【高中数学经典】三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)

【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】【知识点1诱导公式】诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，，，其中诱导公式五：，，其中诱导公式六：，，其中【知识点2诱导公式的记忆】记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.【考点1利用诱导公式求值】【方法点拨】对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．【例1】（2018秋•道里区校级期末）已知点在角的终边上，求下列各式的值．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得，，的值，再利用诱导公式即可求得要求式子的值．【答案】解：角终边上有一点，，，，，，，（Ⅰ）；（Ⅱ）．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【变式1-1】（2019春•龙潭区校级月考）已知，求下列各式的值：（1）；（2）．【分析】（1）由诱导公式化简后，原式分子分母除以，利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值；（2）由诱导公式化简后，原式分母“1”化为，然后分子分母除以，利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值．【答案】解：，（1）；（2）．【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的考查．【变式1-2】（2018春•陆川县校级月考）若，是第四象限角，求的值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【答案】解：，是第四象限角，，．【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．【变式1-3】（2019春•沈阳校级月考）已知是方程的根，求的值．【分析】把代入到方程中解出即可求出的值进而求出的值，然后把所求的式子利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系进行化简，将的值代入即可求出值．【答案】解：是方程的根，或（舍．故，．原式【点睛】此题要求学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解这道题的思路是利用已知求出正切函数的平方，所求的式子也要化为关于正切函数平方的关系式．【考点2利用诱导公式化简】【方法点拨】灵活应用诱导公式，应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了【例2】（2019秋•颍泉区校级期中）化简：．【分析】由已知利用诱导公式即可化简得解．【答案】解：．【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．【变式2-1】（2019春•兰考县校级期末）化简：．【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．【答案】解：．【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．【变式2-2】（2019春•东莞市校级期末）化简．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【答案】解：．【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．【变式2-3】（2019春•西安月考）化简：．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．【答案】解：，【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．【考点3诱导公式在函数中的应用】【例3】（2019春•怀化期末）已知（Ⅰ）化简；（Ⅱ）若是第三象限角，且，求的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用诱导公式即可化简得解；（Ⅱ）由，可得，根据角的范围利用同角三角函数基本关系式即可求解．【答案】解：（Ⅰ）．（Ⅱ），，代入，得：，是第三象限角，．【点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【变式3-1】（2019春•大武口区校级期末）已知（1）化简；（2）若，求的值．【分析】（1）直接利用诱导公式化简求解即可．（2）求出正切函数值，利用同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【答案】解：（1）．（2），可得：，，将代入，得．【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．【变式3-2】（2018秋•红塔区校级期末）已知．（1）将化为最简形式；（2）若，且，求的值．【分析】（1）由题意利用诱导公式，化简所给的式子，可得结果．（2）由题意可得的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得的值，可得的的值，从而求得的值．【答案】解：（1）由题意可得，．（2）①，平方可得，，因为，所以，，，所以②，由①②可得：，所以．【点睛】本题主要考查利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．【变式3-3】（2018秋•汕头校级期中）已知函数．（1）若，求的值．（2）若，且，求的值；【分析】（1）由题意利用诱导公式求得，再根据，计算求得结果．（2）利用诱导公式化简要求的式子为，再计算的值，可得要求式子的值．【答案】解：（1）函数，若，则，．（2），且，，，即．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，诱导公式的应用，属于基础题．【考点4分类讨论思想】【例4】化简：．【分析】对分当与讨论，利用诱导公式化简求值即可．【答案】解：，当时，上式；当时，上式．【点睛】本题考查运用诱导公式化简求值，分类讨论是关键，是基本知识的考查．【变式4-1】（2019春•集宁区校级月考）设为整数，化简．【分析】分为偶数和奇数两种情况，分别利用诱导公式进行化简求值．【答案】解：当为偶数时，．当为奇数时，，综上可得，．【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．【变式4-2】（2019•广东模拟）化简，．【分析】利用诱导公式化简．应分当为偶数时和为奇数时两种情况．因为这两种情况正余函数的正负值不同．【答案】解：当时，原式；当时，原式．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用．注意三角函数的正负号的判断．【变式4-3】已知，（1）化简的表达式；（2）求的值．【分析】（1）看为奇数和偶数时，分别根据诱导公式化简整理，最后综合可得答案．（2）把和代入函数解析式，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求得答案．【答案】解：（1）当为偶数，即，时，，当为奇数，即，时；（2）由（1）得【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和诱导公式化简求值．在利用诱导公式时注意根据角的范围，确定三角函数的正负．【考点5利用诱导公式进行证明】【例5】（2019春•凉州区校级月考）证明下列等式：（1）（2）【分析】（1）利用诱导公式对等号左边分子和分母进行化简，最后约分即可求得答案．（2）利用诱导公式对等号左边分子和分母进行化简，注意符号的判断．【答案】证明：（1）左边右边．（2）左边右边．【点睛】本题主要考查了诱导公式的化简求值．可采用“奇变偶不变，正负看象限”的口诀记忆．【变式5-1】（2019秋•岳池县校级月考）求证：（1）；（2）．【分析】（1）原式左边利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简，右边利用诱导公式化简，得到两结果相等，即可得证；（2）原式左边与右边分别利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后得到两结果相等，即可得证．【答案】证明：（1）左边；右边，左右，得证；（2）左边，右边，左右，得证．【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．【变式5-2】已知、、是的三个内角，求证：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由已知条件利用进行证明．（2）由已知条件利用进行证明．（3）由已知条件利用进行证明．【答案】证明：（1）、、是的三个内角，，，．（2）、、是的三个内角，，，．（3）、、是的三个内角，，．．【点睛】本题考查三角函数的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形内角和定理和诱导公式的合理运用．【变式5-3】设，求证：．【分析】由条件利用诱导公式求得，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简等式的左边为，再把，从而得到要证的等式的右边．【答案】证明：，，故要证的等式成立．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．【考点6角的灵活拆分问题】【例6】已知，，求的值．【分析】由已知，得，再将化为，利用三角函数的诱导公式求解．【答案】解：，．又，．【点睛】本题考查了三角函数求值，利用整体代入是常用的技巧，是基础题．【变式6-1】已知，且是第四象限角，求的值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用诱导公式即可化简求值．【答案】解：，且是第四象限角，，．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式的综合应用，属于基础题．【变式6-2】已知，且为第四象限角，求的值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值