高中数学 选修第二册 一元函数的导数及其应用第1课时

.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题（第1课时）一、内容和内容解析1.内容变化率的两个典型实例.一是高台跳水运动员的速度，二是抛物线的切线的斜率.本小节计划用2课时，第一课时：高台跳水运动员的速度；第二课时：抛物线的切线的斜率.2.内容解析本小节是2019年人教A版选择性必修第二册第五章第1节.变化率是本章内容学习的核心概念，是导数概念建立的核心.变化率问题（共2课时）的主要内容是高台跳水运动员的速度，抛物线的切线的斜率.通过实例分析，总结归纳出一般问题的平均变化率和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握平均变化率和瞬时变化率问题解法的一般步骤.第一课时（问题1），由于学生在学习导数之前没有学习极限，因此就不能用极限理论建立导数概念.导数的本质是函数的瞬时变化率，即函数平均变化率的极限.通过高台跳水运动员的速度这个特殊实例，使学生经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，以直观的方式由平均变化率的极限引出瞬时变化率.由于导数是一种特殊的极限，其中自然蕴含着极限思想，所以导数的学习对于发展学生的数学抽象素养和正确的世界观有着重要的作用.从瞬时速度这个特殊的瞬时变化率出发，再抽象出导数概念，蕴含了数形结合、从特殊到一般的数学思想方法.第二课时（问题2），以学生熟知的特殊曲线（抛物线f(x)=x2）为对象，研究其在特殊点p0(1,1)处的切线及其斜率.与解决问题1的过程与方法类似，问题2再次让学生在“运动变化的观点”“极限思想与方法”的引导下，经历由割线斜率过渡到切线斜率的完整过程，进一步体会其中蕴含的导数的内涵和思想，进一步体会极限思想.基于上述分析，确定本节的教学重点：（1）理解瞬时速度和极限思想；（2）理解函数在某点处的切线和以直代曲思想.二、目标和目标解析1.目标课程目标素养目标1.通过两个实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，初步体会极限思想.3.经历由割线斜率过渡到切线斜率的完整过程，进一步体会其中蕴含的导数的内涵和思想，进一步体会极限思想.1.数学抽象：函数的变化率2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系，割线斜率与切线斜率的关系.3.数学运算：求瞬时速度，求抛物线f(x)=x2在点p0(1,1)处的切线方程.4.直观想象：割线的变化趋势.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）通过高台跳水运动员的速度（问题1），学生能借助计算工具计算运动员的平均速度，并通过观察平均速度在自变量间隔不断变小的过程中的变化趋势，得出瞬时速度；结合抛物线的切线的斜率（问题2），观察从割线过渡到切线的过程中，割线斜率在两交点的横坐标间隔不断变小的过程中的变化趋势，得出切线的斜率.从而了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.（2）通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程，能求函数在某点处的切线斜率，进而求出切线的方程.（3）通过两个实例研究，能从平均速度的数值变化和图像过某点处的割线斜率的变化趋势直观感知瞬时速度是平均速度的极限，切线斜率是割线斜率的极限.三、教学问题诊断分析由于学生在学习导数之前没有学习极限，所以学习导数的过程实际上是学生体会极限思想的过程.因此，如何用平均速度的极限理解瞬时速度，用割线斜率的极限理解切线的斜率，并由此体会极限思想，这是一个教学难点，要突破这个难得，需要在“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”这两个案例中，让学生充分经历由“平均变化率”过渡到“瞬时变化率”的过程，通过观察平均速度的数值变化和图像过某点处的割线的变化趋势，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线的极限位置就是切线，割线斜率的极限就是切线斜率.在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义是建立导数概念的关键.基于以上分析，本节的教学难点是：（1）用平均速度的极限理解瞬时速度；（2）用割线斜率的极限理解切线的斜率.四、教学支持条件分析学生之前没有学过极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要借助极限符号，这些都增加了学生抽象概括出导数概念的难度.因此，教学中要借助信息技术工具，使学生通过列表观察平均变化率的变化趋势，通过图像直观观察割线变化到切线的过程，感受“逼近”过程，以此降低学生对导数就是极限的认知难度.教学设计过程第一课时（一）引导语在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数的单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们来研究这个问题.设计意图：通过导语，通过对函数学习的回顾，帮助学生发现和感受不同函数变化快慢的问题.发展学生数学抽象、数学建模的核心素养.（二）探究新知探究：高台跳水运动员的速度问题1：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=−4.9t如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？师生活动：（1）给出问题后，教师启发学生可以用平均速度近似描述运动员的运动状况.（2）利用物理学复习平均速度概念，让学生利用计算工具计算以下时间段的平均速度，并描述运动员的运动状况：例如，在0≤t≤0.5这段时间里，v=在1≤t≤2这段时间里，v=一般地，在t1≤t≤t2v=思考：进一步地，请思考计算运动员在0≤t≤4849这段时间内的平均速度，并描述运动员的运动状态.追问：通过思考你发现了什么？你认为用运动员在0≤t≤4849这段时间内的平均速度，师生活动：教师引导学生得出，在这段时间内，运动员的平均速度为0.显然，在这段时间里，运动员并不处于静止状态.从而引起学生的认知冲突，进而引入瞬时速度概念.设计意图：让学生掌握求平均速度的方法，通过求平均速度，并用平均速度近似描述运动员的运动状态，使学生发现平均速度不能准确刻画运动员的运动状态，进而引出瞬时速度.通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出平均速度与瞬时速度的概念.发展学生数学抽象、数学运算的核心素养.问题2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？师生活动：教师首先引导学生认识瞬时速度与平均速度之间的关系：设运动员在t0时刻附近某一段时间段内的平均速度是v，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度.（用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想）然后让学生尝试利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度：对于给定的时间间隔∆t，先计算运动员在[1，1+∆t]（或[1+∆t，1]）之间的平均速度，观察当∆(1)教师利用信息技术工具演示平均速度逼近瞬时速度（∆t>0(2)学生利用计算工具演示（计算）平均速度逼近瞬时速度（∆t<0表1让学生观察上面表1，给出发现的结论，教师点评后总结出结论：随着时间间隔的不断变小，平均速度越来越接近于常数-5.进一步地，教师让学生思考常数-5的意义，教师点评总结，并解释符号“—”的意义.追问1：给出∆t更多的值，利用信息技术工具计算更多的平均速度v的值，当∆t无限趋近于0时，平均速度师生活动：教师引导学生计算（操作）—观察，进而给出结论：当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v追问2：你认为通过上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗？师生活动：教师提出问题后让学生讨论，若干学生发言后，教师点评学生的发言，启发学生认识到，通过前面计算的平均速度的值，尽管我们发现“随着时间间隔的不断变小，平均速度越来越接近于常数-5”.但这种计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征.因此需要从理性的角度加以“说明”.具体如下：因为h(t)=−4.9t2+4.8t+11，所以运动员在[1，1+∆tv=可以发现，当∆t无限趋近于0时，-4.9∆t也无限趋近于0，所以v数学中，我们把“-5”叫做“当∆t无限趋近于0时，v=lim∆从物理的角度看，当时间间隔∆t无限趋近于0时，平均速度v就无限趋近于设计意图：让学生经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，理解瞬时速度就是平均速度的极限，并由此体会极限思想.发展学生的运算素养、逻辑推理素养.追问3：你能用上述研究的方法，计算t=0.5s时刻的瞬时速度，并说明你的结论吗？师生活动：学生练习并上传自己的操作过程，教师点评，引导学生进一步，体会极限思想.问题3：我们已经计算出t=1s，t=0.5s时的瞬时速度，那么对于某一时刻t0师生活动：学生思考计算，上传自己的解答.教师通过信息技术平台展示学生的解答过程并点评其中的问题，强调瞬时速度的极限表示，教师给出规范解答：在[t0，t0+∆t]（或[t0+v=ℎt令∆t→0可见瞬时速度是一个只与t0有关的值，不妨记为v(v(t所以运动员在某一时刻t0的瞬时速度为v(设计意图：将求某一具体时刻瞬时速度的方法推广到一般情形，一方面使学生体会从特殊到一般的数学思想方法，从算法角度体会求瞬时速度的过程，提升数学运算素养；另一方面为概括瞬时变化率的概念作铺垫.（三）学以致用1.求运动员在t=2s时的瞬时速度（教科书第61面思考第1题）；2.火箭发射ts后，其高度（单位：s）为h(t)=0.9t（1）在1≤（2）发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度.（教科书第61面练习第2题）（四）目标检测1.一个小球从5m的高处自由下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y(t)=-4.9t2.求t=1s时小球的瞬时速度.（教科书P62练习第3题）2.已知车轮旋转的角度θ（单位：rad）与时间t（单位：s）之间的关系为θ（t）=25π8t2设计意图：设计两个问题考查学生对平均速度逼近瞬时速度的认识，使学生体会极限思想，为建立导数概念作准备.（五）盘点收获基础知识：两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值．两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值．平均速度瞬时速度基本技能：会求物体在某一时间段内的平均速度及某一时刻t0的瞬时速度数学思想：一是极限思想，经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，并由此体会极限思想；二是从特殊到一般的