吉林省靖宇县2022-2023学年高一数学第二学期期末统考试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，为直线，，为平面，下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则与为异面直线C．若，，，则D．若，，，则2．设，则下列不等式恒成立的是A． B．C． D．3．电视台某节目组要从名观众中抽取名幸运观众．先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样方法抽取人，则在人中，每个人被抽取的可能性（）A．都相等，且为 B．都相等，且为C．均不相等 D．不全相等4．根据如下样本数据x

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可得到的回归方程为,则（）A． B． C． D．5．在三棱柱中，已知,，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）.A． B． C． D．6．已知，，，若，则等于（）A． B． C． D．7．圆心为的圆与圆相外切，则圆的方程为（）A． B．C． D．8．函数f(x)=sinA．1 B．2 C．3 D．29．将函数的图像左移个单位，则所得到的图象的解析式为A． B．C． D．10．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知向量，，则的最大值为_______.12．已知数列的通项公式为，是其前项和，则_____．（结果用数字作答）13．若a、b、c正数依次成等差数列，则的最小值为_______.14．已知向量，，且，点在圆上，则等于．15．在等比数列中，，，则__________．16．已知，，，则在方向上的投影为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表周跑量（km/周）人数100120130180220150603010（1）在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑（2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为，试求样本的中位数（保留一位小数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里类别休闲跑者核心跑者精英跑者装备价格（单位：元）250040004500根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元?18．已知四棱锥的底面是菱形，底面，是上的任意一点求证：平面平面设，求点到平面的距离在的条件下，若，求与平面所成角的正切值19．已知圆：．（Ⅰ）求过点的圆的切线方程；（Ⅱ）设圆与轴相交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，直线，分别与直线交于，两点．（ⅰ）当点的坐标为时，求以为直径的圆的圆心坐标及半径；（ⅱ）当点在圆上运动时，以为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？请说明理由．20．在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.21．设函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的值域.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.【详解】由，为直线，，为平面，知：在A中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，，则与相交、平行或异面，故B错误；在C中，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；在D中，若，，，则由线面垂直、面面平行的性质定理得，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于基础题.2、C【解析】

利用不等式的性质，合理推理，即可求解，得到答案.【详解】因为，所以，所以A项不正确；因为，所以，，则，所以B不正确；因为，则，所以，又因为，则，所以等号不成立，所以C正确；由，所以，所以D错误.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、A【解析】

根据随机抽样等可能抽取的性质即可求解.【详解】由随机抽样等可能抽取，可知每个个体被抽取的可能性相等，故抽取的概率为.故选：A【点睛】本题考查了随机抽样的特点，属于基础题.4、A【解析】试题分析：依据样本数据描点连线可知图像为递减且在轴上的截距大于0，所以．考点：1．散点图；2．线性回归方程；5、A【解析】试题分析：直三棱柱的各项点都在同一个球面上，如图所示，所以中，，所以下底面的外心为的中点，同理，可得上底面的外心为的中点，连接，则与侧棱平行，所以平面，再取的中点，可得点到的距离相等，所以点是三棱柱的为接球的球心，因为直角中，，所以，即外接球的半径，因此三棱柱外接球的体积为，故选A.考点：组合体的结构特征；球的体积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.6、A【解析】

根据向量的坐标运算法则,依据题意列出等式求解.【详解】由题知:,,,因为,所以,故,故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算,属于基础题.7、A【解析】

求出圆的圆心坐标和半径，利用两圆相外切关系，可以求出圆的半径，求出圆的标准方程，最后化为一般式方程.【详解】设的圆心为A，半径为r，圆C的半径为R,，所以圆心A坐标为，半径r为3，圆心距为，因为两圆相外切，所以有,故圆的标准方程为:,故本题选A.【点睛】本题考查了圆与圆的相外切的性质，考查了已知圆的方程求圆心坐标和半径，考查了数学运算能力.8、A【解析】

对sin(x+π3【详解】∵f(x)=sin∴f(x)【点睛】考查三角恒等变换、辅助角公式及余弦函数的最值.9、C【解析】

由三角函数的图象变换，将函数的图像左移个单位，得到，即可得到函数的解析式.【详解】由题意，将函数的图像左移个单位，可得的图象，所以得到的函数的解析式为，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，其中熟记三角函数的图象变换的规则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10、A【解析】

先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】

计算出，利用辅助角公式进行化简，并求出的最大值，可得出的最大值.【详解】，，，所以，，当且仅当，即当，等号成立，因此，的最大值为，故答案为.【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12、.【解析】

由题意知，数列的偶数项成等差数列，奇数列成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的求和公式可求出的值.【详解】由题意可得，故答案为.【点睛】本题考查奇偶分组求和，同时也考查等差数列求和以及等比数列求和，解题时要得出公差和公比，同时也要确定出对应的项数，考查运算求解能力，属于中等题.13、1【解析】

由正数a、b、c依次成等差数列，则，则，再结合基本不等式求最值即可.【详解】解：由正数a、b、c依次成等差数列，则，则，当且仅当，即时取等号，故答案为：1.【点睛】本题考查了等差中项的运算，重点考查了基本不等式的应用，属基础题.14、【解析】试题分析：因为且在圆上，所以，解得，所以．考点：向量运算．【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．15、8【解析】

可先计算出公比，从而利用求得结果.【详解】因为，所以，所以，则.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的相关计算，难度很小.16、【解析】

根据数量积的几何意义计算．【详解】在方向上的投影为．故答案为：1．【点睛】本题考查向量的投影，掌握投影的概念是解题基础．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析；(2)中位数为29.2，分布特点见解析；(3)3720元【解析】

（1）根据频数和频率之间的关系计算，即可得到答案；（2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论；（3）根据频率分布直方图求出休闲跑者，核心跑者，精英跑者分别人数，进而求出平均值．【详解】（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：（2）中位数的估计值：由，所以中位数位于区间中，设中位数为，则，解得，因为，所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数．（3）依题意可知，休闲跑者共有人，核心跑者人，精英跑者人，所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要元．【点睛】本题主要考查了平均数、中位数的求法，以及频率分布直方图的性质等相应知识的综合应用，着重考查了化简能力，推理计算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题．18、（1）见解析（2）（3）【解析】

（1）由平面，得出，由菱形的性质得出，利用直线与平面垂直的判定定理得出平面，再利用平面与平面垂直的判定定理可证出结论；（2）先计算出三棱锥的体积，并计算出的面积，利用等体积法计算出三棱锥的高，即为点到平面的距离；（3）由（1）平面，于此得知为直线与平面所成的角，由，得出平面，于此计算出，然后在中计算出即可．【详解】（1）平面，平面，，四边形是菱形，，平面；又平面，所以平面平面.（2）设，连结，则，四边形是菱形，，，，设点到平面的距离为平面，，，解得，即点到平面的距离为；（3）由（1）得平面，为与平面所成角，平面，，与平面所成角的正切值为．【点睛】本题考查平面与平面垂直的证明、点到平面的距离以及直线与平面所成的角，求解点到平面的距离，常用的方法是等体积法，将问题转化为三棱锥的高来计算，考查空间想象能力与推理能力，属于中等题．19、（Ⅰ）或；（Ⅱ）（ⅰ）圆心为，半径；（ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）先判断在圆外，所以圆过点的切线有两条．再由斜率是否存在分别讨论．（Ⅱ）（ⅰ）设直线PA和PB把其与直线交于，两点表示出来，写出圆的方程化简即可．（ⅱ）先求出以为直径的圆被轴截得的弦长，在设出PA和PB的直线方程，分别求出与直线的交点，求出圆心，再根据勾股定理易求解．【详解】（Ⅰ）因为点在圆外，所以圆过点的切线有两条．当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件．当直线的斜率存在时，可设为，即．由圆心到切线的距离，解得．此时切线方程为．综上，圆的切线方程为或．（Ⅱ）因为圆与轴相交于，两点，所以，．（ⅰ）当点坐标为时，直线的斜率为，直线的方程为．直线与直线的交点坐标为，同理直线的斜率为，直线的方程为．直线与直线的交点坐标为．所以以为直径的圆的圆心为，半径．（ⅱ）以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．设点，则．直线的斜率为，直线的方程为．直线与直线的交点坐标为．同理直线的斜率为，直线的方程为．直线与直线的交点坐标为．所以圆的圆心，半径为．方法一：圆被轴截得的弦长为．所以以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．方法二：圆的方程为．令，解得．所以．所以圆与轴的交点坐标分别为，．所以以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．【点睛】此题考查解析几何中关于圆的题目，一般做法是设而不求，将需要的信息表示出来再化简求值，属于一般性题目．20、(1)．(2)【解析】

（1）先利用正弦定理角化边，然后根据余弦定理求角；（2）利用余弦定理以及基本不等式求解最值，注意取等号的条件.【详解】解：（1）由正弦定理得，由余弦定理得，∴．