陕西省安康市第二中学2022-2023学年高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．等差数列{an}中，若S1=1A．2019 B．1 C．1009 D．10102．在中，为的中点，，则（）A． B． C．3 D．-33．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝S4，则S13＝（）A．13 B．7 C．0 D．14．在中，分别为角的对边，若的面积为，则的值为（）A． B． C． D．5．已知与的夹角为，，，则（）A． B． C． D．6．边长为1的正方形上有一动点，则向量的范围是（）A． B． C． D．7．已知，则的值域为A． B． C． D．8．若函数的最小正周期为2，则（）A．1 B．2 C． D．9．若，，则等于()A． B． C． D．10．从一批产品中取出两件产品，事件“至少有一件是次品”的对立事件是A．至多有一件是次品 B．两件都是次品C．只有一件是次品 D．两件都不是次品二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知平面向量，，满足：，且，则的最小值为____.12．已知，若直线与直线垂直，则的最小值为_____13．在中，，，则的值为________14．若正实数，满足，则的最小值是________.15．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列四个命题正确的是________．①若l⊥β，则α⊥β；②若α⊥β，则l⊥m；③若l∥β，则α∥β；④若α∥β，则l∥m.16．函数的零点的个数是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中点，求证：（1）平面；（2）.18．已知等比数列的首项为，公比为，它的前项和为.（1）若，，求；（2）若，，且，求.19．已知，，其中.（1）求的值；（2）求的值.20．设为正项数列的前项和，且满足．（1）求证：为等差数列；（2）令，，若恒成立，求实数的取值范围．21．设角，，其中：（1）若，求角的值；（2）求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

由等差数列{an}中，S1=1，S【详解】∵等差数列{an}中，S∴S即15=5+10d，解得d=1，∴S故选：D．【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2、A【解析】

本题中、长度已知，故可以将、作为基底，将向量用基底表示，从而解决问题．【详解】解：在中，因为为的中点，所以，故选A【点睛】向量数量积问题常见解题方法有1.基底法，2.坐标法．基底法首先要选择两个不共线向量作为基向量，然后将其余向量向基向量转化，然后根据数量积公式进行计算；坐标法则要建立直角坐标系，然后将向量用坐标表示，进而运用向量坐标的运算规则进行计算．3、C【解析】

由题意，利用等差数列前n项和公式求出a1＝﹣6d，由此能求出S13的值．【详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝S4，∴4a1，解得a1＝﹣6d，∴S1378d﹣78d＝1．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．4、B【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．5、A【解析】

将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出关于的二次方程，解出即可.【详解】将等式两边平方得，，即，整理得，，解得，故选：A.【点睛】本题考查平面向量模的计算，在计算向量模的时候，一般将向量模的等式两边平方，利用平面向量数量积的定义和运算律进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.6、A【解析】

分类，按在正方形的四条边上分别求解．【详解】如图，分别以为建立平面直角坐标系，，设，，∴，当在边或上时，，所以，当在边上时，，，当在边上时，，，∴的取值范围是．故选：A.【点睛】本题考查平面向量的数量积，通过建立坐标系，把向量和数量积用坐标表示，使问题简单化．7、C【解析】

利用求函数的周期为，计算即可得到函数的值域.【详解】因为，，，因为函数的周期，所以函数的值域为，故选C.【点睛】本题考查函数的周期运算，及利用函数的周期性求函数的值域.8、C【解析】

根据可求得结果.【详解】由题意知：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解问题，属于基础题.9、C【解析】

直接用向量的坐标运算即可得到答案.【详解】由，.故选：C【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.10、D【解析】试题分析：根据对立事件的定义，至少有n个的对立事件是至多有n﹣1个，由事件A：“至少有一件次品”，我们易得结果．解：∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个又∵事件A：“至少有一件次品”，∴事件A的对立事件为：至多有零件次品，即是两件都不是次品．故答案为D．点评：本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，互斥事件关键是要抓住不可能同时发生的要点，对立事件则要抓住有且只有一个发生，可以转化命题的否定，集合的补集来进行求解．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、-1【解析】

，，，由经过向量运算得，知点在以为圆心，1为半径的圆上，这样，只要最小，就可化简．【详解】如图，，则，设是中点，则，∵，∴，即，，记，则点在以为圆心，1为半径的圆上，记，，注意到，因此当与反向时，最小，∴．∴最小值为-1．故答案为-1．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是由已知得出点轨迹(让表示的有向线段的起点都是原点)是圆，然后分析出只有最小时，才可能最小．从而得到解题方法．12、8【解析】

两直线斜率存在且互相垂直，由斜率乘积为-1求得等式，把目标式子化成，运用基本不等式求得最小值.【详解】设直线的斜率为，，直线的斜率为，，两条直线垂直，，整理得：，，等号成立当且仅当，的最小值为.【点睛】利用“1”的代换，转化成可用基本不等式求最值，考查转化与化归的思想.13、【解析】

由，得到，由三角形的内角和，求出，再由正弦定理求出的值.【详解】因为，，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于简单题.14、【解析】

将配凑成，由此化简的表达式，并利用基本不等式求得最小值.【详解】由得，所以.当且仅当，即时等号成立.故填：.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.15、①【解析】

由线面的平行垂直的判定和性质一一检验即可得解.【详解】由平面与平面垂直的判定可知，①正确；②中，当α⊥β时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；③中，l∥β时，α，β可以相交；④中，α∥β时，l，m也可以异面．故答案为①.【点睛】本题主要考查了线面、面面的垂直和平行位置关系的判定和性质，属于基础题.16、【解析】

在同一直角坐标系内画出函数与函数的图象，利用数形结合思想可得出结论.【详解】在同一直角坐标系内画出函数与函数的图象如下图所示：由图象可知，函数与函数的图象的交点个数为，因此，函数的零点个数为.故答案为：.【点睛】本题考查函数零点个数的判断，在判断函数的零点个数时，一般转化为对应方程的根，或转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析.(2)见解析.【解析】

（1）先取的中点，连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）根据线面垂直的判定定理先证明平面，再由线面垂直的性质，即可得到.【详解】（1）取的中点，连接，可得，且.平面，平面，.又，，且，∴四边形是平行四边形，.又平面，平面，平面.（2）在中，，为的中点，.是正三角形，为的中点，，.平面，∴四边形是矩形，，又，平面.又平面，.，平面.又平面，.【点睛】本题主要考查线面平行以及线面垂直，熟记线面平行与垂线的判定定理以及性质定理即可，属于常考题型.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根据题意建立和的方程组，求出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；（2）分、、三种情况讨论，然后利用等比数列的求和公式求出和，即可计算出.【详解】（1）若，则，得，则，这与矛盾，则，所以，，解得，因此，；（2）当时，则，所以，；当时，，，则，此时;当时，则.因此，.【点睛】本题考查等比数列通项公式的计算，同时也考查了与等比数列前项和相关的数列极限的计算，解题时要注意对公比的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.19、（1）（2）【解析】

（1）根据题意，由，求解，注意角的范围，可求得值，再根据运用两角和正切公式，即可求解；（2）由题意，配凑组合角，运用两角差余弦公式，即可求解.【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，，（2）∵，∴，，∵，，∴，，∴.【点睛】本题考查三角恒等变换中的由弦求切、两角和正切公式、两角差余弦公式，考查配凑组合角，考查计算能力，属于基础题.20、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据与的关系，再结合等差数列的定义，即可证明；（2）由（1）可求出，采用裂项相消法求出，要恒成立，只需即可求出．【详解】（1）由题知：，当得：，解得：当，①②得：，即．是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）知：所以即．【点睛】本题主要考查与的关系，等差数列的定义，裂项相消法以及恒成立问题的解法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．21、（1）；（2）.【解析】

（1）由，可得出，进而得出，结合可求出角的值，可求出的值