充分发挥导数工具性作用

充散发挥导数“工具性”的作用刘才干（广水市第一高级中学，湖北432700）导数是高中数学新教材增添内容，也是初等数学和高等数学的连接点.最近几年来在高考取也渐渐加重了对导数的考察，特别是在考察函数、不等式、数列、解析几何和实质应用题的同时，以导数为“工具”，研究和解决问题已成为高考及各种试题的一个热门和亮点.所以，在复习备考取要建立应用导数的意识，充分发挥导数“工具性”的作用，提升应用导数解决问题的能力.1导数在函数中的应用导数在函数中的应用主要表此刻求函数值域、最值、单一性区间和判断函数图像上，也可经过结构函数求函数的定义域和应用导数定义求函数的极限.1.1借助导数求函数定义域例（06年襄樊统考卷）函数f(x)3tanxxxsinx的奇偶性是（）（）是奇函数（）是偶函数（）既是奇函数又是偶函数（）既不是奇函数又不是偶函数解函数奇偶性应先考察定义域能否为对于原点的对称区间，∴xsinx0，设g(x)xsinx，则g(x)1cosx≥0，∴g(x)单一递加，又g(0)0，∴x0是g(x)xsinx0的独一解，则函数的定义域为{x|x0}，是对称区间，又3(x)tan(x)f(x)f(xsin(x)，∴f(x)为偶函数，选(B).y1.2借助导数判断函数图像例2(05年高考江西卷)已知函数yxf(x)的图象如右图所示(此中f(x)是函数f(x)的导函数),下1O1-2-12-1x面四个图象中yf(x)的图象大概是(）yyyy44

221O-212-1-2x1Ox-2-112-2-221O-1-21x2O-22x-1（）（）（）（）解从函数yxf(x)的图像上知，当x1时,yxf(x)0，∴f(x)0，则yf(x)在(1,)是单一增函数，而四个图像中只有(C)知足.1.3应用导数求单一区间例3（06年高考江西卷）已知函数32f(x)xaxbxc在2x与3x1时都获得极值.求a、b的值与函数f(x)的单一区间.解∵32f(x)xaxbxc,∴2f(x)3x2axb,由题意知2124f()－＋＝0,f(1)32a＋＝0,393∴1a，b2,∴222f(x)3xx23(x)(x1),3当f(0时，则2x或x1；当f(x)0时，则323x1.∴函数f(x)的递加区间是2(,),(1,)3；递减区间是2(,1)3.1.4应用导数求函数的最值和值域例4(05高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)24x72x,x1,求函数f(x)的值域.解求连续函数在闭区间上的最值，只要求出函数的极值和区间端点处的函数值，而后比较大小，此中的最大者为最大值，最小者为最小值.∵f(71224(x)(x)8(2)(47)416722xxxxx222(2(2x)(2，由f(x)0得1x或272(7f(0),21f()4，f(1)3，2∴f(的值域为[4,3].1.5依据导数定义求函数的极限例5已知f(3)2，f(3)2，limx32x3f(x)x3的值为_________.解limx32x3f(x)limx33x2x3[f(x)f(3)]3f(3)x3f(x)f(3)lim[23]23limx3xx33f(x)f(3)x323f(3)268.2导数在不等式中的应用导数在不等式中的应用主假如经过结构函数，利用导数研究函数的单一性，将函数值的大小与自变量的大小互相转变，解决比较数的大小，求不等式的解集和不等式的证明等问题.2.1应用导数比较数的大小xyz例6已知x、y、zR，且346

，比较3x,4z的大小.xyza，∵x、y、zR，

解：设346∴a1，且xloga，ylog4a，zlog6a.3则3x3loga，4y4log4a，6z6log6a，3令()logfxxa，∴xxlogxloglogexeaaaf(x)()22logx(logx)(logx)aaa，x则f(0得log0aex，又a1，∴1，即xe，e∴()logfxxa在)上为增函数，∴f(3)f(4)f(6)，x即3loga4loga6loga，∴3x4x6z.3462.2应用导数解不等式例7（06年全国高中数学联赛陕西预赛题）若33sincos≥cossin,0≤2，则的取值范围是（）（）[0,]4（）[,]4（）5[,]44（）3[,)22解∵33sincos≥cossin，∴3sinsin≥3coscos，令3f(x)xx，∴2f(x)3x10，∴f(x)在R是增函数,且f(sin)≥f(cos)，∴sin≥cos，又0≤2，∴5[,]44.2.3应用导数证明不等式例8（01年全国高考卷）已知i,m,n是整数，且1i≤mn.证明：nm(1m)(1.证明∵1i≤mn且i,m,n是整数，∴2≤mn.nmnm要证(1)(1)mn，即要证ln(1m)ln(1n),即要证ln(1m)ln(1n)mn,∴令f(x)ln(1x(x≥2)，则f(1xln(1x)x2xx，又x≥2，∴11x，ln(1x)1，∴f(0，即f(x)ln(1x)x在x[2,)上是减函数，又2≤mn，∴f(m)f(n)，即ln(1ln(1n)mn，nm∴(1)(1)

mn建立.3导数在分析几何中的应用在分析几何中主假如应用导数的几何意义研究与曲线的切线相关的问题，和利用导数解决分析几何、数列和不等式的综合题.3.1应用导数几何意义研究与曲线的切线相关的问题例（06年高考浙江卷）22xy221ab(ab0)与过点,3B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e，求椭圆方程.2y

x解由题意知，直线AB：1

y是椭圆的切线，2BT22cabb32xe1()，aaa2

oF21A∴242ab，则椭圆方程为22xy221，b∴椭圆在x轴上方的部分曲线对应方程为2x2yb，4∴21xx22y(b)，设44T(x,y)，00则点T处的切线斜率为y|xx021xx2()b441k,AB2∴02b，代入方程2x22yb得y0b，42∴切点T的坐标为2x(2b,b)，又点T在直线AB：y1上，22∴222b1，即2b，则a2，∴椭圆方程为22x222y1.3.2应用导数解决分析几何、数列和不等式的交汇题例10(06年高考重庆卷)已知一列椭圆Cn:2x2y21，0n1，bnn3.若椭圆Cn上有一点n，使n到右准线ln的距离dn是|nn|与1,2,|nn|的等差中项，此中n、n分别是Cn的左、右焦点.y(1)试证：b≤n32Pndnln(2)取bn2n3n2，并用S表示nnGnnoFGnnx的面积，试证：SS且nn1(n≥3).12证明：(1)(2)设n坐标为(cn,0)，∵bn2n3n2，∴2c1b1nn2n3n12(n2)n2，设点,（xy，由图形知nnnxn111cnn1，代入2x2y21bn，∴21(2n3)n|y|b(1)nn22(n1)(n2)(n1)，则1n1(2n3)nS2c|y|nnn22n2(n2)(n1)113nnn，2(23)2(2)22(23)2(2)2113令222f(x)x(2x3)(x2)(x0)，则11311311513222222222f(x)x(2x3)(x2)x(2x3)(x2)x(2x3)(x2)

2212115222x(2x3)(x2)[(2x3)(x2)2x(x2)3x(2x3)]5112222(x2)(2x3)x(xx3)，由f(0得230xx，即113x或2113x2∴f(x)在113(,)2上是减函数，在113(0,)2上是增函数，∴f(1)f(2)，且当n≥3时，有f(n)f(n1)，即SS且nn1(n≥3).124应用导数解实质应用题应用导数解决实质应用题主假如将实质问题抽象成函数模型，应用导数研究函数的单一性，解决最优解等问题.o例11（06年高考江苏卷）请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）.试问当帐篷的极点o究竟面中心o1o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设oo为xm，则1x4,1∴正六棱锥底面边长为：2(28223xxx，∴底面正六边形的面积为:63422(82xx)=3322(82xx)，∴帐篷的体积为：332V(x)(82xx)2133[(x1)1](1612xx)，32∴32V(x)(12),令V(x)0，则x2或x22