线是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由；（3）请尝试对题目进行适当的改编，分享给你的同桌，并督促他完成.设计意图：基础性作业与提高性作业均从课本上选取.探究性作业的设置，希望学生能够认真对待，充分思考，相互讨论，合作学习.

目标检测设计A组：适用普通高中学生1．（1）坐标系中，经过三点，，的圆的方程为__________________；（2）过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________．【解答】解：（1）设所求圆的一般方程为，由题意可得，解得，所以，所求圆的方程为．（2）设圆的标准方程为，由题知：，所以标准方程为．2．直线过且与圆相切，则直线的方程为_______________．【解答】解：，点在圆外．当直线的斜率存在时，设其方程为，即．由可得圆的圆心为，半径为．，解得，故直线的方程为．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也满足条件．故直线的方程为或．3．已知圆，直线，若直线截圆所得弦长为2，则__________．【解答】解：圆，圆心，半径为2，圆心到直线的距离，设直线与圆的交点为，，由题直线截圆所得弦长，所以，即，解得．圆，圆，则圆与圆的位置关系为_________．（用“相交、外切、内切、外离、内含”填空）【解答】解：圆，圆，即，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，，圆与圆的位置关系为外切．5．已知圆，直线．（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．【解答】解：将圆的方程配方得标准方程为，则此圆的圆心为，半径为2．（1）若直线与圆相切，则有，.（2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，，或7．故所求直线方程为或．B组：适用重点高中学生1.直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是___________．【解答】解：曲线表示以为圆心，的上半圆，直线恒过定点，作出图象如下：当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，解得，结合图形知，，当直线过时，直线的斜率0，结合图形知直线与曲线有两个不同的交点时，．故答案为：．2.在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为___________．【解答】解：圆的标准方程为，圆心为，半径，如图所示：易知：当弦经过圆心时，弦最长，当弦与线段垂直时，弦最短，，，所以，所以，故答案为：．3.若圆与圆相交，点为其在轴下方的交点，且，则点到直线距离的最大值为___________．【解答】解：方程，化为，可化为，则，可看作是的两个根，由，可得，即，也即的