生课件自动控制原理课程组

第4轨迹主要内根轨迹的基本根轨迹的 用根轨迹法分析系统的暂态 第4轨迹学习重了解根轨迹的基本特性和相关概 第4轨迹根轨迹1948年， （W.R.Evans）提出根轨迹法的 根轨迹法的基本概根轨S平面上的变化轨迹。 Ks(0.5s Ks(0.5sWB(s)闭环

s22sD(s)s22s2Ks1 1s2 1 K00---1-K00---1--1-2-1+j-1-j--1- 根轨迹方控制系开环传递K

N(s)N

Kg(szi

mKNmWK(s)

n(spjn

D(s) 式中zi——开环零pj——开环极闭环系1KgN(s)1W(s)或可写

ND(s)

m1(szim1nK nK(spj) 这个方程式表达了开环传递函数与闭环特征方程式的关系，该方程的解即为闭环特征根，因此该式又令s=σ+jωN

(szinm1K nm1K(spj j 上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形迹方程又可分别表幅值条件

NsDs

(szim mn(spjj

j开环有限零点到s点的矢量长度之积 开环极点到s点的矢量长度之 辐角条件：（充分必要条件(sz)n(sz)n

(sp)

D

m jm

j1180o(12) (0,1,2, 式中 —开环有限零点到s点的矢量辐角—开环极点到s点的矢满足幅值条件和辐角条件的s值，就是特征方的根，也就是闭环极 因为Kg在0→∞范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的利用Kg值比较方便，它可以作为计算Kg值的依据。 根轨迹的 Kg=0Kg=的特 Kg<∞时的根轨迹 根轨迹的 绘制根轨迹的一1点（Kg=Kg0时，闭环系统的特征方程式等nD(s)(spj)n上式即为开环系统的特征方程式。所以，当Kg0时， 根轨迹的 终点（Kg 当Kg=∞时，闭环系统的特征方程式等mN(s)(szi)m点今设Ns为m阶方程，故有m个开环有限零点决定了Kg。 根轨迹的 根轨迹分支数和 根轨迹的 实轴上的根总为零；复平面上的所有零、极点是共 根轨迹的 证明：设Nz为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点Np为实轴上根轨迹右侧的开环极点由辐角 ijNzNp(12) (NzNzNz)Np2Nz(NzNp)(12所以，实轴上存在根轨迹的条件应NzNp1 (0,1, 根轨迹的 Np=1，Nz对根轨迹NzNp=3；对根轨迹C，NzNp=5。它们都是奇数 根轨迹的 两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即开的点称为分离点（或会合点）在下图上画出了两条根轨迹。我们把a点叫做分离点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重 根轨迹的 分离点（会合点）的坐标sd由下列方程所1W(s)1

N(s)整理

g[1WK(s)]KgN(s)D(s)D'(s)N(s)N'(s)D(s) 根轨迹的 说明特征方程式中验算。只有当与之对应的Kg值为值时，这些分离 根轨迹的 根轨迹的 例4-2已知开环KW(s)KgN(s)K

Kg(s (sp1)(sp2)式中

0,z1p1p2

，求分离点和会合解由已知N(s)sD(s)(sp1)(sp2

N(s)D(s)(2sp1p2 根轨迹的 代入分离点和会合点D'(s)N(s)N(2sp1p2)(sz1)(sp1)(sp2)由此得分离点和会合s1z1s2z1

(z1p1)(z1p2(z1p1)(z1p2 根轨迹的 该系统的根轨迹 根轨迹的 根轨迹的渐近——研究根轨迹是按什 趋向无穷远n>m时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近 根轨迹的 渐近线的倾角无穷远处的特征根，到S平面上所有开环有限零点和极点的矢量辐角都相等，均为，即 代入辐 i mn18012i j即渐近线180o(12)n独立的渐近线只有（n-m）

( 根轨迹的 渐近线的交点由幅值m(szm

smz

N

m m

m1 m1

(spj

sn

p

j pjssk时zipjk，即 (s

pj

snm1 j 根轨迹的 npn

m m n由于pj和zi是实数或共轭复数，故k必为实数， 根轨迹的 例4-3开环传递函为W(s) s(s1)(s试确定其根轨迹渐近因为m=0,n=3,所以可得渐近线倾oo180(12)180(12oo

n 3 根轨迹的 （2）计算渐因为p00,p11,p2所以渐近

n=3, pj j 140

n 3 根轨迹的 根轨入射角sr：根轨迹进入S线与实轴的夹 根轨迹的 例4-4已知开WK(s)

Kg(ss(s3)(s22s试计算起点（-1+j1）的斜 根轨迹的 sk稍为增大，在（-1+j1）sk应满足辐1(1234)180o(12145,135,26.6解 解 把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角4 4 根轨迹的 通过这个例子，可以得到计算出射角 m 180on1m ij i 同理可得入射角的计

ij 根轨迹的 根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的sj，此时系统处于临界稳定状态，令此时的KgKl。由此可计算对应的临界放大系数Kl值。确定交sj代入特征利 判据 根轨迹的 例4-5设有开W(s)

s(s1)(0.5s s(s1)(s试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大解方法（1）根据给定的开环传递函数，可得特征F(s)s33s22s K假设KK Kl时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中s 根轨迹的 23则得F(j)2Kl j(2)23亦亦3解得： ，KK0，对应根轨迹的起点

KK3，对应根轨迹与虚交点处的（临界放大系数）Kl 根轨迹的 方法（2） 判据计算交点和临界放大系特征方表

F(s)s33s22s K1 22KKK K

根轨迹的 在第一列中，令s1行等于零，则得临界放KKKl根轨迹与虚轴的交点可根据s2行的辅助方程求得3s2 K令上式中KK 3，即得根轨迹与虚轴的交点s 根轨迹的 9．根轨迹另一些根轨迹必左行。

说明：把特征方程式改n1

s

(sR)

asn1 kjn

式中：a1

是一个常数，它是各特征根之和。这随着Kg值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减 根轨迹的 根轨迹 则归纳如下（1）起点（2）终点

Kg ）。开环传递函数的极点即根轨迹）。根轨迹的终点即开环传递函数的（包括g有限零点和（n-m）个无限零点）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目

，根迹对称于

实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的应是奇数 根轨迹的 D'(s)N(s)N'(s)D(s)根轨180o(12)

( 渐近线的

n p

渐近线

n 根轨迹的 根轨 o出射

ji o入射

ji 根轨迹sj代入特征方程式即可解出交点处的临界g和交点坐标。根轨 如果特nm2，则一些根轨迹 根轨迹的 自动控制系统的二阶系设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传WK(s)

s(1

Kgs(s1T 根轨迹的 二阶系统的根轨迹图如右图如果要使得系统的阻尼比为 2则从原点作阻尼线Kg开环放大系数KK应Kg 上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数 根轨迹的 二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图所示。它的开

WK(s)

K(s 0.2s(5s1)

Kg(ss(s 根轨迹的 由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详 ）这个圆与实轴的交点分离点s1a

a2s2a

a2

a1时的根轨迹本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，能改善系统动态 根轨迹的 三阶系二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所WK(s)

s(s1)(Tss(s1)(s-1~-4之间不可能有根轨迹，故分离点应为s10.467 根轨迹的 当a4时，根轨迹与虚轴交对应的根轨迹放大系Kg考虑到Kg4Kl，于是得临环放大系

20 根轨迹本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着Kg增大根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于 根轨迹的 滞系统的结构如图所示开环传递函数WK(s)

KgN

闭环系统的特征方程 D(s)KN(s)es(sp)Kg(sz)es

根轨迹的 假设特征根sj，则满足特征根的幅值和m件 m

(szi nK i1 nK(spj) (spj)(szi)(12) 与前面介绍的根轨迹 则相对比可知，时滞系统的根轨迹绘法则要有所变化 根轨迹的 时滞系统的根轨迹 则起点（Kg0）Kg0时，除开环极点是起点外，也是起点。

p终点（

）。当Kg

时，除开点

是终点外，也是终4实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的开环零、极之和为奇 根轨迹的 分离点D'(s)N(s)es[esN(s)]'D(s)渐近线。水平线，与虚轴交点Kg0时Kg

N2 N12nmN1 根轨迹的 出射角与入射角

()ji

()ji根轨迹与虚轴交点

nj p

arctanm m

(12)n(jpjn临界根Kl

m(jzim 根轨迹的 复平面上的根轨迹由辐角条0 (spj)(szi)0 例4- 设系统的开环传递函数KgN试绘制

Kgs(sg 根轨迹的 解（1）起点(Kg 0)为，其渐近线

p1 ；其他(12 (0,1, 终点(Kg)为：，其渐近在实轴的0~1区间有根轨分离点位置按式（4-25）计算，D'(s)N(s)[N(s)N'(s)]D(s)s2(2)s1 根轨迹的 由此算

s1[(2)

4当1时，得s10.382s22.618。因根轨迹位于0~－1间，故分离点是s10.382。（5）根轨迹与虚轴交点。当01arctan2由此得对应的临界根轨迹放大系数为 同理可

时 和Kl值。根据以上计算果作的根轨迹如下图 根轨迹的 当滞后时间很小时，根轨迹与虚交点的 将很大，临界根轨迹放大数K也是很大。这时时滞环节的影响减弱。因此，对于滞后时间为毫秒 一个惯性元件

1

，即把它等效成 根轨迹的 零度根轨360的情况。图示系统有一个零点在SWK(s)

Kk(1Tas)s(1T1s)

Kg(ss(sp1) 根轨迹的 它的闭环特征方程D(s)KgN(s)s(sp1)Kg(sz1)亦 N(s) s s(s 幅值

N

s s(s 辐角条N(s)D(s)(szi(spj ij

(0,1, 由于辐角条件是偶数个，故名为零度根轨 根轨迹的 零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之应是偶数根轨迹的渐近线。倾2n

( j j

360oi入射

j

j

i 根轨迹的 例4-7试绘制下图示系统的解二个开环极点p0

一个有限零点：

和一个 根轨迹的 右侧的零、极点数目之和应是偶数。因为， 因此在实轴的0~1~1区间 分离D'(s)N(s)N'(s)D(s)(sp1s)(sz1)s(sp1)分离点与会合点分s11 1

11 1 T

T Ta

a 的 根轨迹不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为点1

，半径

z11 1 的 参数根轨参数根轨迹（或广义根轨迹）Kg以外的量的根轨迹，称为参一个参数变化的假设系统的可变参数是某一时间常数T，原特征方程式 KgN(s) DT式中，NT(s)DT(s分别为等效的开环传递函数分子、分母多项式，T的位置与原根轨迹放大系数K完全相同。 的 例4-9给定控制系统的开环传递函 ss

a s(2s试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时闭环系统稳定解闭环特征

2s2assas(2s1)a(s1)改写

1a(s1)s(2sW

(s)a(s等效的开环传递函数

s(2s该系统在绘制以为a参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则 的 相应的根轨迹绘于右由图可知

a时系统处于临界稳态闭环系统稳定的范0a

例4-9系统的根轨本例说明，尽管在许多情况下，都是绘制常义根轨迹，但是在绘制参数根轨迹、研究正反馈系统、处理非最小相位系统时，都有可能遇到绘制零度 的 几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇 的 例4-10一单位反馈控制系统如图所示，试绘制以Ka为解系统闭环特征方程为s2asK先令a0，则上式变 s2K或写 1K 根轨迹的 (s) 据此作出WK1(s)对应的根轨迹，如下图a所示。这其次a0，把闭环特征方1 s2令 (s) K s2 根轨迹的 例如令K=9

(s) K s2它的极点为，零点为0。不难证明，对应特征方程的根轨为一圆弧

2下图b为K取不同值时所作的根 用根轨迹法分析系统的暂态根轨迹绘出以后，对于一定的Kg值，即可利用幅值条用根轨迹法分析控制系统的步骤画出系在根轨根据系统 用根轨迹法分析系统的暂态在根轨根据已知的Kg值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可取试验点Kg连接 与开环零极Kg 的暂态例4- 系统开环传函

WKs

Kgss1s试确定Kg10的闭环极点。解闭环特征方程为1WKsss1s4Kg 的暂态由图可知：在~有一实根，设其为－R1实根求法：1.作图由ss1s4Kg求得Kg 的一个特征根

- 的暂态设另外两

R22R32由特征方程得

ss1s4Kg sR1sR2sR3

4s根据代数方程根与系数的关R1R2R3122 2R1R2R34.60.2j0.2jKg

可求得二共轭复根

0.2 定性分析－－稳定性定量分析－－暂态响应分析，定量计算性能指标最 闭环系暂态过程主要决定于离虚轴近的一般当时R25R1的影 闭环极点为一对复由（或阻尼角arccos）和n决定系统的暂态特性设n随着阻尼角arccos的改变，极点将沿着以n为半径的圆弧移 ②假设则随着n增大，极点将沿矢量方向

等阻③n是表征系统指数衰