上海市宝山区九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）计算-4a+5a的结果（）A.a B.a C.−a D.−a数b是数a和数c的比例中项，若a=2，c=8，则数b的值为（）A.5 B.±5 C.4 D.±4如果∠A=30°，则sinA的值为（）A.12 B.33 C.22 D.32如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（）A.BCDF=12 B.∠A的度数∠D的度数=12

C.△ABC的面积△DEF的面积=12 D.△ABC的周长△DEF的周长=12如果△ABC中，AB=AC，BC=5−12AB，那么∠A的度数是（）A.30∘ B.36∘ C.45∘ D.60∘如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，D为BC的中点，若动点E从A点出发，沿着A→B的方向运动，连接DE，当△BDE是直角三角形时，AE的值为（）

A.4 B.7 C.4或7 D.4或1二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）如果ab=32，那么a−ba+b=______．如果△ABC中∠C=90°，那么BCAB=______（填∠B的三角比）．已知α为锐角，且sinα=cosα，则α=______．如图，G为△ABC的重心，GN∥AC交BC于N，那么MN：BC=______．

如图在Rt△ABC中，∠A=90°，斜边上的高AD交BC于D，若BD=9，CD=4，则AD的长度等于______．

两个相似三角形的相似比为2：3，且已知这两个三角形的某对对应边上的高相差为4，则这两条高中较短的长度为______．当两个相似三角形的相似比为______时，这两个相似三角形的面积比是1：2．如果向量a、b、x之间满足3a−(b−x)=0，那么x=______（a、b表示）．在△ABC中，D为AC边上一点，∠ADB=∠ABC，如果AD=9，DC=7，那么AB=______．我们将顶角为A，腰为a的等腰三角形记作“等腰三角形[a，A]”（a≥0，0°＜A＜180°）如边长为1的等边三角形记作“等腰三角形[1，60°]”，那么“等腰三角形[1，90°]”的周长为______．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则cot∠BOD的值等于______．

如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B′C交CD边于点G，如果当AB′=B′G时量得AD=7，CG=4，连接BB′、CC′，那么CC′BB′=______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）已知a3=b2≠0，求代数式a+3b(2a−b)⋅cos30∘⋅cot60°tan45∘的值．

四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）如图，将平行四边形ABCD的边BC延长至点E，使CE=BC，点F为边AD的中点，连接AE、BF，AE与BF相交于点G，设AB=a，BC=b，试直接用向量a、b表示向量AE、BF和FG．

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，且AD=5，DE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F．

（1）求sin∠EDC的值；

（2）求线段EF的长．

如图，在等腰梯形ABCD中AD∥BC，E为AD上一点，且AE：DE=1：3，连接BD、CE，BD与CE交于点F，如果AD=4，BD=BC=6．

（1）求梯形ABCD的周长；

（2）求线段CF的长度．

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上移动（点D不与点B、C重合），满足∠EDF=∠B，且点E、F分别在边AB、AC上．

（1）求证：△BDE∽△CFD；

（2）当点D移动到BC的中点时，求证：点E关于直线DF的对称点在直线AC上．

如图，在直角坐标系中A（-2，0），B（0，3），点C为x轴上A左侧一点，点D在线段BO上，且BD=2AC，线段CD交AB于点E．

（1）求∠ABD的正切值；

（2）如果△CAE∽△BDE，求AC的长度；

（3）如果AE：BE=1：4，求直线CD的解析式．

如图：矩形ABCD中，AB=3，AD=3，点P为对角线BD上异于点B、D的一个动点，联结A、P，将△APB沿AP所在的直线翻折，使点B落在点E处．

（1）当∠DPA=45°时，求点E到直线AB的距离；

（2）联结AE交线段BD与F，求当△EPF和△ABD相似时，线段BP的长度；

（3）当∠DPE=30°时，请直接写出此时△ABP的面积．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：-4=（-4+5）=，

故选：B．

根据平面向量的加法法则计算即可；

本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加法法则，属于中考基础题．2.【答案】D

【解析】解：∵数b是数a和数c的比例中项，

∴b2=ac=16，

解得：b=±4，

故选：D．

根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项．

本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．3.【答案】A

【解析】解：∵∠A=30°，

∴sinA的值为：．

故选：A．

直接利用特殊角的三角函数值得出答案．

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．4.【答案】D

【解析】解：∵△ABC∽△DEF，

∴=，A不一定成立；

=1，B不成立；

=，C不成立；

=，D成立，

故选：D．

根据相似三角形的性质判断即可．

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等、相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．5.【答案】B

【解析】解：如图，在AC上截取AD=BC，连接BD．

∵BC=AB，AD=BC，

∴AD=AB，

∴点D是线段AC的黄金分割点，

∴AD2=CD•CA，

∴BC2=CD•CA，

∴=，∵∠C=∠C，

∴△BCD∽△ACB，

∴∠BDC=∠ABC，∠DBC=∠A，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD，

设∠A=x，则∠ABC=∠A=2x，

∴x+2x+2x=180°，

∴x=36°，

故选：B．

如图，在AC上截取AD=BC，连接BD．想办法证明△BCD∽△ACB，推出∠ABC=∠C=2∠A即可解决问题；

本题考查黄金分割．等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．6.【答案】C

【解析】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，

∴∠A=30°，

∴AB=8cm，

①∠BDE=90°时，

∵D为BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴AE=AB=×8=4cm；

②∠BED=90°时，BE=BD=××4=1cm，

∴AE=AB-BE=8-1=7cm．

综上所述，AE的值为4或7．

故选：C．

先求出AB的长，再分①∠BDE=90°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度即可；②∠BED=90°时，利用含30度角的直角三角形的性质求出BE，进一步求出AE的值即可．

本题考查了三角形的中位线定理，解直角三角形，难点在于分情况讨论．7.【答案】15

【解析】解：设=，

则a=3k，b=2k，

代入得：==，

故答案为：．

设=，得出a=3k，b=2k，再代入求出即可．

本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．8.【答案】cosB

【解析】解：在Rt△ABC中，=cosB，

故答案为：cosB．

根据锐角的三角函数的定义求解可得．

本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切的定义．9.【答案】45°

【解析】解：∵sinα=cos（90°-α），

∴α=90°-α，

解得，α=45°，

故答案为：45°．

根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦解答．

本题考查的是同角三角函数的关系，掌握一个角的正弦等于这个角的余角的余弦是解题的关键，10.【答案】1：6

【解析】解：∵G为△ABC的重心，

∴AM是△ABC的中线，MG：GA=1：2，

∴BM=MC，MG：MA=1：3，

∵GN∥AC，

∴MN：MC=MG：MA=1：3，

∴MN：BC=1：6，

故答案为：1：6．

根据三角形的重心的概念和性质得到AM是△ABC的中线，MG：GA=1：2，根据平行线的性质计算．

本题考查的是三角形的重心，相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．11.【答案】6

【解析】解：由射影定理得，AD2=BD•CD，

则AD2=9×4=36，

∴AD=6，

故答案为：6．

根据直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项计算．

本题考查的是射影定理，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．12.【答案】8

【解析】解：设这两条高中较短的长度为x，根据题意可得：

较长边为x+4，

则=，

解得：x=8，

故这两条高中较短的长度为：8．

故答案为：8．

直接利用相似三角形的性质分析得出答案．

此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．13.【答案】1：2

【解析】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，

∴两个相似三角形的面积比是1：2时，两个相似三角形的相似比为：1：．

故答案为：1：．

直接利用相似三角形的性质分析得出答案．

此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比与相似比的关系是解题关键．14.【答案】-3a+b

【解析】解：∵3，

∴3-+=，

∴=-3+．

故答案为-3+．

去括号，移项可得结论．

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．15.【答案】12

【解析】解：如图，

∵∠A=∠A，∠ADB=∠ABC，

∴△ADB∽△ABC，

∴AB：AC=AD：AB，

∴AB2=AD•AC=9×16，

∴AB=12，

故答案为12．

只要证明△ADB∽△ABC，可得AB2=AD•AC解决问题；

本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．16.【答案】2+2

【解析】解：∵等腰三角形[1，90°]，

∴腰长为1，顶角为90°，

由勾股定理得：底边（斜边）长为=，

即三角形的周长为1+1+=2+，

故答案为：2+．

先读懂题目，再根据勾股定理求出等腰三角形的底边长，即可求出答案．

本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，能根据题意得出腰长为1和顶角为90°是解此题的关键．17.【答案】13

【解析】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，

则∠BO′D′=∠BOD，

∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，

设每个小正方形的边长为a，

则O′B==a，O′D′==2a，BD′=3a，

作BE⊥O′D′于点E，

则BE===a，

∴O′E===a，

∴cot∠BOD=cot∠BO′E===，

故答案为：．

根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．

本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用勾股定理和等积法解答．18.【答案】745

【解析】解：如图，连接AC，AG，AC'，

由旋转可得，AB=AB'，AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'，

∴=，

∴△ABB'∽△ACC'，

∴=，

∵AB'=B'G，∠AB'G=∠ABC=90°，

∴△AB'G是等腰直角三角形，

∴AG=AB'，

设AB=AB'=x，则AG=x，DG=x-4，

∵Rt△ADG中，AD2+DG2=AG2，

∴72+（x-4）2=（x）2，

解得x1=5，x2=-13（舍去），

∴AB=5，

∴Rt△ABC中，AC===，

∴==，

故答案为：．

先连接AC，AG，AC'，构造直角三角形以及相似三角形，根据△ABB'∽△ACC'，可得到=，设AB=AB'=x，则AG=x，DG=x-4，Rt△ADG中，根据勾股定理可得方程72+（x-4）2=（x）2，求得AB的长以及AC的长，即可得到所求的比值．

本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽，这也是本题的难点所在．19.【答案】解：∵a3=b2≠0，

∴2a=3b，

∴a=3b2，

∴原式=3b2+3b(3b−b)×32•331=32．

【解析】

首先根据得到2a=3b，从而得到a=，然后代入代数式和特殊角的函数值后即可求得答案．

本题考查了特殊角的三角函数值，牢记这些函数值是解答此类题目的基础．20.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵CE=BC，

∴CE=AD=BC=b，

∵AF=FD，

∴AF=12b，

∴BF=BA+AF=-a+12b，

AE=AB+BE=a+2b，

∵AF∥BE，

∴FGBG=AFBE=14，

∴FG=15FB=-15（-a+12b）=15a-110b．

【解析】

利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可．

本题考查平面向量、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）Rt△ABC中，∠BAC=90°，

则BC=AB2+AC2=25，

由题意得，CD=AC-AD=15，

∵∠BAC=90°，DE⊥BC，∠DCE=∠BCA，

∴∠EDC=∠B，

∴sin∠EDC=sin∠B=ACBC=2025=45；

（2）∵∠BAC=90°，DE⊥BC，∠DCE=∠BCA，

∴△CDE∽△CBA，

∴CDCB=CECA，即1525=CE20，

解得，CE=12，

∴BE=25-12=13，

∵EF⊥AB，∠BAC=90°，

∴EF∥AC，

∴EFAC=BEBC，即EF20=1325，

解得，EF=525．

【解析】

（1）根据勾股定理求出BC，根据三角形内角和定理得到∠EDC=∠B，根据正弦的定义计算；

（2）证明△CDE∽△CBA，根据相似三角形的性质求出CE，根据平行线的性质定理列出比例式，代入计算．

本题考查的是勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．22.【答案】解：（1）如图，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．

∵AM⊥BC，DN⊥BC，

∴AM∥DN，∵AD∥MN，

∴四边形AMND是平行四边形，

∵∠AMN=90°，

∴四边形AMND是矩形，

∴AD=MN=4，AM=DN，

∵AB=CD，∠AMB=-∠DNC=90°，

∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL），

∴BM=CN=12•（6-4）=1，

∴AM=DN=62−52=11，

∴AB=CD=(11)2+12=23，

∴梯形ABCD的周长=43+10．

（2）作EH⊥BC则EH=DN=11，

∵AE：DE=1：3，

∴AE=HM=1，DE=3，CH=4，

∴EC=(11)2+42=33，

∵DE∥BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴EFCF=DEBC=12，

∴CF=23EC=23．

【解析】

（1）如图，作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．只要证明BM=CN=1，AM=DN=，根据勾股定理即可解决问题；

（2）作EH⊥BC则EH=DN=，求出EC的长，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．

本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．23.【答案】解：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠BED=180°-∠B-∠BDE，

∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE，

∵∠EDF=∠B，

∴∠BED=∠CDF，

∴△BDE∽△CFD；

（2）如图，连接EF，

∵△BDE∽△CFD，

∴BDCF=DEFD，

∵点D是BC的中点，

∴BD=CD，

∴CDCF=DEFD，

∵∠EDF=∠C，

∴△DEF∽△CDF，

∴∠DFE=∠CFD，

∴FD平分∠EFC，

∴点E关于直线DF的对称点在直线AC上．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和定理和平角的定义得到∠BED=∠CDF，于是得到△BDE∽△CFD；

（2）根据相似三角形的性质得到对应边成比例，等量代换得到比例式，判定相似三角形，最后根据相似三角形的性质得出FD平分∠EFC，进而得到结论．

本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24.【答案】解：（1）∵A（-2，0），B（0，3），

∴OA=2，OB=3，

∵∠AOB=90°，

∴tan∠ABD=OAOB=23．

（2）设AC=m，则BD=2m，OD=3-2m，OC=2+m，

∵△CAE∽△BDE，

∴∠EBD=∠ACE，

∴tan∠ACE=tan∠EBD，

∴ODOC=23，

∴3−2m2+m=23，

∴m=58，

∴AC=58．

（3）如图，作EH⊥OC于H．设AC=m，则BD=2m，OD=3-2m，OC=2+m，

∵EH∥OB，AEEB=14

∴AHAO=EHOB=AEAB=15，

∴AH=25，EH=35，

∵EHOD=CHCO，

∴353−2m=m+25m+2，

∴m=710或0（舍弃），

∴C（-2710，0），D（0，85），

设直线CD的解析式为y=kx+b，则有b=85−2710k+b=0，

解得k=1627b=85，

∴直线CD的解析式为y=1627x+85．

【解析】

（1）在Rt△AOB中，根据tan∠ABD=计算即可；

（2）设AC=m，则BD=2m，OD=3-2m，OC=2+m，由△CAE∽△BDE，推出∠EBD=∠ACE，推出tan∠ACE=tan∠EBD，可得=，由此构建方程即可解决问题；

（3）如图，作EH⊥OC于H．设AC=m，则BD=2m，OD=3-2m，OC=2+m，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出m即可解决问题；

本题考查一次函数综合题、待定系数法、平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】解：（1）如图1中，作EH⊥AB于H．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，

∵AD=3，AB=3，

∴tan∠ABD=ADAB=33，

∴∠AB