空间几何体及其表面积和体积知识点及题型归纳总结

空间几何体及其表面积和体积知识点及题型归纳总结（1）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；直平行六面体；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得三、简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥.4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.四、组合体由柱体、椎体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.表8-1Sch2S直棱柱底S柱体斜棱柱S2r22rl2r(rl)cl2S(c为直截面周长)底圆锥S椎体Srrlr(rl)1nahS2正棱锥底2圆锥表面积S台体1n(aa)hSS2正棱台上下S（r2r2rlrl)圆台球S4R2表8-2柱体VSh柱体积椎体V1Shh3锥S1(SSSS)h台体V3台球V4R33题型归纳及思路提示题型1几何体的表面积与体积思路提示熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.例8-1三棱锥PABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直，侧面积分别是，，，则三棱锥的表面积643是，体积是.解析如图8-2所示，设PAa，PBb，PCc(a，b，c0)，ab62ab12bc48,三式相乘得a2b2c21286,所以abc24,则,得bc2ca6ca32ABa2b25a3b4,又侧棱PA,PB,PC两两垂直,所以BCb2c25,因此2c2CAc2a213AacCbB图8-2由余弦定理可得cosBCABC2CA2AB2BC2CA2AB22BCCA2BCCA252132AB22,P2251365S643611361,所以表Vabc1244.1体积66PABC的侧棱PA,PB,PC评注:若三棱锥两两垂直,则类比直角三角形中的勾股定理有,S2S2S2PABPBCPCAS62423261),V1PAPBPC.S2(本题ABC6ABCPABC变式1如图8-3所示,在中,ABC45,BAC90ADABCBCAD,是边上的高,沿把ABD折起,使BDC90BD1DABC.若,求三棱锥的表面积.变式2如图8-4(a)所示,ACB45,BC3AADBCD,过动点作,垂足在线段上BCBABADABD且异于点,连接,沿将折起,使BDC90(如图8-4(b)所示).当的长BDABCD为多少时,三棱锥的体积最大.AAMDBCD（a）.·ECB(b)图8-4SABCD变式3已知正四棱锥中,SA23,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为().3A.1B.C.2D.3例8.2如图8-5所示,在长方体ABCDABCD中ABAD3cm,AA2cm,则四棱锥1111111解析如图8-6所示,连接AC交BD于O,在该长方体中ABAD3cm,故底面ABCD为正方322形,即AOBD,且AOBBDDAOcm,又显然平面平面,故平面ABCD11BBDD.111BDBBAO13223226cm.所以V333ABBDD111变式1(2012山东理14)如图8-7所示,正方体ABCDABCD的棱长为1,分别为线段E,F1111AA,BC上的点DEDF的体积为,则三棱锥.111思路提示4R3R的球其中AOB(弧度制R,R,R满足R2R3R,则他们的表面积O,表面积S4R2,体积V;球面上A,B两点的球面距离为R,半径为3).这里可知球的表面积、体积计算实质是求半径.S,S,S满足的等量关系例8.3已知三个球的半径123123123是.SSS,由R2R3R得S4R2,即RR,R3解析1,同理得232221112123S2S3S.123O,O的表面积之比14,则他们的半径之比R1.1若球12S变式SR22变式2正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1:3B.1:3C.1:33D.1:9题型2几何体的外接球与内切球思路提示4(1)半径为R的球O,表面积S4R2,体积VR3.3(2)设小圆O半径为1r,OOd,则d2r2R2;若A,B是O上两点,则11AB2rsinAOB2RsinAOB.122(3)作出关键的轴截面,在此轴截面内寻找集合体的棱长或母线长与球之间关系.32例8.4已知正方体外接球的体积是,那么正方形的棱长等于()3234243A.B.C.D.22333分析正方体外接球的直径为正方体的体对角线.R24R33233解析设正方体的棱长为a,外接球半径为R,则a43.故选D.2R3a3变式1一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱额长分别为1,2,3,则此球的表面积为.2变式2正四面体的棱长为,则该正四面体的外接球的表面积为.A,B柱ABCABC内接于半径为2的球,若两点的球面例8.5正三棱距离为,则正三棱柱的体111积为.AOB2AOBAOB2解析设O为球心,由题意知,底面圆的半径为:AB22sinAB222262433AB2226222,则正三棱柱的高为,所以正三棱柱的体积为3332sin3322438.324变式1直三棱柱ABCABC的各顶点都在同一球面上,若ABACAA2,BAC120,则此1111球的表面积等于.O变式2直三棱柱ABCABC的6个顶点都在球的球面上,若111AB3,AC4,ABAC,AA12,则球O的半径为().1317213B.210C.D.3102A.例8.6一个正三棱锥的4个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的3个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是()3333A.B.C.D.343412a2sina33h1解析设正三棱锥的底面边长为a,高为h,由题意知3.故选C.V13Va42h34变式1已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA平面ABC,ABBC,SAAB1,BC2,则球O的表面积等于()243A.B.C.D.变式2已知三棱锥SABC的所有顶点都在球的球面上,OSCABC是边长为1的正三角形,为O的直径,且SC2,则此棱锥的体积为().232A.B.C.D.266322变式3高为的四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形,点S,A,B,C,D均在半径为1的同4一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为()22A.B.C.1D.242最有效训练题120l1.若圆锥的侧面展开图是圆心角为,半径为的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是().A.3:2B.2:1C.4:3D.5:32.一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是().2,3,6,这个长方体的体对角线长为A.B.C.6D.6323.如图8-8所示,在等腰梯形ABCD中,AB2DC2,DAB60,E为AB的中点,将ADE与BEC分别沿ED和EC向上折起,使P,则三棱锥A,B重合于点PDCE的外接球的体积为().4366B.C.D.28246A.274.过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面,则此截面面积是球表面积的().1311B.C.D.16128A.1635.侧棱长为4,底面边长为的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的表面积为().9766820A.B.C.D.6.已知在四棱锥PABCD,AB1,PAAC1,A