北师大版八年级数学上册第二章实数

2.1认识无理数第二章实数八年级数学·北师版情境引入学习目标1.了解无理数的基本概念．（重点）2.借助计算器估计无理数的近似值．导入新课

小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为6cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？情境引入2活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？111无理数的认识一讲授新课活动探究1212121211111111111111111111还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！问题1：设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？追问1：a是一个什么样的数？a可能是整数吗？因为S大正方形=2，所以a2=2.从“数”的角度：因为a2=2,而12=1,22=4

所以12<a2<22,所以1<a<2，a不是整数BAC取出一个三角形从“形”的角度：在三角形ABC中,AC=1，BC=1，AB=a根据三角形的三边关系：

AC-BC<a<AC+BC

所以0<a<2，且a≠1，所以a不是整数追问2：a可能是分数吗？①a是分母为2的分数吗？②a是分母为3的分数吗？③a是分母为4的分数吗？④

a是分母为多少的分数？归纳：a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数.（1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？（2）a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……完成下列表格1a2面积为2问题2：a究竟是多少？请同学们借助计算器进行探索边长a面积S1<a<21.4<a<1.51.41<a<1.421.414<a<1.4151.4142<a<1.41431<S<41.96<S<2.251.9881<S<2.01641.999396<S<2.0022251.99996164<S<2.00024449（1）边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？（2）a可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？

a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数想一想估计面积为5的正方形的边长b的值，结果精确到百分位.

b=2.236067978…，它也是一个无限不循环小数做一做

事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.问题3：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？无限不循环小数为无理数.

如π=3.14159265…，0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）要点归纳例下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

3.14，-，0.57,0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.

典例精析..解：有理数有：3.14，，0.57；

..

无理数有：0.1010001000001….整数有____________________________有理数有_________________________无理数有__________________________填空：在实数【跟踪训练】归纳总结1．圆周率及一些最终结果含有的数.2．有一定的规律，但不循环的无限小数.无理数的特征:当堂练习1.下列各数：1，(相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】无限不循环小数是无理数，其中(相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数.A【解析】因为3.14是小数，是分数，是无限循环小数，所以选项A,B,D都是有理数；是无限不循环小数，所以是无理数.2.下列各数中，是无理数的为（）A.3.14B.C.D.C(1)有限小数是有理数;（）(2)无限小数都是无理数;（）(3)无理数都是无限小数;（）(4)有理数是有限小数.（

）3.

判断题╳√√╳4.以下各正方形的边长是无理数的是（）A.面积为25的正方形；B.面积为的正方形；C.面积为8的正方形；D.面积为1.44的正方形.C认识无理数无理数的概念及认识课堂小结借助计算器求无理数的近似值2.2平方根第二章实数第1课时算术平方根八年级数学·北师版情境引入学习目标1.了解算术平方根的概念及其性质．（重点）2.会求一个数的算术平方根.（难点）导入新课情境引入

学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？5dm因为52=25讲授新课算术平方根的概念一填一填(1)正方形的面积1916360.2513460.5边长已知正方形的面积，求出其边长：请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：

，

，

，

．2345

中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？填一填(2)一般地，如果一个正数

x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数

x就叫做

a的算术平方根，记作“

”，读作“根号

a

”．特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即．概念学习试一试：你能根据等式122=144，说出144的的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．

想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？144的算术平方根是12，即＝12温馨提示：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．解:(1)因为302＝900，所以900的算术平方根是30，即;(2)因为12＝1，所以1的算术平方根是1，即；例1：求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)；(4)14．典例精析非平方数的算术平方根只能用根号表示.(3)因为，所以的算术平方根是，即;(4)14的算术平方根是.注意：带分数化为假分数注意：不要等于-25解:(1)因为所以

的算术平方根是3;

求下列各数的算术平方根：练一练算术平方根的性质：非负数算术平方根具有双重非负性(a≥0)合作探究问题1：负数有算术平方根吗？问题2：一个非负数的算术平方根可能是负数吗？算术平方根的性质及其实际应用二解:因为|m-1|≥0，≥0，又|m-1|+=0,

所以|m-1|=0，=0，所以m=1,n=-3,所以m+n=1+(-3)=-2.例2若|m-1|+=0,求m+n的值.几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.

归纳3.若，则a=

；2.若，则m=

；4.若｜a-3|+，则代数式=___.1.若|a+3|=0，

则a=

；-375-1练一练到目前为止，表示非负数的式子有：a≥0,|a|≥0,a2

≥0,

≥0,例3：自由下落物体下落的距离h（米）与下落时间t（秒）的关系为

．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？解:将h＝19.6代入公式

，得

，所以正数

(秒).即铁球到达地面需要2秒.当堂练习1.填空题：①若一个数的算术平方根是7，那么这个数是

；②的算术平方根是

；③的算术平方根是

；④若，则

．16492.求下列各数的算术平方根（1）25；

（2）；（3）0.36；（4）4981解：(1)因为，所以25的算术平方根是5，即(2)因为，所以的算术平方根是，即(3)因为，所以0.36的算术平方根是0.6，即（4），所以的算术平方根是2.3.已知：｜x+2y|+求x-3y+4z的值.解：由题意得：解得解:设每块地板砖的边长为xm.由题意得故每块地板砖的边长是0.5m.4.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？5.

如果将一个长方形ABCD折叠，得到一个面积为144cm2的正方形ABFE，已知正方形ABFE的面积等于长方形CDEF面积的2倍，求长方形ABCD的长和宽．解：设正方形ABFE的边长为a,

则a2=144,

所以a==12,

所以AB=AE=EF=CD=12.

又因为SABFE=2SCDEF,

设FC=x,所以144=2×12x,

x=6.所以BC=BF+FC=12+6=18(cm).所以长方形的长为18cm,宽为12cm.ABCDEF算术平方根算术平方根的概念课堂小结算术平方根的双重非负性算术平方根的应用2.2平方根第二章实数第2课时平方根八年级数学·北师版情境引入学习目标1.学会进行开平方运算．（重点）2.能够求一个数的平方根．（重点）导入新课复习引入2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？

答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算.

加法与减法互逆；乘法与除法互逆.思考：乘方有没有逆运算？1.什么叫算术平方根？若一个正数的平方等于a则这个数叫做a的算术平方根,表示为.(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是_____(2)的平方等于，那么的算术平方根就是____(3)展厅地面为正方形，其面积49

m2，则边长为___m.讲授新课平方根的概念及性质一你发现了吗37问题：平方等于9，，49的数还有吗？填一填(1)写出左圈和右圈中的“？”表示的数：64-11110.60没有x2x8-84343-？？？？？？？？？？1210.360-4-0.6填一填(2)

一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）.平方根的定义：概念学习平方根的表示方法、读法根号被开方数（a是非负数）读作：正、负根号a1.144的平方根是什么？2.0的平方根是什么？3.的平方根是什么？4.-4有没有平方根？为什么？0没有，因为一个数的平方不可能是负数试一试通过这些题目的解答，你能发现什么?问题：（1）正数有几个平方根？（2）0有几个平方根？（3）负数呢？有没有一个数的平方是负数？想一想因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.平方根的性质：

1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.2.0的平方根还是0.

3.负数没有平方根.要点归纳归纳总结1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.平方根与算术平方根的联系与区别：2.只有非负数才有平方根和算术平方根.3.0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：

1.个数不同：一个正数有两个平方根，

但只有一个算术平方根.2.表示法不同：平方根表示为，而算术平方根表示为.联系：开平方及相关运算二两种运算有什么不同？+1-1+2-2+3-3149x

x2149+1-1+2-2+3-3这是什么运算？平方运算x2

x

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数.

可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关系可以求出一个数的平方根.平方与开平方有什么关系？开平方的定义：典例精析例1求下列各数的平方根:(1)64；(2)(4)

(5)

11.(3)0.0004；解：（1）∵，∴64的平方根为±8;（2）∵，∴的平方根为;

（3）∵，∴0.0004的平方根为±0.02;（4）∵，∴的平方根为±25;

（5）11的平方根是.

方法总结

运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数.注意:要弄清，，的意义，不能用来表示a的平方根，如：64的平方根不要写成.647.20思考1：根据前面得出的性质填一填，并说明理由．你能把所得的公式用字母表示出来吗？?

与

的性质三归纳总结

的性质一般地，＝a(a

≥0).例2

计算：

解：想一想：本小题用到了幂的哪条基本性质呢？积的乘方：（ab）2=a2b220.10如何用字母表示你所得的公式呢？思考2：根据前面得出的性质填一填，并说明理由．归纳总结

的性质一般地，＝a(a

≥0).思考：当a＜0时，=？例3：化简解：你还有其它解法吗？想一想：如何化简呢？=

(a≥0)；

(a＜0).=∣a∣a-a辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．（）（）（）（）××√√议一议：如何区别与？从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a∣a∣当堂练习2.下列说法不正确的是______A.0的平方根是0B.的平方根是2C.非负数的平方根互为相反数D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数1.下列说法正确的是_________①-3是9的平方根;②25的平方根是5;

③-36的平方根是-6;④平方根等于0的数是0;⑤64的算术平方根是8.①④⑤B3.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（

）

A.a+1B.C.a2+1D.D4.

x为何值时，有意义？

解：因为，所以.

-1012a5.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是

.16.利用a

＝（a

≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1)9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)；(6)0.7.已知，求x的值．解：∵∴∴x=12或x=－10.平方根平方根的概念课堂小结开平方及相关运算平方根的性质

＝a(a

≥0).2.3立方根第二章实数八年级数学·北师版情境引入学习目标1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.（重点）2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方互为逆运算.（重点，难点）导入新课

某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？情境引入讲授新课立方根的概念及性质一问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？解：设正方体的棱长为x㎝,则这就是要求一个数,使它的立方等于27.因为所以x=3.正方体的棱长为3㎝.想一想

(1)什么数的立方等于-8？(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？-2立方根的概念

一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．记作.立方根的表示

一个数a的立方根可以表示为:根指数被开方数其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.读作:三次根号a，填一填：

根据立方根的意义填空：

因为=8，所以8的立方根是（）；

因为(

)3=0.125,所以0.125的立方是（）；因为(

)3

＝0，所以0的立方根是（）；因为(

)3

＝－8，所以－8的立方根是（）；因为(

)3

＝，所以的立方（）.

02-20-2立方根的性质

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零.平方根与立方根的异同

被开方数平方根立方根有两个互为相反数有一个,是正数无平方根零有一个,是负数零正数负数零立方根是它本身的数有1,-1,0；平方根是它本身的数只有0.开立方及相关运算二a叫做被开方数3叫做根指数

每个数a都有一个立方根，记作，读作“三次根号a”.如：x3=7时，x是7的立方根．求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数注意:这个根指数3绝对不可省略.典例精析例1求下列各数的立方根:（1）（2）（3）（4）（5）(5)-5的立方根是（3）（4）0.216;（5）－5.求下列各式的值:体会：对于任何数a

,a240-2-3探究1332___=334___=温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算.体会：对于任何数a

,a

8270-8-27探究2求下列各式的值:体会:(1)求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对值的立方根,然后再取它的相反数.(2)负号可从“根号内”直接移到“根号外”.

求下列各式的值:(1)；(2)探究3-0.2-0.2求下列各数的值:（1）0.5，（2）－4，（3）－4，（4）5，（5）16.练一练例2

求下列各式的值:()当堂练习1.判断下列说法是否正确.×(2)任何数的立方根都只有一个;

()(3)如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零;

()××(5)0的平方根和立方根都是0.()√(1)25的立方根是5;()(4)一个数的立方根不是正数就是负数;√2.求下列各式的值解:（1）

（2）

（3）3.求下列各式的值：24.将体积分别为600cm3和129cm3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？解:因为600+129=729，729的立方根是9，所以正方体的棱长为9cm.立方根立方根的概念及性质课堂小结开立方及相关运算2.4估算第二章实数八年级数学·北师版情境引入学习目标1.了解估算的基本方法.(重点)2.能够运用估算解决生活中的实际问题.(难点)

导入新课观察与思考

某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2.(1)公园的宽大约是多少？它有1000m吗？10002000S=400000∵2000×1000=2000000>400000，∴公园的宽没有1000m.(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？x2xS=400000x•2x=400000,2x2=400000,x2=200000,x=大约是多少呢？解：设公园的宽为x米.讲授新课估算的基本方法一问题：下列结果正确吗？你是怎样判断的？通过“精确计算”可比较两个数的大小关系通过“估算”也可比较两个数的大小关系估算无理数大小的方法：(1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分；(2)根据所要求的误差确定小数部分.要点归纳所以的值约是3.5或3.6.例1：怎样估算无理数(误差小于0.1)？的整数部分是3，典例精析按要求估算下列无理数：解：练一练例2：生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定.现有一长为6m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗?解：设梯子稳定摆放时的高度为xm，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的，根据勾股定理

6所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6m高的墙头.例3：通过估算，比较与的大小.解：用估算法比较数的大小二方法归纳两个带根号的无理数比较大小的结论：1.2.3.若a,b都为正数，则方法归纳对于含根号的数比较大小，一般可采取下列方法：1.先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；2.当符合相同时，把不含根号的数平方，和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大；3.若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小.

当堂练习

1.通过估算,比较下面各组数的大小:

2.一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40m3

.如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（结果精确到1m）

解：设圆柱的高为xm，那么它的底面半径为0.5xm,

则:估算估算的基本方法课堂小结估算在生活中的应用2.5用计算器开方第二章实数八年级数学·北师版学习目标1.了解计算器开方的方法．（重点）2.能够运用计算器开方比较数的大小．（重点）导入新课观察与思考试着在自己的计算器里输入同样的算式想一想开方运算要用到哪些键？讲授新课用计算器开方一对于开平方运算，按键顺序为：被开方数=对于开立方运算，按键顺序为：被开方数SHIFT=例1：用计算器计算：

(1)

;

(2)

;

(3)

.

解：(1)5.89,

(2)(2÷7),(3)显示2.42693222；显示0.658633756；显示－10.87178969.-1285,SHIFTSHIFT用计算器比较数的大小二例2：利用计算器比较下列两数的大小.解:按键：3，

2，显示显示按键：1.44224957；1.414213562；所以与SHIFT

任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？计算的结果越来越接近１试一试改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律？是的当堂练习1.用计算器比较下面两数的大小：(1)(2)解:（1）3.236067978；（2）3.339148045；2.利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字）

（2）；（3）；（4）；（1）解：（1）≈28.28；（2）≈1.639；（3）≈0.7616；（4）≈-0.7560.3.借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？利用你发现的规律试写出4…4443…333+=5…555.=5555.2233334444+用计算器开方使用计算器进行开方运算课堂小结用计算器开方比较数的大小用计算器探索数的规律2.6实数第二章实数八年级数学·北师版学习目标1.了解实数的意义，能对实数按要求分类.(重点）2.了解实数范围内相关概念的意义.(重点）3.了解实数与数轴上点的一一对应关系.能用数轴上的点表示无理数.(难点）把下列各数分别填入相应的括号内：0.101，

有理数

无理数．．．．．．导入新课回顾与思考讲授新课实数的概念及分类一有理数和无理数统称为实数即：无理数：无限不循环小数有理数：有限小数或无限循环小数实数分数整数开方开不尽的数有规律但不循环的数试一试你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗?试试看？，，，，，，，，，，，.正数负数正实数负实数数实负有理数正有理数按大小分类：0负无理数正无理数0正实数负实数在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．例如：与互为相反数与互为倒数问题：在有理数范围内，能进行哪些运算？判断下列各式成立吗？有理数的运算及运算律对实数仍然适用典例精析例1：分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值．解：(1)∵＝－4，∴的相反数是4，倒数是，绝对值是4.(2)∵＝15，∴的相反数是－15，倒数是，绝对值是15.(3)的相反数是－，倒数是，绝对值是.（1）a是一个实数，它的相反数为

，绝对值为

；（2）如果a≠0，那么它的倒数为

.

归纳总结实数与数轴上点的对应关系二

问题1：你能在数轴上找到表示和及这样的无理数的点吗？01243-1-2直径为1的圆01243-1-2问题2:边长为1的正方形,对角线长为多少?每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．例2：如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，∴点B到点A的距离为1＋，则点C到点A的距离为1＋，设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋，∴x＝－2－方法总结

本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点时，点C到点A的距离等于点B到点A的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值．例3：如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有()A．6个B．5个C．4个D．3个解析：∵≈1.414，∴和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．C【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论．当堂练习1.判断题：①实数不是有理数就是无理数.（）③无理数都是无限小数.（）④带根号的数都是无理数.（）⑤无理数一定都带根号.（）⑥两个无理数之积不一定是无理数.（）⑦两个无理数之和一定是无理数.（）⑧数轴上的任何一点都可以表示实数.（）×××②无理数都是无限不循环小数.（）√√√√√2.把下列各数填入相应的集合内：（1）有理数集合：（2）无理数集合：（3）整数集合：（4）负数集合：（5）分数集合：（6）实数集合：3.在-3，－，－1，0这四个实数中，最大的是（）A.-3B.－C.－1D.0D4.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是

．【解析】1＜＜2，2＜＜3，在与之间的整数是2.AB25.实数a,b的位置如图

化简|a+b|–|a–b|a0b解:由数轴可知，a+b<0，a－b<0，从而

原式=－(a＋b)－[－（a－b）]=－a－b＋（a－b）

=－a－b＋（a－b）=－a－b＋a－b=－2b实数有理数和无理数统称实数课堂小结在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.实数与数轴上的点一一对应2.7二次根式第二章实数第1课时二次根式及其化简八年级数学·北师版学习目标1.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点）2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.（难点）导入新课（1）如左图所示，礼盒的上面是正方形，其面积为5，则它的边长是

.如果其面积为S，则它的边长是

.（2）如左图所示，一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为

m.观察与思考（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)满足关系式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为

.问题：如图，正方形ABCD的边长为2，它的对角线AC的长是多少？乙同学：甲同学：由此可见:=O讲授新课二次根式的概念及有意义的条件一问题1

上面问题的结果分别是，它们表示一些正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？

我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.问题2

上面问题的结果分别是，分别从形式上和被开方数上看有什么共同特点？①含有“”②被开方数a

≥0归纳总结二次根式的定义一般地，我们把形如

的式子叫做二次根式.

“”称为二次根号，a叫做被开方数.要点提醒两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a

≥0例1下列各式是二次根式吗?典例精析是不是不是（x,y异号）不是不是是不是不含二次根号被开方数是负数当m>0时被开方数是负数xy＜0非负数+正数恒大于零根指数是3解：由x-2≥0，得x≥2.例2

(1)当x取何值时,在实数范围内有意义?当x≥2时，在实数范围内有意义.

当x=9时，A.x>1

B.x>-1

C.x

≥1

D.x

≥-1A（2）当x=0，9时，求二次根式的值.（3）要使式子有意义，则x的取值范围是（）当x=0时，x-2=-2＜0，此时二次根式无意义；

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.归纳想一想：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.二次根式的双重非负性二

思考:

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性（2）设，试求2x+y的值.例3（1）若，求a-b+c的值.解：（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4所以a-b+c=2-3+4=3;（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2017,所以2x+y=2×1+2017=2019.

多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳二次根式的性质及化简二（1）＝

，＝

；＝

，＝

；＝，＝；＝，＝．

662020填一填有何发现？＝

，6.480＝

；（2）用计算器计算：＝

，＝

．

6.4800.92550.9255有何发现？要点归纳（a≥0，b≥0），（a≥0，

b＞0）．

商的算术平方根等于算术平方根的商积的算术平方根等于算术平方根的积例4：化简解：(1)(2)(3)典例精析（1）；（2）；（3）.

最简二次根式：

一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.要点归纳例5：化简：解:例6.化简:解：①②

③最简二次根式的条件：①是二次根式；②被开方数中不含分母；③被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．要点归纳当堂练习2.式子有意义的条件是（）

A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.若是整数，则自然数n的值有（）

A.7个B.8个C.9个D.10个D1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA4.当x________，在实数范围内有意义．解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．6.

设，化简下列二次根式.解：

解:原式=+1-3=3+1-3=1.5.计算：能力提升

化简：

解：二次根式二次根式的定义：形如（a≥0）的式子课堂小结二次根式的性质最简二次根式2.7二次根式第二章实数第2课时二次根式的运算八年级数学·北师版学习目标1.会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算.（重点）2.灵活运用二次根式的乘法公式.（难点）导入新课1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类?几个二次根式化简后被开方数相同为一组；为一组.讲授新课二次根式的乘除运算一还记得吗?（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．

二次根式的乘法法则和除法法则（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．典例精析例1：计算:练一练计算:1.试回顾如何计算3a2·2a3=

.还记得单项式乘以单项式的法则吗？2.如何计算呢？6a5解：归纳总结二次根式的乘法扩充法则第一步：根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；第二步：根式和根式按公式相乘.利用它可以进行二次根式的化简.想一想（2）x2+2x2+4y=

;1.（1）3x2+2x2=

;2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：解：3.能不能再进行计算?为什么?答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并.5x23x2+4y合作探究二次根式的加减运算二典例精析解：(1)原式=例2：计算:(2)原式=(3)原式=(4)原式=典例精析解：(5)原式=例2：计算:(6)原式=归纳总结二次根式的加减法法则一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.要点提醒1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.典例精析解：(1)原式=例3：计算:(2)原式=(3)原式=当堂练习1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立.（）＝10；（）＝4；2.下列计算正确的是（）A.B.C.D.B解：(1)原式=3.计算:(2)原式=(3)原式=4.已知x+y=－4,xy=2.求的值.

解：

原式=

把x+y=-4,xy=2代入上式，得原式=二次根式的运算乘除法则课堂小结加减法则乘除公式2.7二次根式第二章实数第3课时二次根式的混合运算八年级数学·北师版学习目标1.熟练掌握二次根式的综合运算.（重点、难点）导入新课问题引入

如果梯形的上、下底长分别为cm,

cm，高为

cm，那么它的面积是多少？讲授新课二次根式的混合运算一例1：计算：

解：（1）（2）解法一：（3）你还有其他解法吗？解法二：原式=解：(4)原式=思考：还可以继续化简吗？为什么？

如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其它最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式.提醒二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.要点归纳二次根式的化简求值二问题：化简，其中a=3，b=2.你是怎么做的？解法一：把a=3，b=2代入代数式中，原式=解法二：原式=把a=3，b=2代入代数式中，原式先代入后化简先化简后代入哪种简便？

解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．方法总结例2：已知，求分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.典例精析解：变式训练：已知的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.解：思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？二次根式的应用三可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.方法1：分割法S1S2S3S梯形ABCD=S1+S2+S3通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，如图所示.方法2：补图法S1S2S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2EF过点D作AB边的高DE，如图所示.方法3：直接法S梯形ABCDE归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．例3：教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用.分析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论.解：贺卡的周长为答：李欣的彩带够用.

本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．方法总结当堂练习

1.下列计算中正确的是（）B2.已知试求x2+2xy+y2的值.解：x2+2xy+y2=（x