第三章应变分析

第三章应变剖析在第二章我们研究了应力张量自己和体力、面力之间的关系式，即均衡规律。本章将议论变形体研究的另一个基本关系：变形与位移之间的关系。自然要以小变形假定为基础，位移和形变相关于变形体几何尺寸是细小的。第1节位移和（工程）应变1.1位移x3r

PuP’ox2x1变形体随意点P的位移矢量uuiei，u有三个重量。(工程)应变工程应变是往常工程中描绘物体局部几何变化，分为正应变和剪应变。l，（角变形）＝两微元线段夹角的改变量。l（工程）正应变：11、22、33，（工程）剪应变：12=xy、23=yz、31=zx工程应变共有六个重量：三个正应变和三个剪应变，正应变以伸长为正，剪应变以使直角变小为正。x3x3dx2dx1dxPx23Px2dx22x122x1第2节应变张量和转动张量应变张量和转动张量是描绘一点变形和刚体转动的两个特别重要的物理量，本节将议论一下它们与位移之间关系，在议论以前，先介绍一下相对位移矢量和张量.相对位移矢量和相对位移张量x3ox1

drr

Qu+duQ’’Q’PuP’drx2PQ平移P'Q''伸长＋转动P'Q'Q''Q'dudr'dr——相对位移矢量uueudueiiix

idxj——（a）j而drdxjejdxjejdr——(b)将（b）式代入（a）式，得duui,jeiejdr依据商法例duU?dr则Uui,jeiejUijeiej为一个二阶张量——相对位移张量应变张量和转动张量相对位移张量ui,j包括了变形和刚体转动，为了将二者分开，对ui,j进行整理，张量分红对称和反对称张量之和。Uijui,j1uj,i)1uj,i)(ui,j(ui,j22或Uijui,jijij此中ij1(ui,juj,i),ij1(ui,juj,i)22明显ij=ji（对称张量），ij=-ji（反对称张量）而ij表示变形体的形变，ij表示了刚体转动。以在平面x1—x2的两个垂直线段PQ、PR的相对位移来说明并直观看一下ij，ij二阶张量表示了形变和刚体转动。x2u2,1u2,2R’’R’u，u，u2,1，u2,2相对位移1,11,2dx2=1Q’u1,2u1、u2P’Q’’x1dx1=1u,1121=(u2,+u,2)/21=(u,-u,)/211211222=u2,+(+)/

12=(u1,2-u2,1)/211=u1,12=(u1,2+u2,1)/211，12=21，22纯变形12=-21纯转动转动张量的对偶矢量由纯刚体转动可见，12=-21，正好相当于一个沿x轴方向的转动3矢量e，方向为e，其大小3：3331()1(ee)32122121231221321近似可得，其余两个坐标平面，转动矢量1e1、2e2综合三个坐标面的转动矢量：e1eekkijkijk2为转动张量的对偶矢量。比较工程应变定义和应变张量，可得：111213112122132122232212222331323323123233第3节应变张量和转动张量的坐标变换式在xk坐标系中，已知变形体内任一点应变张量kl和转动张量kl，则在新笛卡尔坐标系x’i中此点应变张量’ij和’ij均能够经过二阶张量的坐标变换式求出它们。'Qi'kQj'lkl即：ij'Qi'kQj'lijklQi'kei'ekQki'第4节主应变、应变方向应变张量的三个不变量确立一点的主应变和应变主方向方法与求主应力和应力主方向的方法完整一致，求主应变的方程3Ⅰ2ⅡⅢ0解出、2、（实13根），Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别为应变张量的三个不变量：Ⅰ＝Ⅱ＝Ⅲ

112233123e——体积应变122331123当123时（三个主应变不相等），三个主方向互相垂直。第5节变形协调条件（相容条件）在本章第二节中我们议论了一点的应变张量，它包括了一点的变形信息，应变张量与位移微分关系称为几何方程（共六个）。假如已知变形体的位移状态u，则由这六个方程直接求出应变张量，但反之由六个独立的任意ij求ui不可以。ij1(ui,juj,i)2由于ij仅包括形变，由其求出位移时，刚体位移是没法确立的，因此，位移u没法确立。ij重量之间一定知足必定的条件（方程），才能由几何方程积分求出单值连续的位移场ui、ij的重量一定知足的方程称为变形协调方程或相容方程。变形协调方程共有六个，可由几何方程直接导出。即：222u1u21u1u21122212，22，12()x22x1211x1x22x2x1x2x12222222233223,3311231x32x22x2x3x12x32x3x1233112(2u22u32u32u12u12u212u1x1x2x3x1x3x1x2x1x2x2x3x2x3)x2x3x1x32211233112)x2(x3x1x1x2x32312322(12)x3x1x2x3x1x2233(122331)x1x2x3x3x1x2用指标符号表示：ij,klkl,ijik,jljl,ik0或emijenklik,jl0用张量表示：0结论：应变张量ij知足变形协调方程是保证单连域的位移单值连续解存在的必需和充分条件。关于复连域还需附带增补条件——位移单值条件。单连域：变形体内的任何一条关闭线当减小时均能变成一点，当不知足时为多连域。au-u+b关于多连域附带增补条件方法为：设想经过适合截断，使域为单连域，在截断面ab双侧u+i=u-i即为增补条件。作业：1．给定位移重量u1=cx1(x2+x3)2,u2=cx2(x1+x3)2,u3=cx3(x1+x2)2此处c为一个很小的常数，求应变张量ij和转动张量ij。将直角坐标系绕x3轴转动角，求新坐标系应变重量的变换关系。3．假定体积不可以压缩，位移u1(x1,x2)与u2(x1,x2)很小，u3=0。在一定地区内已知u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12),此中a、b、c为常数，且12=0，求u2(x1,x2)。4．试剖析以下工程应变状态可否存在（1）22)x3,222x3,33=0,11=k(x1+x2=kx212=2kx1x