2023年上海中学数学高一下期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线，，若，则（）A．2 B． C． D．12．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C． D．3．关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）有如下统计数据表：使用年限维修费用根据上表可得回归直线方程，据此估计，该设备使用年限为年时所支出的维修费用约是（）A．万元 B．万元 C．万元 D．万元4．等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1 B．a3＝1 C．a4＝1 D．a5＝15．设，是定义在上的两个周期函数，的周期为，的周期为，且是奇函数．当时，，，其中．若在区间上，函数有个不同的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．设直线系．下列四个命题中不正确的是（）A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等7．若函数，又，，且的最小值为，则正数的值是（）A． B． C． D．8．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．4 B．-5 C．-6 D．-89．在中，内角所对的边分别为.若,则角的值为（）A． B． C． D．10．有一个容量为200的样本，样本数据分组为，，，，，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间内的频数为（）A．48 B．60 C．64 D．72二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的值域是______.12．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的侧面积为________.13．设为内一点，且满足关系式，则________.14．已知函数，则的取值范围是____15．直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.16．已知数列满足，若，则数列的通项______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面直角坐标系中，直线，.(1)直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;(2)已知点，若直线上存在点满足条件，求实数的取值范围.18．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；(2)若骑手甲、乙选择了日工资方案(1)，丙、丁选择了日工资方案(2)．现从上述4名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案(1)的概率；19．在中，内角所对的边分别为，已知，且.（1）求；（2）若，求的值.20．现有一个算法框图如图所示。（1）试着将框图的过程用一个函数来表示；（2）若从中随机选一个数输入，则输出的满足的概率是多少？21．已知，，，，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

当为,为,若,则,由此求解即可【详解】由题,因为,所以,即,故选:D【点睛】本题考查已知直线垂直求参数问题,属于基础题2、B【解析】

先计算向量夹角，再利用投影定义计算即可.【详解】由向量，，则，，向量在向量方向上的投影为.故选：B【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示以及向量数量积的几何意义，属于基础题.3、C【解析】

计算出和，将点的坐标代入回归直线方程，求得实数的值，然后将代入回归直线方程可求得结果.【详解】由表格中的数据可得，，由于回归直线过样本中心点，则，解得，所以，回归直线方程为，当时，.因此，该设备使用年限为年时所支出的维修费用约是万元.故选：C.【点睛】本题考查利用回归直线方程对总体数据进行估计，充分利用结论“回归直线过样本的中心点”的应用，考查计算能力，属于基础题.4、B【解析】分析：由题意知，由此可知，所以一定有．详解

，．

故选B．点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．5、B【解析】

根据题意可知，函数和在上的图象有个不同的交点，作出两函数图象，即可数形结合求出．【详解】作出两函数的图象，如图所示：由图可知，函数和在上的图象有个不同的交点，故函数和在上的图象有个不同的交点，才可以满足题意．所以，圆心到直线的距离为，解得，因为两点连线斜率为，所以，．故选：B．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象应用，函数性质的应用，函数的零点个数与两函数图象之间的交点个数关系的应用，意在考查学生的转化能力和数形结合能力，属于中档题．6、D【解析】

对于含变量的直线问题可采用赋特殊值法进行求解【详解】因为所以点到中每条直线的距离即为圆的全体切线组成的集合，所以存在圆心在，半径大于1的圆与中所有直线相交,A正确也存在圆心在，半径小于1的圆与中所有直线均不相交，B正确也存在圆心在半径等于1的圆与中所有直线相切，C正确故正确因为中的直线与以为圆心，半径为1的圆相切,所以中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图

与

均为等边三角形而面积不等,故错误，答案选D.【点睛】本题从点到直线的距离关系出发，考查了圆的切线与圆的位置关系，解决此类题型应学会将条件进行有效转化.7、D【解析】，由，得，，由，得，则，当时，取得最小值，则，解得，故选D.8、D【解析】绘制不等式组所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值.本题选择D选项.9、C【解析】

根据正弦定理将边化角，可得，由可求得，根据的范围求得结果.【详解】由正弦定理得：本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.10、B【解析】

由，求出，计算出数据落在区间内的频率，即可求解.【详解】由,解得，所以数据落在区间内的频率为，所以数据落在区间内的频数，故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先求得函数的定义域，根据函数在定义域内的单调性，求得函数的值域.【详解】依题意可知，函数的定义域为，且函数在区间上为单调递增函数，故当时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为.所以函数函数的值域是.故答案为：.【点睛】本小题主要考查反正弦函数的定义域和单调性，考查正弦函数的单调性，考查利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题.12、【解析】

先求出四棱锥的底面对角线的长度，结合勾股定理可求出四棱锥的高，然后由圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，可知四条侧棱的中点连线为正方形，其对角线为圆柱底面的直径，圆柱的高为四棱锥的高的一半，分别求解可求出圆柱的侧面积.【详解】由题可知，四棱锥是正四棱锥，四棱锥的四条侧棱的中点连线为正方形，边长为，该正方形对角线的长为1，则圆柱的底面半径为，四棱锥的底面是边长为的正方形，其对角线长为2，则四棱锥的高为，故圆柱的高为1，所以圆柱的侧面积为.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.13、【解析】

由题意将已知中的向量都用为起点来表示，从而得到32，分别取AB、AC的中点为D、E，可得2，利用平面知识可得S△AOB与S△AOC及S△BOC与S△ABC的关系，可得所求.【详解】∵，∴32，∴2，分别取AB、AC的中点为D、E，∴2，∴S△AOBS△ABFS△ABCS△ABC；S△AOCS△ACFS△ABCS△ABC；S△BOCS△ABC，∴故答案为：．【点睛】本题考查向量的加减法运算，体现了数形结合思想，解答本题的关键是利用向量关系画出助解图形．14、【解析】

分类讨论，去掉绝对值，利用函数的单调性，求得函数各段上的取值，进而得到函数的取值范围，得到答案．【详解】由题意，当时，函数，此时函数为单调递减函数，所以最大值为，此时函数的取值当时，函数，此时函数为单调递减函数，所以最大值为，最小值，所以函数的取值为当时，函数，此时函数为单调递增函数，所以最大值为，此时函数的取值，综上可知，函数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了分段函数的值域问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值，利用函数的单调性求得各段上的值域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15、0【解析】

将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为，计算得到答案.【详解】如图所示：将单位圆分成长度相等的四段弧，每段弧对应的圆周角为或故答案为0【点睛】本题考查了直线和圆相交问题，判断每段弧对应的圆周角为是解题的关键.16、【解析】

直接利用数列的递推关系式和叠加法求出结果．【详解】因为，所以当时，.时也成立.所以数列的通项.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）过定点，定点坐标为；（2）或.【解析】

(1)假设直线过定点，则关于恒成立，利用即可结果；(2)直线上存在点,求得,故点在以为圆心，2为半径的圆上，根据题意，该圆和直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，由此求得实数的取值范围.【详解】（1）假设直线过定点，则，即关于恒成立，∴，∴，所以直线过定点，定点坐标为（2）已知点,，设点，则，，∵,∴,∴所以点的轨迹方程为圆，又点在直线：上，所以直线：与圆有公共点，设圆心到直线的距离为，则，解得实数的范围为或.【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及直线与圆的位置关系，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.18、（1）0.4（2）【解析】

（1）从频率分布直方图中计算出前四组矩形面积之和，即为所求概率；（2）列举出全部的基本事件，并确定出基本事件的总数，然后从中找出事件“至少有名骑手选择方案（1）”所包含的基本事件数，最后利用古典概型的概率公式可计算出结果。【详解】（1）设事件为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于单的频率分别为：因为所以估计为；（2）设事件为“从四名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（1）”从四名新聘骑手中随机选取2名骑手，有6种情况，即{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}其中至少有1名骑手选择方案（）的情况为{甲，乙}，{甲，丙},，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，所以。【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型概率的计算，在频率分布直方图的问题中要注意：（1）每组矩形的面积等于该组数据的频率；（2）所有矩形的面积之和为。19、（1）；（2）.【解析】

（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简，结合，可得A的值；（2）由已知根据余弦定理可得，利用正弦定理可得联立即可解得λ的值．【详解】（1），，；（2），，而，，而，所以有.【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根据输出结果的条件可得定义域；根据最终的条件结构可得到不同区间内的解析式，从而得到函数解析式；（2）分别在两段区间内求得不等式的解集，根据