北京市石景山区高三数学统一测试(理)试题

北京市石景山区2020年高三一致测试数学试题（理）考生须知：1．本试卷为闭卷考试，满分为2．本试卷共10页，第Ⅰ卷

150分，考试时间为120分钟．1-2页，第Ⅱ卷3-9页，第10页为底稿纸，各题答案均答在此题规定的地点．第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知全集U{1,2,3,4,5,6,7}，A{3,4,5}，B{1,3,6}，那么会合{2,7}是（）A．AUBB．AIBC．CU(AIB)D．CU(AUB)2．函数ysin(2x)cos(2x)的最小正周期是（）66A．B．C．2D．243．已知数列{an}的前n项和Snn3，则a5a6的值为（）A．91B．152C．218D．2794．对于两条直线a,b和平面，若b，则“a//b”是“a//”的（）A．充分但不用要条件B．必需但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件5．用数字0，1，2，3，4构成五位数中，中间三位数字各不同样，但首末两位数字同样的共有（）A．480个B．240个C．96个D．48个6．若抛物线y22px的焦点与双曲线x2y21的右焦点重合，则p的值为（）3A．4B．-4C．2D．-27．若函数f(x)rrcos2x1的图象按向量a平移后，获得的图象对于原点对称，则向量a可以是（）A．（1，0）B．(,1)C．(,1)D．(,1)2448．设fx1x，又记f1xfx,fk1xffkx,k1,2,L,则f2009(x)1x（）1xx1C．x1A．xB．1D．1xx第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在题中横线上．a3i(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值是9．若复数2i．1yx10．设变量x、y知足拘束条件xy2，则目标函数z2xy的取值范围是y3x6．11．若(2x2)9睁开式的第7项为42，则lim(xx2xn)=．2n12．设地球半径为R，在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为90°，则甲、乙两地间的最短纬线之长为，甲、乙两地的球面距离为．x2(x1)3)113．函数f(x)x2(1x2)，则f(________，若f(a)，则实数a2x(x2)22的取值范围是．14．已知函数yf(x)和yg(x)在[2,2]的图象以下所示：给出以下四个命题：①方程f[g(x)]0有且仅有6个根②方程g[f(x)]0有且仅有3个根③方程f[f(x)]0有且仅有5个根④方程g[g(x)]0有且仅有4个根此中正确的命题是．（将全部正确的命题序号填在横线上）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(此题满分13分)已知A为锐角，向量m(sinA,cosA)，n(3,1)，且mn1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域．16．（此题满分13分）某工厂在试验阶段大批生产一种部件．这类部件有A、B两项技术指标需要检测，设各3项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，有且仅有一项技术指4标达标的概率为5．按质量查验规定：两项技术指标都达标的部件为合格品．12（Ⅰ）求一个部件经过检测为合格品的概率；（Ⅱ）随意挨次抽出5个部件进行检测，求此中至多3个部件是合格品的概率；（Ⅲ）随意挨次抽取该种部件4个，设表示此中合格品的个数，求E与D．17．（此题满分14分）如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45o．AA1（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；B1（Ⅱ）求二面角ABDC的大小；B（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．C1CD18．（此题满分

13分）已知等差数列

{an}

中，

a1

1，前12项和

S12

186．（Ⅰ）求数列

{an}

的通项公式；（Ⅱ）若数列

{bn}

知足

bn

(1)an

，记数列

{bn}

的前

n项和为

Tn，若不等式

Tn

m2对全部nN*恒成立，务实数m的取值范围．19．（此题满分14分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，过其右焦点且倾斜角为45的直线被双曲线截得的弦MN的长为6．（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）若直线

l

：

y

kx

m与该双曲线交于两个不一样点

A、

B，且以线段

AB为直径的圆过原点，求定点

Q(0,

1)到直线

l的距离

d的最大值，并求此时直线

l的方程．20．（此题满分13分）已知P(x,y)为函数ylnx图象上一点，O为坐标原点．记直线OP的斜率kf(x)．（Ⅰ）同学甲发现：点P从左向右运动时，f(x)不停增大，试问：他的判断能否正确?若正确，请说明原因；若不正确，请给出你的判断；（Ⅱ）求证：当x13；时，f(x)x1x2（Ⅲ）同学乙发现：总存在正实数a、b(ab)，使abba．试问：他的判断能否正确?若不正确，请说明原因；若正确，恳求出a的取值范围．参照答案一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的．题号12345678答案DABDBACA二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在题中横线上．题号91011121314答案6[3,9]22R,R1,(,3)(2,2)①③④432222注：第12、13题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（此题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得：mn3sinAcosA1，2分∴2sin(A)1，即sin(A)14分．662A为锐角，∴A6,即A．6分613（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cosA21)23∴f(x)cos2x2sinx12sin2x2sinx2(sinx．229分因为xR，所以sinx1,1，所以，当sinx1时，f(x)有最大值3；22当sinx1时，f(x)有最小值3．3所以函数f(x)的值域是3,.13分216．（此题满分13分）解：（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2．P134由题意得：5，P1(1P2)(1P1)P212解得：P224分．3321∴一个部件经过检测为合格品的概率PP1P26分43．2（Ⅱ）随意抽出5个部件进行检查，此中至多3个部件是合格品的概率为：1C54(1)5C55(1)513．9分2216（Ⅲ）依题意知～B(4,1)，E412，D4111．13分222217．（此题满分14分）解法一：（Ⅰ）设正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连接AE．∵ABC是正三角形，∴AEBC．又底面ABC侧面BB1C1C，且两平面交线为BC，∴AE侧面BB1C1C．连接ED，则ADE为直线AD与侧面BB1C1C所成的角．∴ADE45o．2分在RtAED中，tan45oAE32，解得x22．EDx14∴此正三棱柱的侧棱长为22．4分（Ⅱ）过E作EFBD于F，连接AF．∵AE侧面BB1C1C，∴EF是AF在平面BCD内的射影．由三垂线定理，可知AFBD．∴AFE为二面角ABDC的平面角．6分在RtBEF中，EFBEsinEBF，又BE1，sinEBFCD23∴EF3BD，．22(2)233又AE3，∴在RtAEF中，tanAFEAE⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分3．EF故二面角ABDC的大小arctan3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD平面AEF，∴平面AEF平面ABD，且交AF，E作EGAF于G，EG平面ABD．∴EG的点E到平面ABD的距离．⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分AEEF3330在RtAEF中，EG3⋯⋯⋯⋯12分．AF3)210(3)2(3∵EBC中点，∴点C到平面ABD的距离2EG30⋯⋯⋯⋯14分．5解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）如，成立空直角坐系Oxyz．A(0,0,3),B(0,1,0),C(0,1,0),D(2,1,0)．rn1(x,y,z)平面ABD的法向量．n1AB0zA1A由，n2AD0得y3z．BB12xy3z0xoC1CD取n1(6,3,1)．y⋯⋯⋯⋯6分又平面BCD的一个法向量n2(0,0,1)．⋯⋯⋯⋯7分∴cosn1n2(6)0(3)01110．⋯⋯⋯⋯8分n1,n21(6)2(3)21210n1n2合形可知，二面角ABDC的大小arccos10．⋯⋯⋯⋯9分10（Ⅲ）由（Ⅱ），n1(6,3,1)，CA(0,1,3)．⋯⋯⋯⋯10分∴点C到平面ABD的距离dCAn1|0(6)(1)(3)31|30．n1(6)2(3)212530⋯⋯⋯⋯14分∴点C到平面ABD的距离．518．（本分13分）解：（Ⅰ）等差数列{an}的公差d，∵a11,S12186，∴S1212a11211d，即1861266d.∴d3.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分所以数列{an}的通公式an1(n1)33n4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）∵bn1a，an3n4,()n2∴bn(1)3n4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分2bn1)31∵当n≥2，(,bn128∴数列{bn}是等比数列，首b1(1)12，公比q1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分(1)n]282[1161∴Tn8[1)n]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分17(188∵16[1(1)n]16(nN*)，787又不等式Tnm对nN*恒成立，而1(1)n增，且当n，1(1)n1，88∴m≥16.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分719．（此题满分14分）解：（Ⅰ）设双曲线的方程是x2y21（a0，b0），a2b2则因为离心率ec2，所以c2a，b23a2．a进而双曲线的方程为x2y21，且其右焦点为F（2a，0）．a23a2把直线MN的方程yx2a代入双曲线的方程，消去y并整理，得2x24ax7a20．设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1x22a，x1x27a2．2由弦长公式，得|MN|2(x1x2)24x1x22(2a)24(7a2)=6．2所以a1，b23a23．进而双曲线的方程是x2y21．5分3（Ⅱ）由ykxm和x2y21，消去y，得(3k2)x22kmxm230．3依据条件，得4k2m24(3k2)(m23)0且3k20.∴m23k23.设A(x3,y3)，B(x4,y4)，则x3x42kmm23.3k2，x3x4k23因为以线段AB为直径的圆过原点，所以x3x4y3y40.即(1k2)x3x4km(x3x4)m20.进而有(1k2)m23km2kmm20，即1k22m2.8分k233k23∴点Q到直线l：ykxm的距离为:d|1m||1m|6|11|.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分k212m22m3由k22m21≥03由k22m2133

，解得616且10．3m3m，解得16.m6所以当m66662，d取最大(1)2，此k0.223所以d的最大62，此直l的方程是y6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分2220．（本分13分）解：（Ⅰ）同学甲的判断不正确.依意，f(x)lnx(x)1lnx，∴fx2.x当x(0,e)，f(x)0；当x(e,)，f(x)0.所以，f(x)在(0,e)上增，在(e,)上减.⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分lnx1x1lnxxx1x（Ⅱ）f(x)3x3,x2x2xg(x)lnxx1，x1∵g(x)