线性代数详细知识点

载代数第一章行列式§1二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式122121122221221112121，记aaaa为aaaaaaaa为二阶行列式有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为ax=21aaaaa2a2a二、三阶行列式与三元一次线性方程组aaaa2223aaa323331132132132231122133112332aaaaaaaaa123〈3113223333当且仅当1bbb其中aaaaaaaaaaaa2aaaaaab1b2b3aaa3aaaaaabbbaaaaaaaaa=aaaaaaaaa性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。例如aaaaaaaaa=-aaaaaaaaa性质3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。例如aaaaaaaaaaaaaaa面。。性质5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。例如aaaaaa=aaaaaaaaa+abaabaaba性质6：将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上,其值不变。例如aaaa12aaa=aaaaaaaaa性质7：行列式按某一行展开aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa乘第一个方程ax+ax+ax=b，得1111221331aaa用aaaa21a，有23x+a23x+a22a12a3332个方程ax13x+a13x+a12a122a32aa213aaaa1aa2222332aa223aaaa32aaaaaa②；aaaaaaaaa233aaaa33aaaa①+(-1)②+③，得(a2232a21a22aa3a23aaaaaa+a1232a33aa)xa123aa3aaaaaaaaaaaa从而aaaaaaaaa1aaaaaaaaa223aa 223aaaaaaa32b 32b3aaaaaaaaab1aaaaax=xbaa12aaabaa3233332333113223332311aaaa323233把(2223,-2123把(2223,-2123,21aaaaa3233313331aa(+a.|-12(aaaa))13aaaa因此，如果aaaa一aa如果aaaaaaaa23,2122不全为零，则定理得证。a23,2122不全为零，则定理得证。aaa333132aaaaa=0,2122=0，则21aaaaaaaaaa3132313233(ax+ax+ax=0211222233§2全排列及其逆序数12njk称(i,i)构成一个逆序对，排列ii...i的所有逆序对的个数叫做置换排列ii...i的逆序jk12n12n12n12n12n12n12n12n定理3.2.1：设ii...i，jj...j是1,2,...,n的任意两个排列，那么总可以通过一系12n12n列对换把是ii...i变成jj...j。12n12n故逆序数为12。n阶行列式的定义定义：数域K上的n阶行列式定义为aa21^aaa22^a^^^^^1j2jnj1j2jnj。2nnij例1：例2：例3：00041000002000100a00a00000100aaaa00d a 1 b 1 d1 a 11 0 a2b2c2d2e2aa0a3b30005bb5bb50000aaaa载载§5、行列式的性质aaaaaaaaa=aaaaaaaanan1n2nn1n2nnn性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。一常数等于行列式乘该常数。面。。性质6：将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上,其值不变。§6行列式按行展开aaaaaan2aaa中，把位于i行，j列的元素划去后留下的n1行列式叫做a的余子式，记为M。而ijijijijij1n.........1n.........aaannnn。a证明：注意j1j2...jn1n的逆序数与j1j2...jn1的逆序数的关系，其中j1j2...jn1是nAakjaAaAijikijij。定理3：aaaaaan2i1i1i2i2inin推论：如果ik，则aA+aA+...+aA=0i1k1i2k2inkn例13：行列式的计算1)一般方法：把它化为上三角行列式。2)递推法1x01x0 01 0 0...10...x...003112513420111533例8：例9：131111313例10：aacccaaccc00bbb00bbb00bbb例：计算下面行列式的值001000例：计算下面行列式的值a0a1...aa1x...000 1x...001 0 0...10...xD解D01=01=...n1x...000...1.........0...0......1x...1x...000001n1a110...0a2x1...0+...............a0000......x例12：例10：补充拉普拉斯定理aaaaaan2aaa12k12列的元素构成的行列式D(i,i,...,i;j,j,...,j)叫做原行列式的k阶子式。划去这些行列12k12kM(i,i,...,i;j,j,...,j)。12k12k定义：A(i,i,,i;j,j,...,j)=(1)i1+i2+...+ik+j1+j2+...+jkM(i,i,,i;j,j,...,j)叫做原12k12k12k12k定理：设在n阶行列式D中任意取定k行，则由这k行元素组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于D。即D=12kjj...12kD(i,i,,i;j,j,...,j).(1)i1+i2+...+ik+j1+j2+...+jkM(i,i,,i;j,j,...,j)12k12k12k12k3.拉普拉斯(Laplace)定理的应用 ... ... ...0aa...an201...0...a...a.........a...0...0.........100...0bb...b00...0bb...bn2...0...0.........0...b...b.........bn11ccn11ccca定理：21222n=21cccan1n2nnn1cabab+...+abiji11ji22jinnj。证明：构造.......................0......an2011bn2011b......0......0...0........0...0.........1baaan200...0bb...bn2a..a...0...0.........0...b...b.........b11n22nnn§7克拉默法则线性方程组的有关概念定理7.1：克拉默法则推论：齐次线性方程组〈2112222nn(1)有非零解当且仅当系数行n11n22nnnn11n22nnn证明：必要性。若齐次线性方程组有非零解，由克拉默法则，系数行列式为零。充分性。若系数行列式为零，利用归纳法。载其系数行列式为a00abbn2nnnnn22nnnabb (3)的系数行列式bbbn2bbbbbb=aaaaaan2aaa所以(3)有非零解，从而(2)有非零解。因此(1)有非零解。推论7.3：在齐次线性方程组〈)中，若mn，则m11m22mnn例2：若〈2112241142243344441142243344413414载载第二章矩阵§1矩阵mm2mn记为A={a}或者A。ijmnmna叫做矩阵A的第i行j列的元。对角元素。当m=n，矩阵A叫做n阶方阵。ijmnnn载[矩阵的相等]mn矩阵A=(a)与B=(b)是相等的，若a=bijijijij ijij[负矩阵](-a)叫做矩阵A=(a)的负矩阵，记为-A。ijmnijnn§2矩阵的运算】载 ( (b...a)(a (a (a|||aaa(b...(b||||||...abbbmnm2m2m2m2mnmn【矩阵与数的标量乘法】m2m2mnm2m2mn】ijijij载...a)矩阵的方幂】|11|...|nm|...| (aaaaij；的行列式】定义：行列式aaaaaan2...aij载4)(AB)T=BTAT。定义：数域K上的mn矩阵为m行n列的数表mm2mn记为A={a}或者A。ijmnmna叫做矩阵Aijmn行列式aaaaaanij列的元。对角元素。当m=n，矩阵A叫做n阶方阵。nn...a2n...a2n叫做n阶方阵A=(a)的行列式。记为A。......ija[矩阵的相等]mn矩阵A=(a)与B=(b)是相等的，若a=bijijijij ijij[负矩阵](a)叫做矩阵A=(a)的负矩阵，记为A。ijmnij载(b...b...a||||(b...b...a|||||b(a|11|...[上三角矩阵]形如||...|0(a|11[对角矩阵]n|0aaa(a|11mn|...2n|和|0mn|...|0aa000的矩阵叫.的矩阵叫...00a0...0|...0||11|...|[转置矩阵]nm矩阵||...||aAT。aaaij矩阵的加法](a||a|||aaa||||||||==m1m12n2n[矩阵与数的标量乘法]载m1m2mnm1m2mn矩阵的乘法ijijij载等变换：初等行变换，初等列变换初等行变换：1)交换两行的位置；2)用一个数乘以某一行；3)用一个数乘以某一行后加到另一行。§4矩阵分块法定义：数域K上的mn矩阵为m行n列的数表mm2mn记为A={a}或者A。ijmnmna叫做矩阵Aijmn行列式aaaaaanij列的元。对角元素。当m=n，矩阵A叫做n阶方阵。nn...a2n...a2n叫做n阶方阵A=(a)的行列式。记为A。......ija[矩阵的相等]mn矩阵A=(a)与B=(b)是相等的，若a=bijijijij ijij[负矩阵](a)叫做矩阵A=(a)的负矩阵，记为A。ijmnij载(b...b...a||||(b...b...a||||b...b(a|11|...[上三角矩阵]形如||...||0(a|11n=|...[对角矩阵]nn=|...||0aaa(a|11mn|...|02n|和|0...amn|...|0aa000...0的矩阵叫.的矩阵叫...00a0...0|...0......a|11|...|[转置矩阵]nm矩阵|a|...|aAT。aaamnmnA(a)的转置矩阵，记ij矩阵的加法](aaa|||aaa||||||||==m1m12n2n[矩阵与数的标量乘法]载m1m2mnm1m2mn矩阵的乘法ijijij载等变换：初等行变换，初等列变换初等行变换：1)交换两行的位置；2)用一个数乘以某一行；3)用一个数乘以某一行后加到另一行。第一章向量代数一．向量的基本概念2．向量的长度或模、单位向量、零向量、负向量二．向量的运算定义——平行四边形法则、三角形法则加法的性质标量乘法的定义，标量乘法的性质§2向量的共线与共面命题2.1(1)如果存在实数k，使得a=k.b，则a与b共线；(2)如果a与b共线线性相关与线性无关的定义问题：若一组向量线性相关，再加进一个向量后还是否线性相关？若一组向量线性无关，去掉一个向量后还是否线性无关？4．自由向量、位置向量、空间点与向量的一一对应123111212313121222323131232333线性相关当且仅当〈311322333命题4.2推论4.3命题4.4推论4.5第三章线性方程组§1n维向量空间12ni12n12n12n12nKaaaabbbb相等的，若对所有的12n12niib12n12n1122nn定义：对数域K中的任意向量a=(a,a,...,a)、任意bK，定义n12n定义：数域K中的全体n维向量a=(a,a,...,a)关于上面定义的加法和标量乘法构n成数域K上的n维向量空间。记为Kn。定义：数域K上的n维向量空间Kn的一个非空子集W叫做Kn的线性子空间，如果它满足下面的性质：n2)对任意的aKn和任意的kK，有k.aKn。命题：n维向量空间Kn的任意有限个线性子空间的交仍然是Kn的线性子空间。所有的n维向量空间Kn以及它的任意线性子空间通称为向量空间。2m12m12m§3用消元法解线性方程组三个例子：1312331231.线性方程组与矩阵系数矩阵增广矩阵线性方程组的矩阵形式线性方程组〈2112222nn2m11m22mnnm11m22mnnmaa||||||||||||||||a...a2n系数矩阵增广矩阵... (aam...amn) (a|||a...an1a...ab222n2...|11|...|...2.线性方程组的初等变换aaa...a)(x)(b)1n||1||1|......||...||...|......||...||...|mnmm线性方程组的初等变换的定义。：线性方程组的初等变换把线性方程组变成和它同解的方程组。定义(149页)：载bb)1|注意：对方程组作一个初等变换等价于对它的增广矩阵作一个同样的初等行变换。〈311322333331111321223313331|1131aaaaaab3(|aaaa12aab)1|4．消元法和将矩阵用初等行变换化为行阶梯矩阵化为阶梯形方程组。命题(154页)：任一矩阵都可以用初等行变换化为行阶梯矩阵。定理(160页)：线性方程组〈2112222nn2经初等变换化为阶梯形方|......m11m22mnnmm11m22mnnm程组后，载2)若阶梯形方程组不出现“0=d”，且阶梯形方程组中实际方程的个数等于未知数的个数n，则原线性方程组有唯一解；3)若阶梯形方程组不出现“0=d”，且阶梯形方程组中实际方程的个数小于未知数的推论(163页)：齐次线性方程组〈2112222nn经初等变换化为阶梯m11m22mnnm11m22mnn形方程组后，1)若阶梯形方程组中实际方程的个数等于未知数的个数n，则原方程组只有零解；2)若阶梯形方程组中实际方程的个数小于未知数的个数n，则原方程组有无穷多个解 (有非零解)。§4向量组的线性相关性V12m载a是线性相关，否则称为线性无关。m12m2m12m组成的向量组线性无关当且仅当该向量是非零向量。例3：若向量组的一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关；若向量组线性无关，则向量组的任一个部分组线性无关。命题4.1向量组a、a、…、a(m>2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一2m个向量可以被其余向量线性表示。推论4.1向量组a、a、…、a(m>2)线性无关的充分必要条件是其中任何一个2m线性表示。12m12m12m12m12maaab不能被向量组a、a、…、m12m12m命题4.4n维向量空间Kn中的向量b=(b,b,...,b)可被m个向量12ni1i2ini载nn11n22nmmn〈2112222mm2ax+ax.aaaaimi1i2ini且仅当方程〈2112222mm|......n11n22nmmn11n22nmm12ni例6.n维向量空间Kn个数超过n的向量组一定线性相关。例7．Kn中n个向量组成的向量组线性无关的充分必要条件是向量组的行列式不等于§5向量组的秩12s12t个向量组，如果向量组(Ⅰ)中的每一个向量都能被向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可以被向量组(Ⅱ)线性表示；如果向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)可以互相线性表示，则称向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)线性等价。载命题5.1(231页)：向量组(Ⅰ)={a、a、…、a}可以被向量组(Ⅱ)={b、b、…、s12b}线性表示的充分必要条件是L(a,a,...,a)L(b,b,...,b)。向量组(Ⅰ)和向量组(Ⅱ)t12s12t12s12t推论5.1：如果向量组(Ⅰ)可以被向量组(Ⅱ)线性表示；向量组(Ⅱ)可以被向量组(Ⅲ)线性表示，则向量组(Ⅰ)可以被向量组(Ⅲ)线性表示。定义(232页)：向量空间V中非零向量组的一个部分组称为极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，但是从这个向量组的其余向量(如果还有的话)中任取一个添进去，得到的新的部分组是线性相关的。命题5.2：向量空间V中非零向量组的极大线性无关组一定存在。证明：推论5.2：向量空间V中非零向量组的极大线性无关组一定和这个向量组本身等价。引理5.1(181页)：在向量空间V中，若(Ⅱ)={b、b、…、b}可以被向量组(Ⅰ)={a、s12t12sjj11j22...jttjj11j22...jtt1122ssjj11j22jttj=1jj11jj22jjttj=1j=1j=1载(......1t12t2sts12sas12t12s推论5.4：向量空间V中非零向量组的任意两个极大线性无关组都包含相同个数的向量。定义：向量空间V中非零向量组的极大线性无关组所含向量的个数叫做这个向量组的12s12sa12s12s§6矩阵的秩阵的行秩和列秩。aa、a是向量空间Kn中的向量组，sa=(a,a,...,a)(i=1,2,...,s)。每个a都添上t个分量(所添分量的位置对于a、i1i2inii1s12载 (a ( (a (aa2n...arn)a线性无关，则它的延伸组也线性无关。sax+ax+ax..m11m2m11m22mnn证明：不妨设系数矩阵的前r行线性无关。则原方程经过初等变换可以化为〈2112222nnr11r22rnn该方程有非零解。所以原方程有非零解。。aaa|||||||的行秩和列秩分别为r和r'。不妨设矩阵的前111212r1〈121222r2r1n12n2rnn只有零解。所以a||||||||r的行秩等于r。不妨前r行线性无关，由引理6.1，矩定义：矩阵的行秩叫做矩阵的秩。定理6.3：设矩阵A经过初等行变换化为行阶梯矩阵T，则A的秩等于T的非零行的A12r12r。Ar§7用矩阵的秩判断线性方程组解的情况〈2112222nn2(3.1)m11m22mnnm记A为(3.1)的系数矩阵，A为(3.1)的增广矩阵。定理7.1线性方程组(3.1)有解的充分必要条件是它的系数矩阵和增广矩阵有相同的证明：方程(3.1)改写为载m1m2mnmm1m2mnm果它的系数矩阵的秩等于未知量的个数，则(3.1)有唯一解；如果它的系数矩阵的秩小于未知量的个数，则(3.1)有无穷多个解。推论7.2：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的§8向量空间的基与维数定义：设V是一个向量空间，V中的向量组a、a、…、a叫做V的一个基，如果V12m12m2m12m12m定理8.1：数域K上任一非零向量空间V都有一个基。其次，证明对Kn的任一非零子空间V都有一个基。载推论8.1：数域K上非零向量空间V的任何两个基都包含相同个数的向量。定义：数域K上非零向量空间V的基包含的向量个数叫做V的维数，记为dimV。K零向量空间V的维数规定为0。命题8.2：设数域K上非零向量空间V的维数是r，则V中任意r个线性无关的向量是V的一个基。Z命题8.5：设(Ⅰ)={a、a、…、a}是V中的非零向量组，则(Ⅰ)的一个部分组12s组当且仅当它是L(a,a,...,a)的一个基。12s2s12s§9齐次线性方程组解的结构载axaxax=axaxax=0m11m22mnn集合W={(c,c,...,c)︱c,c,...,c是方程组(9.1)的解}仁Kn是Kn的子空间。称为12n12n (9.1)的解空间。定义：数域K上n元齐次线性方程组(9.1)的非零解空间的一个基叫做(9.1)的一个定理9.2：若数域K上n元齐次线性方程组(9.1)的系数矩阵的秩rank(A)=r想n，§10非齐次线性方程组解的结构、线性流形121212对比子空间的定义：Y是向量空间V的子空间，如果对任给a,b仁Y、任意的12定义：设Y=a+W是数域K上向量空间V的线性流形(i=1,2)。如果W坚W或iii12W112载定理10.1：数域K上向量空间V中的子集Y是线性流形当且仅当它具有以下形式：000定理10.2：数域K上n元非齐次线性方程组如果有解，其解的集合12n12n是Kn的一个线性流形。并且Y可表示为Y=n+W，其中n是非齐次线性方程组的一个00解；W是对应的齐次线性方程组(导出组)的解空间。推论10.1：数域K上n元非齐次线性方程组如果有解，则解是唯一的充分必要条件是§11几何空间中平面的仿射性质定义：对¡3中的方程组〈|)，记称Z(F,...,F)是方程组(11.1)的图象；而方程组(11.1)叫做图象Z(F,...,F)的方程。s1s命题11.1：几何空间中的子集是平面点集的充分必要条件是它是¡3中的2维线性流命题11.2几何空间中一次方程载的图象是一个平面。反之，任何平面都是某个一次方程的图象。000全为零)的充分必要条件是Ax+By+Cz=0。000命题11.4已知两个平面11122222则 (1)与相交于一条直线的充分必要条件是两方程的一次项系数不成比例；ABCD (2)与重合的充分必要条件是1=1=1=1；12