大三上实变第二章准备工作

7Riemann积分及其缺陷7Lebesgue积分7实变函数论谈什么？79集合论9 集合的运算 映射·基数Rn的拓扑σ-代数·Borel集·Baire定理..................Rn作为度量空间可测集·可测函数·.....................Lebesgue积分RnLebesgueLebesgue测度的构造34Lebesgue测度的不变性Lebesgue测度的注记.................... LebesgueBorel集............... Minkowski和 测度的正则性RiemannLebesgue..............RnFubini定理Lp凸不等式Lp空间 Lp Lp(Rn)空间，1⩽p< ...............Hardy-Littlewood极大方法.................... Vitali Hardy-Littlewood极大函数................Lebesgue微分定理及其应用................... Lebesgue微分定理.................... 磨光子可微变换R1单调函数5单调函数的可微性................... 单调函数的结构..................... 有界变差函 BV函数的基本性质................... BV函数的结构..................... 绝对连续函 参考文 6第一章Lebesgue 第一 以看成平面上所有直线组成的集合的元素。此时，集合的集合称作类严格的集合的概念要基于一些集合论公理。除非须面对，我们AB（AB的子集），记作A⊂B（或B⊃A）x∈A，x∈B。XX的幂集2X，2X上自然的有一个偏序结构，即集合的包含关系：A⩽B⇔A⊂B。AB的交集AB，AB={x:x∈Ax∈B}；集A与集合B的并集记作A∪B，A∩B={x:x∈Ax∈B}。按照包含关系确定的偏序，ABAB，ABAB，其中第二

A∪B=B∪ A∩B=B∩A∪(B∪C)=(A∪B)∪A∩(B∩C)=(A∩B)∩A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪{Aα}α∈I∪Aα{x:αI,xAα{x:αI,x2.1.f[a,b

∪{x∈[a,b]:|(x)|<{x∈[a,b]:|(x)|>0}=∪{x∈[a,b]:|f(x)|>1 2.2.ABAB的差集A\BAB{xx∈AxAc={x∈X:x̸∈A}=X\AB的对称差A△BA△B=(A\B)∪(B\AB⊂XA∪Ac=X，A∩Ac=∅，(Ac)c=A，Xc=∅，∅c=A\B=A∩A⊃B⇒Ac⊂Bc，AB∅⇒A⊂BcB⊂Ac2.3.（DeMorgan法则）{Aα}α∈I ))

==

Ac ααAc αα思考题：证明命题2.3的DeMorgan法则 集合列的极限（集2.4.设{Ak}k∈N为单调递增A1⊂A2⊂···⊂Ak⊂···{Ak的极限

limAk 类似，设{Ak}k∈N为单调递减A1A2⊃···⊃Ak⊃···{Ak的极限

∩limAk 2.5.2X“⊂决定的偏序关系，2X“极限实{Aα}α∈I，关supAα

infAα

2.6.{Ak}k∈Nk∈N Bk Ck {Bk}{Ck}limsupAk=limBk=infBk=infsupAk

k∈N k=1∞∪liminfAk=limCk=supBk=supinfAk

k∈N

k=1{Ak}的上限集与下限集2.7.{Ak}k∈NlimsupAk={x:k∈N,存在i⩾k,使得x∈ liminfAk={x:存在k0∈N,使得i⩾k0,x∈ xlimsupk→∞

Ai⇔∀k∈N,x

i⩾kAi⇔∀k∈N,∃ik,x∈Ai得到 2.8fnRR{fnD{x∈R:nfn(x̸→f

En,k={x:n)−f(x)|

1 k,n∈k我们知道x∈Dfn(x)̸→f(x)等价于存在k0x∈ D

∞{x:fi(x)−f(x)|

1k=1 k=1n=1 这个例子中，函数列收敛这一分析性质用集合论的语言表达出中将得到很好地体现。为了今后的进一步应用，读者逐步熟悉这种处理方式可能是必要的。这也是须进一步探讨集合论相关问题的原因之一。nAi={x=(x1,x2,...,xn):xi∈Ai,1⩽i⩽需要，这里我们并没有说明所谓n元组(x1,x2,...,xn)定义的合理性，这一点在后面一并处理集合族的直积时再。XY为非空集合，fX→Yx∈Yf(x)定义2.9.对A⊂X和B⊂Y，定义A在f下的像与B关于f的原像f(A)={y∈Y:y=f(x),x∈ f−1(B)={x∈X:f(x)∈f称作满射f(XY。f称作单射x1x2∈Xx1̸=x2，f(x1)̸=f(x2)。f称作双射（或一一映射）ff为双射，则可定义f的逆映射f−1:Y→X，即y∈Y，f−1(y)=x，其中f(x)=y。fX→Y，g:Y→Zh(x)=gf(x)=g(f(x))x∈fgh:X→Z∏Xα={x:x:I→∪α∈IXα,使得对α∈I,x(α)∈XY的映射的全体可以看成（无穷）∏YX 2.10.A⊂XA上的{χA

1,x∈ x̸∈F(X)XRf,g∈Ff∨g=max{f, f∧g=min{f,F(X)为一（向量）AB⊂χA∪B=χA∨B=χA∨χB χA∩B=χA∧B=χA∧ 2.11.AB称作对等ABfAB为一双上述对等的概念给出了幂集2X上的一个等价关系，即(1)A∼(2ABB∼A；(3A∼B,B∼CA∼C的所谓集合的基数（或者势）的一个等2.12.N∼2N，N∼2N1NN∼NfNNf(i,j)=2i−1(2j− (i,j)∈N×，由算术基本定理（即整数的唯一分解定理）n∈N，n有如下表示，n=2p· p∈N∪{0},q∈2N+f为满射。f(−11)∼Rxf(x)=1− x∈(−1,f2.13.（Cantor-Bernstein）XYYX的真子集对等，则X∼Y。fX→Y，gX→YX=A∪˜, Bf(A)，˜g(˜)，A˜∅，B˜=∅A={E⊂X:E∩g(Y\f(E))=E∈A，E⊂A。由于E∩g(Y\f(E))=E∩g(Y\f(A))=∅(∪E)∩g(Y\fA∩g(Y\f(A))E∈A (E∩g(Y\f(A))=A∈AAA(A)，(˜)， B∩˜=A˜Ag(˜Ag(YBAg(Yf(B∅A˜Xx0X，x0AA0Ax0}˜(˜>A∩g(Y\fx0̸∈A∪˜⇒x0̸∈˜⇒x0̸∈g(Y\f故A0∩g(Y\f(A0))=(A∪{x0})∩g(Y\f=A∩g(Y\f(A0))=即A0∈A，这与A的极大性 fXY，gYXX=A∪˜, B=ff|Ag|B˜{

˜=g(˜).F(x)

f(x), g−1(x),x∈

x∈则F:X→Y为双射，从而X∼Y 2.14.C⊂A⊂BB∼CB∼A证明：B∼Cf:B→C⊂AABB∼A是定理2.13的直接推论 2.15.[−11R(−1,1)⊂[−1,1]⊂例2.12.(3)(−11)∼R，故由定理2.13，[−11]∼R。注意不可能找到A的基数（或势A={12n}，则cardAA的元素个数，即此时cardA=n。ABABABcardA=cardB。若存在f:A→B为单射，即A与B的真子集f(A)对等，则称cardAcardBcardA⩽cardB。因此，Cantor-Bernstein定理事实上是说：若cardA⩽cardBcardB⩽cardAcardA=cardB。A称作有限集n∈N是自然数集N与实数集R。下面我们以这两个集合为基础展开讨论。N的基数·N的基数cardN记作ℵ0N对等的集合称作可数（无穷）集。显然若A为可数集，则cardA=ℵ0。显然，每一可数集A均可以写成如下A={a1,a2...,an,.. ai∈A,i∈AA的可数子集。这表明ℵ0为无穷集中的最小的基数。A{a1a2an为有限集，B{b1b2bn为可数集，定f:N→A∪B，{F(k) 1⩽k⩽ k>

k∈F{An}n∈NAn均可数，A=∪n∈NAn。不失一般性，假设An两两互不相交。设An={an1,an2,...,anm,.. n∈↙↙········↙...··...······....按照箭头所示，An∈NNn2.16.f:Q→Z2cardQcardZ2ℵ0NQℵ0cardNcardQf:R→Rf的每一不连续点x对应一个开区间(f(x−),f(x+))x1x2相应的开区间不相交。2.17.RfE{xRfxf(x事实上，设S={x∈R:f(x+)存在}，n∈N，An={x∈R:δ>0,x′x′′∈(xδxδ时ff(x′′)|∩n⩾1AnfS\An可数。固定n∈N。对x∈S\An，存在δ>0使 f(x)−f(x+)|<2 x∈(x,x+nx′x′′∈(x,xδf(x)f(x′′)|1/n(x,x+δ)⊂也就是说(1)S\An中的每一点x为某Ix=(x,x+δ)的左端点；(2)Ix∩(S\An)=∅；(3)若x1,x2∈S\An，x1̸=x2，则Ix1∩Ix2=∅。因此{Ix:x∈S\An}可数，从而S\An可数。从而E=S\(∩n⩾1An)=∪n⩾1(S\An)可数 思考题：思考题：RfE{x∈Rlimy→xf(y思考题：{rn}n∈N=(a,b)∩C 为在无理数处连续而在有理数处不连续的单调递增函数。而∑思考题：思考题：fR→Rargminf{x∈Rfx处取得（局部）极小值argmaxf{x∈Rfx处取得（局部）极大值f(argminff(argmaxf思考题：思考题：f:R→Rff2.18.f:(a,b)→R E={x:f′(x)f′(x)均存在（±∞

A{xf′(x>f′(x)}，B{xf′(x<f′ a<sx<tx<y−xf(y)−f(x)<

sxy xyy− 即f(y−f(x<rx(y− y̸x,y(sxϕA→Q3，x7→ϕ(xrxsxtx)ϕ为单射。不然，设x1̸=x2∈A，但(rx1,sx1,tx1)=ϕ(x1)=ϕ(x2)=(rx2,sx2,tx2f(x2)−f(x1)<rx1(x2− f(x1)−f(x2)<rx2(x1−ϕ为单射表明，AQ3B从而E成立 2.19.R1上的凸（凹）以凸函数为例，这个结论依据这样的事实：Rn上的凸函数（单边）方向导数存在。事实上，设f:Rn→R为凸函数，即f(λx+(1−λ)y)⩽λf(x)+(1−λ)f x,y∈Rn,λ∈[0,首先我们需要这样的事实：RnLipschitz的q(t)=f(x+ty)−f(x) t>tf的凸性，q(t)tfLipschitzt=0limf(x+ty)−f(x)=lim 存在。故由例2.18n=1时，f注意，当n>1时，这个结论不成立。不过由Rademacher定理，f的局部Lipschitz性保证了f不可微点集为零测集。 思考题：思考题：f:R→R为凸函数，则fLipschitzxRrrx0MMx0f(y)−f(z)|⩽M|y− y,z∈B(x,A为无限集，cardA=α，cardB=ℵ0cardA∪B=α定义f:A∪B→A，ff(x)x=ai∈A1;x=bi∈B;fx∈证明：若A为无限集，取B为其有限子集，则A\B⫋A，且A∼A\B。若A为有限集，则A不与其任一真子集对等。 R1的基数·不可数集2.20.[01]仅考虑(0,1]，则x∈(0,1]均可表示成（二进）级∞x

0 0.1000···0.0111···1一定出现无穷次，则(0,1]与这样的全体二进制小数一一对应。an=0x

2−ni{ni}k1=n1,ki=ni− i=2,3,...{kixA(01]∼A(k1,k1,...,k1,.. (k2,k2,...,k2,.. .(kj,kj,...,kj,.. .(k1+1,k2+1ki+1)i (k1+1,k2+1,...,ki+1,...)=(ki,ki,...,ki,.. 从而ki+1=ki。 这表明A不可数，从而[0,1]亦然 2.21.A∼NN∼{0, cardA=card[0,1]=cardcardR1称作连续统的基数cℵ1=2ℵ0ℵ0<2ℵ0=ℵ1=2.22.ℵ0c2.23.AA2A证明：A∼2Af:A→2AB={x∈A:x̸∈f 2.24.{Ak}cardAk=ccard(∪k∈NAk)=c∪k∈NAk∼[1,∞)∼2.25.{En}cardEn=cE={x=(x1,x2,...,xn,...):xn∈En,n∈∏ n∈NEn)=cEnE中元素可看成无

··

··

··

·· xxk ·· ··xxk 而若视A中元素为数列 (x1,x1,x2,x1,x2,x3 则A∼En。故cardA=c 2.26.C([a,b])[a,b]cardC([a,b])=RN的拓 C([a,bcardC([a,b⩾c。另一方面，ϕ∈C([a,b])，定义f:C([a,b])→2Q×Q，f(ϕ)={(s,t)∈Q×Q:s∈[a,b],t⩽f 事实上若ϕ1̸=ϕ2，但f(ϕ1)=f(ϕ2)，注意到存在x0使得ϕ1(x0)⩽ϕ2(x0)，则存在δ>0使得s∈Iδ=[x0−δ,x0+δ]，ϕ1(s)<ϕ2(s)，这与f(ϕ)=f(ϕ)。从而cardC([a,b])⩽2Q2=c 2.27.EAB，cardEccardAccardBcE=(01×(01)E0={(x0y):0<y<1}x0∈(0,1)。若A⊃E0，则cardA=c，否则x∈(0,B∩{(x,y):0<y<1}̸=则cardB=c 首先cardFc。假设cardFc，F[01]。F中的元可以表示成{ft}，ft(·F(t,·)，t∈[01]g(x)=F(x,x1g∈F，α[01]，使得g(x)=因此F(x,x)+1=F(α,x)，x∈[0,1]。取x=α， RnRn={(x1,...,xn):xi∈R,i=1,...,n}为一n线性空间，其⟨··⟩x=(x1xn)，y=(y1⟨x,y⟩

第二 |x| ⟨xx⟩定义了Rn上的模。d(xy)=|xy|定义了Rn上的|⟨x,y⟩|⩽|x|· x,y∈Rn.E⊂diamE=sup{|x−y|:x,y∈E的直径diamE<∞，E称作有界集δ0，B(x,δ{y:|xy|<δ}x为中心，δ为半径的开球，xδ-邻域（开邻域）。类似，¯(xδ{y|xy|δx为中心，δ为半径的闭球。E⊂Rn称作开集若x∈E存在δ>0，使得B(x,δ)⊂E。开集的(ab)，i1n，∏n(ab⊂Rn称作开矩体ii

i

{xnRn中序列，xRn，limnxnx

|xn−x|=另一种说法：ε>0，存在自然数N使得当n>N时，xn∈B(x,ε)“xn→x”x{xn}为Rn中序列，{xn}称作Cauchy序列或基本列若ε>0，存在N∈Nk,l>N时，|xk−xl|<ε。RnCauchy列一定收敛于某x∈Rn。这个性质称作Rn（赋予Euclid度量）的完备性。σ-代数·BOREL集·BAIRE定 x∈E⊂Rn称作E的极限点若存在xk⊂E，xk互异，xk→x。集合EE的导集E′。注意，按照定义，有限x∈E\E′称作孤立点x∈ ⇔∀δ>0,(B(x,δ)\{x})∩E̸=x∈E\ ⇔∃δ>0,(B(x,δ)\{x})∩E=（Bolzano-Weierstrass定理）RnE必有极限点。事实上这可以利用R1中类似结果得到。 E1E2⊂Rn(E1E2)′E′∪E E1E2⊂E1∪E2E′∪E′⊂(E1∪E2)′。另一x∈(E1∪E2)′E1∪E2{xk}，xk→x，则必有子列{xki}⊂E1E2xki→xx∈E1E2，这表明(E1∪E2)′⊂E′ σ-代数·Borel集·BaireRn第二 第三章LebesgueLebesgue 第三章抽象LEBESGUERnLebesgue证明：x,x′∈RnxQnx′ 或(xQn(xQn为此我们引入等价关系：xQn∼x′QnxQn=x′Qnx−x′∈QnR中每一点属于且仍属于某陪集xQn，由选择公理在{xQn}x∈RnE。Rn中每x+Qn，x∈E，即Rn

(x (无交并 另一方面，记Qn={r1,r2,...}Rn (rk m∗(E)>0m(E)=0，从而m(rkE)=0k∈Nm(Rn)=0，m∗(E)=0。事实上 紧集K⊂E，设D=B(0,1)∩Qn，∪r∈D(r+k)为无交并，D m(K) m(r+K)=m(∪r∈D(r+K))< 综上，0=m∗(E)<m∗(E)表明E非Lebesgue可测。 推论4.2.设A⊂Rn，A可测且m(A)>0，则存在B⊂A，B不可测。证明：设E为定理4.1证明中定义，则有A (rk+E)∩故至少有某(rkEAB=(rkEA，m∗(B)>0。m∗(B)=m∗((rk+E)∩A)⩽m∗(rk+E)=m∗(E)=故B非Lebesgue可测 注4.3.上述不可测集的存在性依赖选择公理。不可测集的存在性与公理集合论有着紧密的联系。1970年，Solovay[5]中证明了以下主要结论：在Zermelo-Fraenkel公理系统（不包含选择公理）R1LebesgueMinkowski∫E⊂Rn，fχE，m(E

fdmΛ(f)fCc(Rn)UrysohnLebesgueKVK⊂E⊂Vg∈χK⩽g⩽χV因此可以利用这样的g=gK,V的积分值Λ(g)近m(E)。类似地办法，我4.4.（Luzin）fRn上的实可测函数，A⊂Rn，m(A∞nf|Ac=0。则ε>0，存在g∈Cc(R)使m({x∈Rn:f(x)̸=g(x)})< 且sup|g(x)|⩽sup|f 证明：首先假设0⩽f<1A

sk

i−1χEk,i{Ek,iskft1s1，tksksk−12

Tk⊂Af(x)

x∈V，AVVKkKkTkVkV m(Vk\Kk)<2−kεUrysohnhk∈

⩽hk⩽χVg(x)

x∈则上述级数一致收敛，从而g连续且Suppg⊂V。x̸∈Vk\ 2−khk(xtk(x)∪∞(VkKk)，g(x)=f(x)m(∪∞ Kk))<ε若f，设Bk={x∈Rn:f(x)|>k}，则∩∞Bk=∅且{Bk}为渐缩集合列。因为m(A)<∞，故m(Bk)→0。从而对充分大的k，除去Bk，(1−χBk)f=f。再利用前面的结论。最后为了证明(4.2)R=sup{|f(x):x∈Rn|}<∞{φ(z) |z|⩽Rz |z|>则φ连续，g1=φ◦g满足(4.2)。若R=∞，(4.2)平凡 4.5.Luzinm(A)<g∈C(Rn)。Luzin定理还蕴含了这样的事实：f(x)|⩽1gk∈Cc(Rn)，|gk|⩽1使f(x)=lim 定理4.6.（Vitali-Carathéodory）设f为Rn上的实可积函数。则ε>0，存在Rn上的上半连续函数u和下半连续函数v，u⩽f⩽v，使得∫(v−u)dm< 证明：f⩾0f̸≡0Luzinf(x)

αiχEi x∈f∈L1(Rn)m(Ei)<∞。由Lebesgue测度的构造，存在开集Vi及紧集Ki，使得Ki⊂Ei⊂ 且αim(Vi\Ki)< i∈ ∑v∞

αiχVi u∫

αiχKi f

αim(Ei)

Rnfdm∞Nαim(Ei)<(4.4uNv下半连续，u上半连续，u⩽f⩽vv−u⩽故

αi(χVi−χKi)αi(χVi−χKi)

αiχEi.∫(v−u)dm

∞

αim(Vi\Ki)

∞

αim(Ei)<ε/2+ε/2=f=f+f−f+f−u±v±，u±上半连续，v下半连u=uv−和v=vu−，u上半连续， v下半连续，u⩽f⩽v且Rn(u−v)dµ<ε/2。得证 思考题：思考题：v是下半连续的，vχK，K[01]中的正测Cantor集，证v0χKVitali-Carathéodory连续函数从下面近。4.7.fRn→[−∞+∞]f(x)=liminff(y)=supinf{f(y):y∈B(x, f(x)=limsupf(y)=limsup{f(y):y∈ f⩽f⩽4.8.fRn[−∞+∞]f下半连续，fff证明：(1)若f在x处下半连续，t<f(x)，则存在δ>0使得y∈B(x,δ)，tf(y)tinf{f(xyB(xδ)}tf(x)t的任意性，f(x)⩽f(x)，故f(x)=f(x)。f(xf(x)tf(x)，tf(x)δ0使得t<inf{f(y):y∈B(x,δ)}。故y∈B(x,δ)，t<f(y)，即f在x处下tf(x)δ00tinf{f(yyB(x,δ0)}。任y0B(x,δ0)δδ0d(y0x)δ0B(y0δ⊂B(x,δ0)，故 tinf{f(yy∈B(y0δ)}tf(y0)tf(x)，则对y∈B(xδ0)，t<f(y)，从而fx处下半连续。f设g下半连续且g⩽f。由(1)，g=g⩽f 我们接下来考虑某固定特殊矩体IRiemann积分。I的一个分划I1I2INI。注意这里的两两不交是指其内部不交。函数σ:I→R称作阶梯函数I的一个分划{Ij}jNσ|◦为常数。注意

I 定义4.9.f:I→R为一有界函数，f称作Riemann可积若ε>0，στIσf fRiemann

∫(τ−σ)dm<I∫I

fdm=

σdm:σ⩽f∫=I

τdm:τ⩾ffDarboux

fdm=

σdm:σ⩽f

fdm=

∫τdm:τ⩾f 4.11.fIfRiemannf等 fdm f 证明：fRiemannσkτk∫σ⩽f⩽τ

(τ—σ)dm<1k kσk⩽f⩽f⩽ g=supkσk，h=infkτkghg⩽f⩽f⩽ k，hg⩽τkσk (h−g)dm

∫k的任意性，I(h−g)dm=0h=g，a.e.g=f=f= f

fdm τkdm σkdmk k fdm+1 k的任意性，(R)Ifdm⩽Ifdmf几乎处处连续。fα⩽f⩽β。对特殊矩体Ik2nk个小（相似）矩体，在每一这样的小特殊矩体J上，定义k=nf，k=pJf，则除去边界（零测集）σk⩽σk+1，τk⩾τk+1。σkσ1σ2σ3···，a.e.Iσk⩽f。我limσk⩾ 事实上，x不属于任一步的边界。假设f(x)>t，则对x的某邻域中的任意点，f>tk，σkx的小特殊矩体含于该邻域，故对该k，σk(x)⩾t。因此limk→∞σk(x)⩾t。由t的任意性，limk→∞σk(x)⩾f(x)。τkτ1τ2τ3⩾···，a.e.Iτk⩾f，且我limτk⩽ ff=f=f，a.e.limσk=limτk= f

σkdm=

τkdm

f∫故limk→∞I(τk−σk)dm=0。故f为Riemann可积 注4.12.需要特别注意“f几乎处处连续”与“f几乎处处等于连续函数g”完全不是一回事。另外，一个有趣的问题是比较这里的讨论与Vitali-Carathéodory定理. f[01→RRiemannfA⊂[01为正测Cantor集，证明不存在Riemannf[01]因为历史的原因，我们顺便提一下所谓Jordan容量的概念。由前面的讨论容易知道：A⊂Rn为有界集，χARiemann∂A为χA几乎处处连续。若χA(x)=1x∈AχA在xχAx1xA的内点。类似若χA(x)=0，χAxxAcχAx处连续当且仅当x̸∈A◦∪(Ac)◦，即当且仅当x∈∂A。A⊂RnJordan可测χA为Riemannm(AAJordan容量RnFubininN，nlm，lmN，RnRn=Rl×也就是说z∈Rn，存在x∈Rl，y∈Rm，z=(x,y)FUBINIfRn→R，yRmfy(x)=f(x,y), x∈Rl.fy(·f的y-截口ARn，fχA，则{fy(x)

1,(x,y)∈0,(x,y)∈fyRlAy={x∈Rl:(x,y)∈(χA)y=χAyfRn上的实函数，yRmfyRlR∫F(y) fy(x)fyLebesguefy0，F(y存在，0F(y fyL(R)F(y∞ F(y)dy f(z) 即重积分等于累次积分。须验证F对几乎所有的y∈Rm存在下面的例子表明，不能指望fyy∈RmLebesgueE⊂Rly0∈RmA=E×{y0}ALebesguem(A0Ay0Rl(χA)y04.13.（Tonelli）fRn→[0∞Lebesgue可测，则对几乎所有y∈Rm，fy:Rl→[0,∞]Lebesgue可测，且F(y)存在，∫F(y) fy(x)FRm→[0∞Lebesgue F(y)dy

f(z)证明：证明很长，我们先考虑可测特征函数χA。此时我们需要证明：若A⊂Rn为可测集 m(Ay)dy=J⊂Rn为特殊矩体（其边平行于坐标轴）J=J′×J′′J′⊂J′′⊂Rm分别为特殊矩体。y∈{Jy m(Jy)

y∈ y̸∈ y∈ y̸∈m(Jy)=m(J′)χJ′′(y)∫m(Jy)dy=m(J′)m(J′′)=G {Jk}两两（内部）不交。故y∈Gy m(G∑∞m((J k m(Gy)dy

m((Jk)y) m(Jk)=K⊂RnG⊃KG\K2)∫m(Gy\Ky)dy=m(G\ 也就是Rmm(Gydy−Rmm(Kydym(Gm(K)2)∫m(Ky)dy=K1K2···为RnB∪∞Kj实上，y∈By 故By可测且m(By)=limj→∞m((Kj)y) m(By)dy= j→∞

m((Kj)y)=lim =G1G2⊃···Rn中的有界开集列，则对C∩∞GjK⊃G14)K\C (K\ m(Ky\Cy)=m(K\ 又Rmm(Kydy=m(K)，故Rmm(Cydy=m(C)（关键一步）A⊂Rn为任意有界可测集，存在紧集列{Kj}K1⊂K2⊂···⊂A⊂···⊂G2⊂且limm(Kj)=m(A)=lim B∪j∞Kj，C∩∞GjB⊂A⊂Cm(Bm m(C)4) m(By)dy= m(Cy)dy= (m(Cy)−m(By))dy=m(Cym(Cy0y∈Rmy∈Rm，Cy\ByRly，By⊂Ay⊂Cy表明，Ay可测且m(Ay)=m(By)=m(Cy)。故m(Ay)为关于y的可测函数，且∫m(Ay)dy

m(By)dy=m(B)=0⩽f1⩽f2⩽···flimjfj(fj)y→fy(fj)yyfy可测，a.e.yRmyRm，由单F(y)

fy(x)dx=

(fj)y(x)=limFj↗F，FjF∫F(y)dy=

Fj(y)dy= j→∞

fj(z) f(z)前面考虑的特征函数χA，A可以。事实上考虑A∩B(0,j)即可AA=

(AB(0j))，χA∩B(0,j)↗χA7)若f为非负可测函数，存在简单可测函数0⩽sj↗f，再由7) 4.14.（Fubini）f∈L1(Rn)，则对几乎所有的y∈Rm，fy∈ F(y)

fy(x)F∈L1(Rm)∫F(y)dy

f(z)证明：我们有f=f+−f−，分别对f±运用Tonelli定理 4.15.Fubini定理的一个有用的形式是：fRn

|f(x,y)|dx<Tonelli定理，f∈L1(Rn)Fubini f(x,y)dx

f(z)4.16.∞sinx1−e−xe−xdxlog2/2∫ ∫设G(xsinx1−e−e−x)，f(xyye−xysinx，则G(x

f(xydyx E0∞(0 f(x,y)|dxdy

ye−xydxdy

∫ ∫ ye−xy =1<0Tonelli-FubiniF(y)=∫∞ye−xysinx0∫∞G(x)dx=∫1F(y)dy=∫1 dy=log2/2. 0y2+ 思考题：f(x,y)=e−xysinx(0,a)×(0,∞)Lebesgue思考题：思考题：f(x,y Lebesguem(X×Y)=m(X)m(Y 证明：X×Y⊂RnLebesgue可测集，则(4.5)Fubini定理 m(X)m(Y<∞（X=∪∞Xk，Y=∪∞Yk考虑）由Lebesgue可测集的近性质，ε>0，存在闭集F1,F2及开集G1,G F1⊂X⊂ F2⊂Y⊂m(G1\F2)<ε，m(G2\F2)<εF1×F2为闭集，G1×G2F1×F2⊂X×Y⊂G1×(G1×G2)\(F1×F2)⊂((G1\F1)×G2)∪(G1×(G2\而m((G1×G2)\(F1×F2))⩽(((G1\F1)×G2)∪(G1×(G2\=m(G1\F1)m(G2)+m(G1)m(G2\⩽ε(m(G2)+m(G1))⩽ε(m(Y)+m(X)+故m((G1×G2)\(F1×F2))充分小，故X×Y可测 4.18.E⊂Rn可测，fE上的实可测函数，GraphE(f)={(x,yyf(x)xE}GraphE(fERm(GraphE(f0证明：不妨设m(E)<∞，δ>0，定Ek={x:kδ⩽f(x)<(k+ k=0,1,...则GraphE(f) GraphEk(fkm∗(GraphE(f)) k=δ·

) 由δ的任意性，m∗(GraphE(f))=0 4.19.fE上的非负可测函数，EA(f)={(x,y)∈Rn+1:x∈E,0⩽y⩽f则fA(f)∫fm(A(f))=Efd̉证明：(1)ffχBBA(χB)=B×[0,可测，结论成立。再考虑f为非负简单函 α ，可假设{B}两

i ∑ αiχBi)

(Bi×[0, 0⩽sk↗fA(f)

lim

∪GraphE(f)=A(f(A(f))y={x:0⩽y⩽fRy，(A(f))yy<0，{xf(x)>y}=E。综上，f可测。(2)f0⩽sk↗f fdm=

skdm=limm(A(sk))=m(A(f

4.20.fRnϕ:[0∞]→[0∞]C1ϕ(00t→∞，ϕ(t→ϕ(∞)∫(ϕ◦f)dm

∫m({x:f(x)>t})ϕ′(t) 0证明：设E={(x,t)∈Rn×[0,∞]:f(x)>t}，则E可测。t∈(0,∫m({x:f(x)>t})=m(Et)

χE(x,t)∫m(Et)ϕ′(t)dt0

∫0

{Eχ(x,t) 1,f(x)>E0,f(x)⩽ ∫0

χE(x,t)ϕ′(t)dt

∫f(x)

ϕ′(t)dt=ϕ(f 04.21.g⩾0R1上的可积函数，ϕ(t)=∫tg(s)ds。后面将证0ϕ(t)=tp，t>0，p>1∫ fp(x)dm(x)=0

m({x:f(x)>t})tp4.22.（Marcinkiewicz）F⊂(a,b⊂R为闭集，δ(ydF(y的距离函数。λ>0，则积Mλ(x)=Mλ(x,F)F上几乎处处有限，Mλ∈L1(F)∫

∫ a|x−

λM(x)dm(x)⩽2m(G)λ Ga,bF证明：δ|F0，所以(4.7)GFubini定 ∫

Mλ(x)dm(x)

|x−y|1+λ ∫ δλ(y)G

(∫ F|x−∫ ⩽F|x−

|x−y|⩾δ(y)|x−∫∞dt 2 =

t1+λ=λδλ(y) Mλ(x)dx

λδλ(y)dy

< 故Mλ在F上几乎处处有限且Mλ∈L1(F) Lp0<p<∞，f(X,Mµ)上的实可测函数。（一般情况定

∥f∥p f X我们主要感的是以下两类Lp-空间：X=Rn，µ=m为Rn上的Lebesgue测度，此时记Lp(Rn,m)= µXL(X,µ)=ℓ(X)XX=NZℓp“凸不等式C⊂Rn为一凸集。f:C→R称作凸函数若x,y∈C，f(λx+(1−λ)y)⩽λf(x)+(1−λ)f λ∈[0,上面的不等死可以推广成以下形式 λ1,...,λk⩾x1,...,xk∈

λ=i∑f λixi)

λif 5.1CRn为开凸集，fCRf5.2.（Jensen不等式）µ为集合Xσ-M上的测度，µ(X)=1。若f∈L1(X,µ)，且对x∈X，a<f(x)<b。假设φ为(a,b)上的凸函数，则 fdµ)

φ◦f 5.3.a−∞bφfL1(µ内，但此时φ◦f的积分为+∞。∫证明：t=Xfdµa<t<bφ的凸性，我们知道对a<s<t<u<φ(t)−φ(s)⩽φ(u)−φ(t)t−βs

u−φ(s)⩾φ(t)+β(s− a<s<故φ(f(x))−φ(t)−β(f(x)−t)⩾ ∀x∈φφf上式两边对µ积分，并注意µ(X)=1，得证 5.4.fRnf∗f∗(y)=sup{⟨y,x⟩−f y∈f∗f的Legendre-Fenchel 凸不等 为保证f∗处处有定义，我们进一步假设ff∗定义于整个RnLegendre-Fenchel变换的一个基本的性质是f∗∗=fLegendre-FenchelfRn上超线性增长的凸函数，则有下面的Young不等式f(x)+f∗(y)⩾⟨x, 5.5.R0,∞)，fR上，f(xxp/p，p1f∗。容易f∗(y)= y∈q1p−1q−1=1Youngxp+yq

1+1= x,y> 5.6.（Hölder不等式）p.q>1，p−1+q−1=1，f,g(X,M,µ) fgdµ ∫

)1∫p∫fp X∫

)qgq

证明：A

Xf ，B g A=0或∞，(5.3) 0A,B<∞∫Ff/A，Gg/B，显然

Fpdµ Gqdµ=1X0<F(x)G(x)<∞Young不等式F(x)G(x)⩽F(x)p/p+ FGdµ⩽1+1= 即Xfgdµ⩽AB。得证 5.7.（Minkowski不等式）f,g如定理5.6中，p>1 )

)(f+ X

fX

X证明：(fg)pf(fg)p−1g(fg)p−1Hölder

)1/p

(f+g)pdµX

f X

(f+Xq(p−1)=p

++X

)1/p·X

(f+

.∫(f+g)pdµX

(f+ X

X

) f X

) 不失一般性，设0

X(fg)dµ∞（t，t(0⩽ (f+ X

) f X

X由于1/p=1−1/q，得证 建立下面的积分形式的Minkowski不等式：

⩽

f(x,

5.9.Young不等式(5.2)f∈Lp，g∈LqHölder类似，Minkowski不等式等号成立的条件是：0α,β，使得αf=βg，a.e.。LpLp由Minkowski不等式，对p⩾1，f,g∈Lp，∥f+g∥p⩽∥f∥p+∥g∥p，因此不难证明(Lp∥·∥p)构成一赋范线性空间。若定义∫⟨f,g⟩

X则⟨··⟩L2上的一内积，(L2⟨··⟩)∥f∥2=

⟨f,fpq2时，HölderSchwartz|⟨f,g⟩|⩽∥ff(XMµ)

S={a∈R:µ(f−1((a,∞])={

S=β 11–f1((β,∞]) f−1((β ,nfX∥f为f|µ的本性上确界。所有满足∥f∥∞<∞fL∞(X,µ)。容易验证(X,∥·)为一赋范线性空间。可以看出，∥f∥∞<M当且仅当f(x)|⩽M，a.e.。µA1⩽p⩽∞Lp空ℓp(A)A为可数集时，ℓp(A)ℓp(A)等同于ℓp(N)

ℓp(N)={x=(x1,x2,...,)∈RN

|xi|p<ℓ∞(N)={x=(x1,x2,...,)∈RN:sup|xi|<i5.10.1⩽pXµ，Lp(X,µ为一完备的度量 证明：先考虑1⩽p<∞的情形。设{fn}Lp(µ)Cauchy序列，则存在子列{fn kN，设

−fn∥p⩽ gk

fn+1−fni g

fn+1−fni fn1(x) (fni+1(x)−fni绝对收敛，a.e.f为其极限函数，f=limi→∞fni，a.e.下面证明f即为{fni}的Lp-极限。ε>0，存在N∈N，m,n>N时，∥fm−fn∥<ε。由Fatou引理，m∈ f−fm|pdµ⩽lim

fn−mpdµ<iffmLp(µ)fLp(µ)m时，∥ffm∥p0。Ak={x∈X:k)⩾Bm,n={x∈X:n)−m|⩾∥fn−E∪k,m,n∈N(AkBm,n)，µ(E0Ec上，{fn一致收敛于有fEf0fL∞(µ且

∥fn−f∥∞=□5.11.1⩽p⩽∞，序列{fn}Lp(µ)f，则存在子列几乎处处收敛于f。Lp(µ中的稠密性。首先考虑简单函数。对1⩽p<∞，设S{ss为简单可测函数µ({xXs(x̸0}则SLp(µ中稠密。事实上，若f⩾0f∈Lp(µ)，则存在简单函数0snf，snfsnS。由于|fsn|p|f|p，Lebesgue控制收敛limnfsn∥p=0。µHausdorff空间XRadonX=RnLebesgueµ=m，我们仅就这种情形讨论。我们有：若1⩽p<∞，Cc(X)在Lp(µ)中稠密。我们只需说明Cc(X)中元可在Lp(µ)中近S中元。事实上，设s∈|g|⩽∥s∥∞E={x:g(x)̸=s(x)}，则p

=|g−s|pdµ=

|g− ELp(Rn空间，1p本节中特别关注X=Rn及µ=m的情形。在Rn中，我们可f,g∈L1(Rn)，p⩾1∫h(x)

f(x−那么对x∈Rn，h(x)是否几乎处处有定义5.12.fgL1(|Rn)x∫|f(x−y)g(y)|dy<xh(x)h=f∗gf∗g∈L1(Rn)∥f∗g∥1⩽∥f证明：fgBorelF(x,y)=f(x−FRnBorelLebesgue积分（Lebesgue测度）的平 |F(x,y)|

|f(x− =∥fF∈LRn×RnFubini定理，hxhL1(Rn)∥h∥1

|h(x)|dx

|F(x,

|F(x,y)|dx=∥f□实函数f，设(τaf)(x)=f(x− ∀x∈其中a∈Rn。a,b∈Rn，明显地τa(τbf)= τaf˘=(τ−af)˘,τ0f=由于Rn上的Lebesgue测度在正交变换及平移下的不变性，f˘τaf均给出了Lp(Rn)到自身的等距同构。f,gRnf∗g∫f∗g(x) 5.13.（积分的平均连续性）1⩽p<∞，f∈Lp(Rn)，则映射a7→τaf作为RnLp(Rn)的映射一致连续。∥τaf−τbf∥p=∥τa−bf a,b∈a7→τafa=0先假设f∈Cc(Rn)，f一致连续。故ε>0，存在δ>0使得 |yy|δf(yf(y)|ε|a|∫p∥τaf−f∥pp

f(x−a)−f⩽εp·2m(Supp(fa7→τaf0一般地，f∈Lp(Rn)，存在Cc(Rn)中的序列{fn}在Lp(Rn)中δ>0|a|<δ∥τafn0−fn0∥p<ε/3∥τaf−f∥p⩽∥τaf−τafn0∥p+∥τafn0−fn0∥p+∥fn0−f⩽ε/3+ε/3+ε/3=从而得证 注 fL1(Rn)，a∫

f(x+a)−f(x)|dm(x)=∫ϕCc(Rnϕ0k∈N，

ϕdm=1Cc(Rn)中的序列ϕk(x)= x∈∫

fϕkdm

fdµ0=f ∀f∈µ00∈RnDirack→∞，Suppϕk{0}。5.15.1⩽p∞，f∈Cc(Rn)，g∈L∞(Rn)Suppg为紧集，则Suppf∗g⊂Suppf+Suppg.证明：x̸∈Suppf+SuppgSupp(τaf˘)∩Suppg=(x−Suppf)∩Suppg=(fg)(x0由于Suppf+Suppg为紧集，这表明x̸∈Suppf∗g 5.16.f,gRnf∗gSuppf∗g⊂Suppf+SuppfgSuppf∗g⊂Suppf+Supp定理5.17.设1⩽p<∞，f∈Lp(Rn)，{ϕk}为Dirac测度的近序列，fϕkCc(RnLp(Rn)，kNlim∥f∗ϕk−f∥p=证明：p⩾1，ϕk∈Cc(Rn)⊂Lr(Rn)，∀r∈[1∞]Hölder(f∗ϕk)(x)−(f∗ϕk)(x′)|⩽∥τxf˘−τx′qp的共轭指数。引理5.13f∗ϕkϕk 紧支集，{sm}⊂S1(R)，sm−→f，这S1(Rn{Rn中具有紧支集的简单可测函数S1(Rn)⊂Lp(Rn)稠密。由引理5.16，{ϕk∗sm}⊂Cc(Rn)，且当m→∞时，ϕ

Lp

∗f

m−→ p∥ϕk∗sm−ϕk∗f∥pp

|τx˘kRn⩽

|smf|pdm(x (m∫由于Rnϕkdm(x1Minkowski∥f∗ϕk−f∥p

|τx˘

|τx˘−f(x)|pϕp =

|τx˘−f(x)|p

ϕk ∥τyf−f∥pϕk设Br=B¯(0,r)，Ar=Rn\Br。ε>0，由引理5.13，对充分小的r>y∥τyf−f∥p<由三角不等式，∥τyff∥p2∥f∥p ∥f∗ϕk−f∥p

∥τyf−f∥pϕkdm

∥τyf−f∥pϕk⩽ε+2∥f

ϕk我们知道，当k充分大时，Suppϕk⊂Br，从而∫Arϕkdm=0。这就证明了当k→∞时，∥f∗ϕk−f∥p→0 思考题：思考题：f∈L∞(Rn)xE⊂Rn，{B(x,rx)}x∈EEVitaili覆盖定理是为了解决下面看似的因素：在{B(x,rx)}x∈E显然这两者是不可能同时满足的。但我们可以放宽一些要求：Vitali覆盖定理牺牲了(2)，而Besicovitch覆盖定理牺牲了(1)。为方便起见，对Rn中开（闭BBr(B)。对0<a<∞，aBB的同心球且r(aB)=ar(B)。{Bα}∞α=1⊂F（可能有限个，使得{Bα}E⊂∪α⩾13Bα证明：不妨设supB∈Fr(B)<∞第六 ⩾dαsup{r(BB∈FBβ<αBβB∈FB∩∪β<αBβ=∅Bα−1BαF1r(Bα)>2 且Bβ<αBβB10<dα<∞，故此过程由选取过程，(1)xEBFxρr(B)B必与所选的球列{Bα}中的某球相交。否则α，B∩Bα=∅。这表明前面的选∪α⩾1Bα有界，从而其测度有限。但{Bα}两两互不相交表明 Bα) m(Bα)= 。BBαα⩾1BBα̸∅。∪B Bβ=这表明ρ⩽dα<2r(Bα)。y∈B∩Bα，若设z为Bα的中|x−z|⩽|x−y|+|y−z|<ρ+r(Bα)<故x∈Bα。这就证明了(2) 定义6.2.Rn上的可测函数f∈L1(Rn)，称作局部可积，若x∈存在r>0使

f|dm<6.3.f∈L1(Rn)fHardy-Littlewood极大函数Mf定义在Mf(x) 0<r<∞m(B(x,

f(y)|MfMfMf(xt0r ∫tm(B(x,

f(y)|r′r

∫tm(B(x,

f(y)|若|xx′|rr，则B(x,rB(x′r′)（|yx|r，|yx′| |yx||xx|r） ∫tm(B(x,

f(y)|= m(B(x′,⩽Mf

f(y)|MfMfMfL1(Rn)f0，a.e.a0，|x|>a，有 ∫Mf(x)m(B(x,2|x|))

f(y)|⩾ m(B(0,2|x|))∫

f(y)|=|x|n

f(y)|∫f=0，a.e.

f(y)|dy=f∈L1(Rn)Mf∈L1(Rn)n=1 xlog2x 0<x<1f(x)

否则0x1/2 1∫ 1Mf(x) f(y)dy f(y)2x 2x ===2x1

ylog2 log =−2xlog−1/(2xlogx)0Mf̸∈L1(Rn)f∈L1(Rn)MfL1Chebyshevg∈L1(Rn)m({x∈Rn:|g(x)|⩾t})⩽1∥g∥ 0<t< C>0t·m({x∈Rn:|g(x)|⩾t})⩽ 0<t<g为L1Hardy-LittlewoodMfL1.m({x∈Rn:M(x)|⩾t})

0<t< 证明：设E={x∈Rn:M(x)|⩾t}，x∈E，由定义，存0rx∞

1m(B(x,

|f(y)|dy> k∈NF={B(x,rx)}x∈E为(6.2)E∩B(0,的开覆盖，则由定理6.1，存在满足Vitali覆盖定理的开球列{Bα}∞m(E∩B(0,k))

m(3Bα)=

∑∑<t

|f(y)|⩽3nt−1∥f令k→∞，则m(E)⩽3nt−1∥f∥1 注6.5.为了证明Hardy-Littlewood极大定理，我们实际上只需要一个弱形式的覆盖定理，即只需要假设定理6.1中的开球族F为一有限集。这是因为定理6.4E∩B(0k)相对紧，因此有限个开球覆盖即可覆盖。我们完全可以按照这个思路来证明定理6.4，可参考[4,第七章]。6.6.（Lebesgue微分定理）f∈L1(Rn)x∈lim r→0m(B(x,x∈

|f(y)−f(x)|dy=

∫

f(y)dy=f r→0m(B(x,r))∫f⋆=limsup

|f(y)−f(x)| m(B(x,

⋆1)f⋆⩾∫2)(fg)fg⋆∫B(x,r)|f(y)+g(y)−f(x)−g(y)|∫⩽

|f(y)−f(x)|dy

∫

|g(y)−g(x)|gxg⋆(x)= 第六 这实质上是微积分基本定理：ε>0，存在δ>0使得若yB(x,δ)|g(yg(x)|ε0r ∫m(B(x,

|g(y)−g(x)|dy⩽εgRn(fg)f⋆(f−g)⋆⩽f⋆+(−g)⋆=f⋆,f⋆⩽(f−g)⋆+g⋆=(f−f⋆⩽Mf+|f|； ∫m(B(x,r))⩽ m(B(x,r))=

f(y)−f(x)|f(y)|+f(x)|f(y)|dy+fm(B(x,

⩽Mf(x)+fm∗({x:f⋆(x)>t})⩽2(3n1)∥f∥1/t，0<t<∞m∗({x:f⋆(x)>t})⩽m∗({x:Mf(x)>t/2})+m∗({x:f(x)|>⩽3n∥f∥1/(t/2)+∥f∥1/(t/2)=2(3n+1)∥f现在开始证明定理。ε>0，固定r0>0，存在g∈Cc(Rn)使∥fg∥L1(B(x,r0))ε4m∗({x:f⋆(x)>t})=m∗({x:(f−g)⋆(x)>n⩽2(3+1)∥f−g∥L1(B(x,r0⩽2(3n+εm∗({x:f⋆(x)>t})=故k∈N，{x:f⋆(x)>1/k}为零测集。因∪{x:f⋆(x)>0} {x:f⋆(x)>x∈Rn，f⋆⩽01)，f⋆=0，a.e. 6.7.fL1(Rn)，xRnfLebesgue点AR得

∫

f(y)−A|dy=r→0m(B(x, xfLebesgueA ∫A=r→0m(B(x,r))

f(y)由此可以看出，xLebesguefxf(x)无关。f=g，a.e.fgLebesgueLebesgueL1(Rn)的等价类决定。由Lebesgue微分定理，f的Lebesgue点的集合，称作Lebesgue集，为RnfL1(Rn)Lebesguef(x)=Af的所谓精确表示{

m(B(x,r))limr→0 m(B(x,r))

f(ydy,xLebesgue点 否则6.1Heaviside

{H(x) 1,x⩾0,x<的精确表示。0HLebesgueLebesgue微分定理中，(6.3)中的均值是在球列上取得的。而这一点并6.8{Ek}k∈NRn称作良好收缩xC及正数序列{rk}，limkrk=0，使得Ek⊂B(x, 且m(B(x,rk))⩽6.9.fL1(Rn)，xRnfLebesgue{Ek}k∈N

f(x)=lim k→∞

f(y)证明：xfLebesgue∫ f(y)dy−f(x)m

f(y)−f(x)|m(Ek)

(Ek) f(y)⩽m(B(x,rk))→ (k→□fL1(R)，a∈Rf∫F(x) f(y)a∫xaF(x−[x,a]f(ydy证明：xf的LebesgueEk=(x,xrk)，rk↘0运用F(x+F(x+rk)−F = f(y) k→∞rkx=lim

}

k→∞m(Ek)limF(x+h)−F(x)=f 类似考虑Ek=(x−rk,x)，rk↗0 设设E⊂RnLebesguef=χEx∈limm(E∩B(x,r))=χ m(B(x, 特别我们有：x∈limm(E∩B(x,r))= m(B(x,6.11.ERnx∈E满足(6.5)xE的（度(6.5)表明E中几乎所有的点均为密度点。类似，x∈limm(E∩B(x,r))= m(B(x,E⊂Rnm∗(E∩B(x,DE(x)=

=m(B(x,6.12.（可测包）ERnARn为可测集，EA，且m∗(A\E)=0。证明：先考虑m∗(E)<∞的情形。k∈N，存在开集Gk⊃E，使得m(Gk)<m∗(E)+1/k.A=∩k⩾1Gk，AGδm(A)⩽m(Gk)⩽m∗(E1/k，则m(A)=m∗(E)。由第四章Lebesgue测度的性质M11)，E⊂ 且m∗(E)+m∗(A\E)= m∗(AEEk=B(0,k)\B(0,k−1)，k∈NE∩Ek，由前面的讨论，存在Ak可测，E∩Ek⊂Ak⊂Ekm∗(Ak\(E∩Ek))=0。令A=∪k⩾1Ak。K⊂A\E=∪k⩾1(Ak\E){Ek}两两相互不交，则KEk⊂Ak\E⊂Ak\(EEk)，故m(KEk)=m∗(KEk)⩽0。因此m(K∩Ek)=0，从而m(K)=0。由内测度的定义，m∗(A\E)=0。□6.13.E⊂RnDE(x)= x∈DE(x)= x∈证明：由引理6.12，存在可测集A⊂Rn，E⊂A，且m∗(A\E)=0。可B，由66)A∩B⊃A∩B∩E(A∩B)\(A∩B∩E)=(A\E)∩B），m(A∩B)=m∗(E∩B)+m∗((A\E)∩m(A∩B)=m∗(E∩m(A∩B(x,r))m(B(x,

m∗(E∩B(x,m(B(x,若E可测，显然对几乎所有x∈Ec，DE(x)=0。反之，若对几乎所有x∈Ec，DE(x)=0，因为对几乎所有x∈A，DE(x)=1，故A∩Ec为零测集。故E=A\(A∩Ec)可测 URnε0Uε={x∈U:d∂U(x)>Uε⊂Uη∈c∞(Rn)Ce|x|2−1,|x|<η(x) |x|⩾其中常数C的选取使得 η(x)dx=1。注意suppη=B¯(0,1)。定ηε(x)= ε>0,x∈{ηε}ε>0称作标准磨光子，suppηε=B¯0,ε)f即

∫fε(x)U

fε=ηε∗ηε(x−y)f(y) x∈前面我们已经知道，fε是近局部可积函数f的重要方法。下面我们借助Lebesgue微分定理，研究这种近的点态性质。为了方便，在下面6.14.（磨光子ε(1)ε>0，fε∈C∞(Uε若f∈C(U)，则紧集K⊂U，这当ε→0时，fε在K上一致收敛于f； 1p∞，fLpfεLpf 证明：(1)x∈Uε{ei}ni=1为Rn|h|充分小，xhei∈fε(x+hei)−f 1 =

1((x+hei−

(x−y —

f(y)=

1 (x+hei−yη

(x−y–

f(y)εnK 1

(x−y

=εn∂ηε(x− y∈ε Dη∞|∈Lε∂fε(x)=limfε(x+hei)−f

∂ηε(x—y)f(y)U=f∗∂ηε εf∈C1(U)∂fε= ε类似，fε的各阶偏导数均存在且连续，fε∈C∞(U)fε(x)故

1εn

x−ηε∫

f(y)dy

η(z)f(x−εz)fε(x)−f(x)|

η(z)|f(x−εz)−f(x)|xfLebesguefε(x)−f(x)|⩽

(x−ηε

f(y)−f(x)|∫⩽ωn

f(y)−f(x)|dy→这里ωn为Rn中单位球的体积 定理6.15.（Vitali覆盖定理II）设F为Rn中的（ supB∈Fr(B)<∞FG∪

B

证明：dsupB∈Fr(B) Fj={B∈F:2j<r(B)⩽2j−1 j∈类似定理6.1的思路，定义j⊂FjG1F1中任一（集合论意义下）G1G2Gk−1jGk={B∈Fk:B∩B′=∅ B′∈∪k−1Gj

G=j1jG为两两互不相交的闭球族，G⊂FjGB∈FjB∈FjjB′∈∪∪

GkB∩B′̸=∅r(B′)⩾d 且r(B) d 故r(B)⩽2r(B′)，故B⊂5B′。这就证明了定理 6.16.ERnFE的细覆盖FEinf{r(B):x∈B,B∈F}= ∀x∈ 推论6.17.设F为E⊂Rn的由闭球族构成的细覆盖，且supB∈Fr(B)<∞。则存在F的两两互不相交的闭球族组成的可数子族G，使得对{B1B2BmFE\(∪mBk)

B∈G

证明：设G为定理6.15决定的F的可数子球族。{B1,B2,...,Bm} F，若E⊂∪mBk，已证。否则x∈E\(∪mBk)，由于F

BkB∈F，x∈BBBk∅，k∈N由覆盖定理6.15BG，BB∅，B5B′∪E\(∪mBk) B∈G□6.18.FE⊂RnG⊂F，Gm∗(E\∪B∈GB)=E⊂RnFEsupB∈Fr(B)<∞。设G为引理6.17确定的F的可数子球族，G{B1,B2...}，则j∈E\

Bk)

m∗(E\故

Bk))

5nm(Bk)=

m(Bk)<limm∗(E\ Bk))=

第六 m∗(E(∪jBk))=0若E。将上面的讨论运用于E∩(B(0,k)\B(0,k−1))，再利m∗的次可加性即可 RadonBesicovtch覆盖定理。它的证明很长，其中需要精细的组合估计，就是说需要根据球的1,章。定理6.19.（Besicovitch覆盖定理）设F为Rn中任意非的闭球族，sup{r(B):B∈F}<∞。E被F所覆盖，且x∈E，存在B∈F以x为中心。则存在N=N(n)及有限球族G1,G2GN⊂FGi均为F中两两互不相交的可数子族且E⊂∪∪i=1B思考题：思考题：G⊂Rn为开集，证明存在两两互不相交的可数闭球族 E⊂R2，证明m(∂E)=0EE⊂R21E可6.20.（Lebesgue微分定理，Lp情形）f∈Lp(Rn)的x∈

|f(y)−f(x)|pdy=r→0m(B(x,r))证明：这个证明与p=1时的定理6.6的证明类似。f∈Lp(Rn)，定p( ∫ )pf =lim

m(B(x,

|f(y)−f(x)|(fg)⋆⩽f⋆g；（Minkowski不等式gRn(f−g)⋆=f⋆；（f⋆⩽Mf+|f第六 ) (m(B(x,

)pp f(y)| +fm(B(x,r)))p⩽(Mf|)p

x)+fm∗({xf⋆(xt}2p(3n1)t−p∥f∥p，0pt∞m∗({x:(Mf|p)p(x)>

})=m∗({x:Mf|p(x)>p⩽3n2pt−p∥|f|p∥1=3n2pt−p∥fp 设Φ:Rn→Rn，我们知道Φ称作在x∈Rn处可微若ε>0，存δ>0，使得若|y−x|<δ，|Φ(y)−Φ(x)−T(y−x)|⩽ε|y−其中T:Rn→Rn为一线性变换（或者看成n×n的矩阵，在没有的情况下，我们可能随便使用这两种说法。记T=Φ′(x)，J(x)=detΦ′(x)称作Φ在x处的Jacobi行列式。引理6.21.设Φ在x处可微，ε>0，则存在δ>0使得对0<r⩽δ，m∗(Φ(B(x,r)))⩽(|J(x)|