压缩随机过程-第二稿

：功率谱的研究价值。这两者之间的关系非常紧密，一方面，维纳在第二部分，本文从坐标系下矢量的分解（投影）推广到Fourier级数的计算式，再令函数周期趋于无穷，得到非周期函数的FourierFourier变换为基础最后，对于科学家和哲学家对分析方法的评价进行理解，：维纳功率谱变换Fourier级数Fourier变对维纳的意义及随机过程功率谱的研究价值的理 维纳的意 随机过程的功率 二级数、变换的探 从矢量分解到函数的正交分解变 由几何意义提出Fourier级 Fourier变换的提 三Fourier变换的物理解 四．Fourier变换的意义和影响——基于Fourier变换的现代分析 分数阶Fourier变 小波变 五Fourier分析的局限 六从时域与频域谈起对变换的理 物从不同角度看能得到不同表 事物的统一 实证主义的探 PAGEPAGE1或-哥。·维纳在1930年首次了这个;独立地发现的结果并且于1934年了它。∞𝑆𝑋(𝜔)= ∞(𝜏)= 功率谱的传统定义为：对于平稳随机过程{X(t)t∈𝑅1}，因其类

(𝑡)={𝑋(𝑡),|𝑡|≤ |𝑡|>PAGEPAGE2𝐹𝑋(𝜔,𝑇)=∫1

∫𝑋2(𝑡)dt

1𝑃𝑋=lim

∫𝑋21

∞

1=

−∞𝑇→∞

𝑆(𝜔)=

(𝜔,

𝑇→∞ 𝑃𝑋=2𝜋 𝑆𝑋(𝜔)对于一个随机过程X(t)而言，虽然其概率分布函数能全面的画了任意两个不同时刻取值之间的相关性在有了变换理论后，随机过程的样本函数进行变换通过各种使样本函数满足为变换对极大的方便了两者的互求，以此为基础，随机过程的

(𝜔)=

1

(𝜔,𝑇)𝐹∗(𝜔,

𝑇→∞ 𝐹𝑋(𝜔,𝑇)=∫𝐹𝑌(𝜔,𝑇)=∫且

(𝑡)={𝑋(𝑡),|𝑡|≤ |𝑡|>

(𝑡)={𝑌(𝑡),|𝑡|≤ |𝑡|>∞𝑆𝑋𝑌(𝜔)= 𝑅𝑋𝑌(𝜏)

、具有均匀功率谱密度的白噪声在通信、导航和控制领域有分析观察功率谱中的异常及峰值可以作为机械故障诊断的依据，、统的传递函数H(jω)𝐺𝑌(𝜔)=故通过测量输入输出过程的自谱密度可以确定系统传递函数的𝐺𝑌𝑋(𝜔)=∞𝑆𝑋(𝜔)= ∞𝑅(𝜏)= 二级数、变换的探FourierFourier1807年提出，虽然最早仅仅是作FourierFourier变换的哲学意味也值得品味。我们从矢量分解的角度函数分解则函数的分解可以理解为,f(t)“投影”到由𝑔𝑖(𝑡)构成的“坐标系”上，可得：f(t)=𝑘1𝑔1(𝑡)+𝑘1𝑔2(𝑡)+⋯其中，𝑘𝑟称为f(t)和𝑔𝑟(𝑡)的相关系数，e(t)为分解之后的误差。 =<f(t),𝑔𝑟(𝑡)>=

∫𝑡1𝑔

)=

∫𝑡1[f(t)−

𝑘

(𝑡)]2

𝑟由上面的讨论，我们知道Fourier级数就是将函数在函数集{cos𝑛𝜔𝑡sin𝑛𝜔𝑡}n0,1,2上进行“投影”分解。而函数集{cos𝑛𝜔𝑡sin𝑛𝜔𝑡}n=0,1,2n误差e(t)（式②）函数f(t)，称该函数集合为完备正交函数集。

𝑇,𝑚=∫2cos𝑛𝜔𝑡∙cos𝑚𝜔𝑡𝑑𝑡=∫

sin𝑛𝜔𝑡∙sin𝑚𝜔𝑡𝑑𝑡={ ③ 𝑚≠

f(t)=𝑎0+

(𝑎𝑛cos𝑛𝜔𝑡+𝑏𝑛sin𝑛𝜔𝑡)

=2

𝑇2

=2

𝑇2这就是Fourier级数的表达式。由还可以导出指数形式Fourier级数或Fourier变换更为普适，可以应用于普遍情况，是分析的有效工具。而且指数形式的Fourier级数函数都纳入讨论范围之内。另外，维纳-将Fourier变换和函在讨论f(t)在完备正交函数集{cos𝑛𝜔𝑡sin𝑛𝜔𝑡}下分解表达式级数表达式为离散的，在ω的n倍频率处取值。实际上，在物理世界f(t)的FourierFourier变换即非周Fourier程上往往我们只关心满足某一误差容限或某一近似程度的阶数也就足够了。但是我们应该注意到Fourier级数被截断后产生的非一致收敛的问题会导致边缘有较大幅度的波动这就是著名的现象，这里不做讨论。11FourierFourier变换的重要物理意义即绝对可积的函数可FourierFourier变换不易理解首要原因是因为频域描述和我们对世界直观的认识有一定距离。Fourier变换的是将非周期的函数分Fourier变换的意义。我们知道由于{cos𝑛𝜔𝑡sin𝑛𝜔𝑡}n=0,1,2)那么无数个不同幅度的正弦波叠加最终可以无误差的近矩形波各个正弦波的幅度（也就是频域的“）就是频域的谱密度，如图Fourier级数对于时域信号的描述，则Fourier所以，Fourier变换是将时域函数描述为一系列不同频率的正弦Fourier变换具有些许哲学意味，在后文描述。四Fourier变换的意义和影响——基于Fourier变换的现代上世纪80年代年V.Namias从特征值和函数的角度分数阶Fourier变换，在20世纪末被广泛应用于、通信、声呐、信息安提出小波变换(waveletysis)，被视为Fouriertx(t)的p阶Fourier∞𝑋𝑝(𝑢)=𝐹𝑝𝑥(𝑡)=(𝐹𝑝𝑥(𝑡))(𝑢)= 𝑃(𝑢,，𝑃(𝑢,)= 𝛼={𝛼=(2𝑛±

1−√

𝑡2+

cotα

)x(t)dtα≠分数阶Fourierg(t)为基本小波函数，f(t)𝐿1(R)𝐿2(𝑅) 𝑡−W𝑇𝑓(𝑎,𝑏) 𝑓(𝑡)𝑔∗ )𝑑𝑡=<𝑓(𝑡),𝑔𝑎,𝑏(𝑡)√|𝑎| FourierFourier分析（FourierFourier变换）在各个领域得到了广泛的应用，充分证明了其价值，但是在Fourier的理论上还是不完备的。周期函数是否能进行Fourier级数分解，或者非周期FourierFourier分析理论有待进一步完善。六从时域与频域谈起对变换的理在研究性报告的上一部分我们小组已经简要讨论了级数、一部分，我们小组将给出对分析方法的哲学理解。我们选择从 112所用的时间11在这里，从时域去看显然不是一种好方法，因为太太复杂！证唯物主义哲学家将与相提并论，评价到：“是一首数学的诗，是一首辩证法的诗”诗一定是优A．(Comte)在《实证哲学》(Coursdephilosophiepositive，1842)中，把的力学理论和的理论都看作是实证主义基本谁错（这种专业的哲学问题不是我们所擅长的，而是希望以实证主义的目的就是发现自然规律或存在于事实中间的恒常关系而这只能依靠观察和经验才能得到它强调我们所不能观察到的，不能称之为“知识（这点的对错正是实证主义与后实证主义的点，我们暂时抛开。 级数、积分的发现，正是由于傅，，被拉格朗日否决导致未被成功其原因是拉格朗日认为三角1950年代处理弦振动问题时对三角级数的否定相表示方法不存在能量差别，基于此，是对的。们本身对的理解就是根据自己的理解是否符合这个现实22 认同了日的观点他也认为自己用三角级数来表达正弦曲线是错的，那也就没有今天应用这么广泛的分析方法了。随机过程理论（第3版，，航空航天大学Wiener,Norbert.GeneralizedHarmonicy