2018高等数学基础讲义1819考研全年群

第一章函数极限与连 函数的性 极限的概念及性 无穷小与无穷 极限的求法（一 极限的求法（二 极限的求法（三 极限的求法（四 函数的连续 第二 一元函数导数与微 一元函数导 一元函数微 可导性、可微性、连续性之间的关 2.5一元函数的求导方 第三 微分中值定理及导数的应 微分中值定理（上 微分中值定理（中 微分中值定理（下 函数的单调 函数的极 函数的凹凸 函数的拐 函数的渐近 曲率与曲率半 第四 一元函数积 原函数的定义与性 不定积分的定义与性 不定积分的计算与技 定积 变限积分的定义与性 反常积分（广义积分 积分的重要与结 定积分的元素 一元函数积分学的几何应 一元函数积分学的物理应 第五章常微分方 微分方程的基本概 一阶微分方程及解 可降阶的高阶微分方程的求解方法（数一二 高阶线性微分方 第六章向量代数和空间解析几 与向量有关的基本概 2向量的运算及性 平面方 旋转 柱 常见的二次曲面及图 空间曲 直线方 平面与直线之间的位置关 第七章多元函数微分 多元函数的概念、极限与连续 多元函数的偏导 多元函数的可微性与全微 多元函数的求导法 多元函数的极 多元函数的最大值和最小 方向导数和梯度(数一 多元函数微分学的几何应 第八章多元函数积 二重积 三重积 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分 两类曲线积分之间的联 第一类曲面积分（对面积的曲面积分 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分 两类曲面积分之间的联 多元函数积分学的应 第九 多元函数积分学中的基本及其应 平面单连通区 9.2............................................................................................................................曲线积分与路径无 9.4（对坐标的曲面积分与三重积分的关系 (空间曲线积分与曲面积分的关系 向量场的通量与散 向量场的环流量与旋 第十 无穷级 常数项级 常数项级数的审敛 函数项级数与幂级 级 3第一 函数极限与连设函数f(x)在数集D上有定义，如果对于任意x1, D,x1x2，就一定f(x1)df(x2fx1)tf(x2则称fx)D（减少）f fx2fx1fx2fxD（减少）设函数f(x)在对称于原点的某数集D上有定义，并且对于任意 D，必f fxf( fxfxD（奇）在直角坐标系xoy中，偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点O对称设函数f(x)的定义域是数集D，如果存在常数T!0，当 D，有xr D，并fTf(x)，则称f(x)为周期函数，TfT­ex, ­ 2, 例1设f ¯x,xt

M ® 1,xt

求fM 数列极限的定义：设{xn}为一数列，若存在常数a，对于任意给定的H!0n整数N!0，当n!N时，有 n函数极限的定义（分两种情况

H，则称数列{x}收敛于a，记为lim a （i）xox0：设函数 f(x)在点x0的某一去心邻域有定义，如果存在常数A，于任意给定的正数H!0，总存在着正数G，当 x0<G时，有f H，则 1yfx当xox0limfx)Ao f(x)当x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任数 f(x)当xof时的极限，记作：limf A

f

【评注】：考研要求理解极限的概念，不要求应用H,G 语言这种标准的“数学语言”，不要求用定义证明极限的存在性和求极限。数列极限的性质唯一性：如果数列 收敛，那么它的极限唯一有界性：如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界（反之不成立n保号性：如果lim a，且a!0（或 n时，都有xn!0（或 0推论:如果数列{xn}从某项起有xnt0（或xnd0且lim 函数极限的性质o有界性：如果limf A，那么存在常数M!0和G!0，使得当ofxdM

x0局部保号性如果limf A，且A>0（或A<0），那么存在常数G!0，使得o x0<G时，有f(x)!0（或f 0）如果limf A，如果存在常数G!0，使得当o

x0<Gfxt（f(xd0），则At0（或Ad0）o

f o

f o

f A20若limfx)0fx为xox0o0设函数f(x)在自变量x0的某一去心邻域有定义，如果对于任意给定的正数M正数G!0（或者X），只要x满足 xx0<G（或x!X），对应函数f(x)总满f

Xfx为xox0（或xof）无穷小与无穷大的关1x的同一变化过程中，若f(x)f

为无穷小；若f(x（fx)z0f

为无穷大

fx)AD（x）其中limD(x)0无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷有限个无穷小的和与乘积也是无穷小设limD( 0，limE( 0，且

DlE R(E(x)) lz0时，称D(x)与E(x)是同价无穷小，特别地，l 1时，称D(x)与E(x)是等价无穷小，记为D(x)~E(x)。E~DEDR(D；若D~D，则limDElimDE常见的等价无穷小（当xo0时 sin tan arcsin arctan 3 cos x, xlna(a!0,az1), E2

DE已知limf(xlimg(x都存在，极限值分别为A和B，则下列极限都存在，且lim[f(x)r Arlimf Alimf(x) A,(此时需Bz0成立) 例1计算lim 2xo 【评注】：关于加减法：极限存在+/-极限不存在（包括极限是无穷大）=不存在极限不存在+-极限不存在（包括极限是无穷大）=不一定关于乘除法：极限存在*//极限不存在（包括极限是无穷大）=不一定极限不存在*//极限不存在（包括极限是无穷大）=不一定若lim az0,lim f，则limf ff有界limgf，则limfrgf，但limfg不一定为flimsin 1 x e

1x 3sin x2cos例2（97） xo(1cosx)ln(14例3 o

exsinx1(arcsin

0型例4 (ff型)xo xtanS例5求xo

arctan2x2 (0·f型例6求lim

(00)当xo0时，下列函数都是无穷小（即极限是0）且相互等价，即有 sin tan arcsin arctan ex 1cos x, xlna(a!0,az1), E2

DExg(x时（g(x)o0xln(1例1（2006）o01cos5利用法则假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足f(x)和g(x)0或都是无穷大f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不（3）limfc(x)存在（或是无穷大）,则极限 f(x)也一定存在，且等g(x

limfc(x，即gc(

f

=

f。gc(1例 例1计算极限lim

1【评注 常见左右极限不同的几种函数 lim f,lim limarctan

,limarctanx 2xo limarccot 0,limarccot x xlimarctan S,limarctan 2 6lim xo

1, xo （1）准则 dxdz 且lim a，lim a，那么数列{xn}极限存在，且lim a 0函数：如果 U(x0,r)或x!M，g(x)df(x)dh(x)limf(x存在且等于Ao

o

f lim Ao（2）单调有界准则：如果数列{xn}单调上升有上界，或者数列{xn} 例 求

nof 例3（2006）设数列^xn`满足 S,xn sinxn(n1,2,)，证明limxn存在，并该极限1.利用（xo0 1x o(x2ln(1 1 o(27sin 1 o(x4cos 1 1 o(x5 (1 1Dx D(D1)x o(x函数在一点连续的概念：若o

f f(x0)或lim[f f(x0 0，则'xofx在x0在(a,b内连续，同时在区间端点a右连续，在区间端点bf(x在[a,上连续 f(x)在点x0处不连续，则称x0为f(x)的间断点间断点分类：设x0是f(x)fx00fx00x0其一：f(x0 f(x0 0)时称为可去间断点，其二：f(x0 0)zf(x0 第一间断点以外的间断点为第二间断在区间上连续的函数的和、差、积、商（分母不为零）由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间上连续在区间上连续且单调的函数的反函数在对应区间上仍连续基本初等函数、初等函数在定义区间内是连续的fx在[a,bfx在[a,bfx在[a,bfx在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。fx在[ab上连续，其最大值和最小值分别为M和m8于m和M之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一点[，使f([ c零点存在定理：如果f(x)在[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一点[，使f([) 0成立。­®例1设f °ex1 x! 求该函数的间断点，并说明间断点所属类型®¯°ln(1x),1xd例2证明方程 第二 一元函数导数与微一阶导数的定义设函数 f(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量'x（ f f(x0)；如果'y与之比当'xo0时极限存在，则称函数 f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函 f(x)在点x处的导数，记为f'(x)，即fc(x lim f f(x 。 xo x 例1设f 0，则fx在 （A）

1f1cosh存在（B）lim1f eh存2ho0 ho0（C）lim fhsinh存在（D）limª¬f fhº¼存ho0 ho0解9例2设函数fx在 f（A）若

存在，则f 0（B）若xo

fx

存在，则f （C）若limf

f'0存在（D）xo

fx

存在，则f' 解高阶导数的定义f(n1)

(n

(x若 0存在，则称f(x)在点 x处n阶可导，并称此限为f(x)在点

nf(n(x

dnf等单侧导数的定义极限limf f(x0)与 f f(x0)分别为函数在 x处o o f(x),f(x) 即f'(x0 o

f f(x0)，

'(x0 o

f fx0)单侧导数的性fx在点xf(x),f(x) fx在开区间(a,bf(b),f(afx在闭区间[a,b]可导。导数的物理意义是指点运动的瞬时速率。设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数， f(t)，若't无限地接近于0时，平均速度f f(t0)会无限地接近

时的瞬时速度，即：质点在

时的瞬时速度为

f ft0)函数f(x)在 ( f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率 f(00 fc(x)( x)；法线方程为： f(x f(00

f'(x0一点的可导性。例3已知fx是周期为5的连续函数，它在 0的某个邻域内满足关系f1sin 3f1sin ax，其中ax（xo0时）是x且fx在x 1处可导，求曲线y fx在点6,f6 解：2x y12 也在该邻域内）时，如果增量 f f(x0)可以表示为 R('x)，其中 0，则称f(x)在点 x处可微，且A'x为f(x) 点 x0的微分，记为 Adx f f(x0)是曲线 f(x)在点 x0处对应于自变量增量'x的纵

xx是曲线 f(x)在点M处的切线相对于自变量增量'x的纵坐0【评注】：掌握函数的微分计算，对一元函数而言，可微与可导是等价的 xo

fc(x)，由具有极限的函数与无穷小的关知道，

f DD为当'xo0时的无穷小，上式两边同时乘以'x f(x)D'x由此可见，当'xo0时，'yo0，说明 f(x)在x处可 f(x)在x处连续，反推不成立设 设y f(x)在I上可导，若y f(x)在I上为偶函数，则fc(x)在I上为奇函数；设y f(x)可导且周期为T，则fc(x)也以T为周期。设f(x)在x0处可导（可微则 f(x0 o('x)2.5求 f(x)在

的导数，就是求o

f fx0)常用导数（微分）运算法则(urv)'u'rv cu(uv) u

d(urv) d(uv)vduudvu()v

u'v

d()

vduudv(vz0)设 f(u)， M(x)，则有 du，即 f'[M(x)]M'(x)，相对应的 fu

du 基本初等函数的导数（微分）(c) (xD) DxD(ex) (ax) axln(lnx)' (logax) 1

d(c)=d(xa)=axa-1dxd(ex)=exdxd(ax)=axlnadxd(lnx)=1xd(logax)=1(sinx)cosd(sinx)=(cosx)sind(cosx)=-(tanx)sec2d(tanx)=sec2(cotx)csc2d(cotx)=-csc2(secx)secxtand(secx)=(cscx)cscxcotd(cscx)=-(arcsinx) (arccosx)

d(arcsinx)=

(arctanx) 1 (arccotx) 1

1-d(arctanx)=1 1n阶导数运算法则与常见初等函数n阶导 (ur u(n)r n¦ cknu(nk)v(k u(n)vC1nu(n1)v'C2nu(n2)v""¦k(eax 1

; bx)n(sin an

(cos an S2(1)n1(n(ln(1 (1

(1(1)n n (1参数方程求导：设fx)由参数

­ ¯ \¯

所确定，并设x、y \'(t

d2

d(dt \''(t)M'(t)\'(t)M''(t

M'(t)

M'3(t­例1设 y(x)由

3t

所确定, ¯eysin t设 f(u)， M(x)，则有 f[M(x)]，ycfc(u)x¨例2设 f§2x1·，f' x2，求dyx¨ 242x2 42x

fM(xMc(xy f(y)在区间I内单调、可导且f(y)z0，则它的反函数 f1(x)在区y {x|x=f(y),

内也可导，且f

或 1 fc( 隐函数求导：设函数f(x)由方程F(x, 0确定，视F(x,y)中的y为x的函数f(x)将F(x,

的一个式子，从中解

即可，将已获得d2 例3求由方程 第三 微分中值定理及导数的应如果f(x)在 x0处可导且取得极值，则f'(x0 0（1）定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且区间端点处的函数值f(a) f(b)，则至少存在一点[(a,b)使f'([) 0。（2）定理的证明f(x)在>a,b@上连续，所以有最大值与最小值，分别用Mm表示，现分两种若 m，则f(x)在>a,b@上必为常数，从而结论显然成立Mmfa)f(bM与最小值m至少有一个在a,b内某点处取得，从而fx)的极值点。由f(x)在开区间(ab内可导f(x)在点处可导，故由费马定理推知fc(ξ0。 （1）日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导则至少存在一点[(a,b)使f f f'([ a)（2）日中值定理证明作辅助函数 f f f fb

a。显然， (0)且F(x)在[a,b]上满足定理的另两个条件。故存在 (a,b)，使所以f

f(b) ba

F'([ f'

f f 0b从上面的证明可知道定理是日定理当f 例1已知函数fx在>0,1@上连续，在0,1内可导，且f 0，f 0,1，使得f 1a（Ⅱ）存在两个不同的点K，[ 0,1，使得f'Kf' （1）中值定理：如果f(x)，g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，g'(x)z0，至少存在一点 (a,b)，（2）中值定理证明

f f

fog因 x在区间>a,b@上连续，在a,b内可导，所以根 日中值定理可知存 a,b，使得g(b) g'Kba，又因g'xz0 a,b，故g'Kz0因此 g(a)z0作辅助函数:H f f f f

g(a)fx与gx在>a,b@a,bHx在>a,b@内可导，而H(a)H(b)0，因此作辅助函数满足定理的条件所以由定理可知至少存在一点[ a,b，使H' f'

f f g

0，因

[z

f'g'

f f

.中值定带有皮亚诺型余项的n阶若函数f(x)x0存在n阶导数，则有f'(x f''(x f(n)(xf f(x 0 x 0 x) 0 x)n x) n这里o((x x)n)为皮亚诺余项。上式称为函数f(x)按xx的幂展开的带皮亚诺型余项的n阶。特别的，当x0=0 nf f

f'x

f''2 2

f(n)

o(xn带 日型余项的n阶fx在x0某邻域内为存在直至n1f''(x f(n)(xf f(x f'(x x 0 x 0 x) R(x) f(n1)([ n

这里Rn(x) 日余项，Rn (n1)! ，其中[在x与x0之间。上式为函数f(x)按xx0的幂展开的带日型余项的n阶。特别的，当x0=0时，f f f

f''2 2

f(n)x

Rn(x)设函数f(x在[a,b上连续，在(ab若在(abf'(x)t0f(x在[a,b若在(abf'(x)d0f(x在[a,b若在(abf'(x)t0f'(x)z0f(x在[a,b若在(abf'(x)d0f'(x)z0f(x在[a,b写出函数f(x)的定义域求出函数f(x)的驻点和不可导点，即f 0和f'(x)不存在的点利用上述的点由小到大将f(x)的定义域划分成若干个互不相交的子区间讨论f'(x)在每个子区间的符号，判断函数的单调例1设 e2，证明：ln2bln2a!4 a设函数f(x)在点 x0的某邻域内有定义，如果G!0，对 G, G)f(x)!f(x0)(f x0是f(x)的极小（大）值点，f(x0)称为f的极小（大）值，等号仅在xx0时成立。极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极必要条件：设f(x)在x0处可导并且取得极值，那么f'(x0 0极值第一充分判定定理：设函数f(x)x0处连续，且在x0的某去心邻域内可导若x (x0G,x0)时f'(x)!0，而x (x0,x0 G)时f'(x) 0，则f(x)在x0处取 若x (x0G,x0)时f'(x) 0，而x (x0,x0 G)时f'(x)!0，则f(x)在x0处取R若 U(x0,G)时，f'(x)的符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值fx在x0fx0)=0若f 0时，f(x)在x0处取极大值fc(x)0f(xx0处取极小值fc(0fx在x0值。此时可用函数x3,x3,x4在 求出函数f(x)用求出的驻点和不可导点由小到大将函数的定义域分为若干互不相交的子区讨论 '(x)在每个子区间内的符号，由极值的充分判断法或极值的定义判断即可求在[a,b]上连续函数f(x)的最大（小）值分为两求f 0及f'(x)不存在点，以及区间端点处的值f(a),f(b)计算上述各点处的函数值，经比较，最小即为m，最大即为 例1求函数f x 2在[3,4]上的最大值与最小设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，如果对x, (a,b)且xzx0恒fx0 f(0 x0()fxfx在[ab上的是凸（凹）设f(x在[a,b上连续，在(a,b若在(abf''(xt0，且在(abfx)z0fx在[a,b]上若在(abfxd0，且在(abf''(xz0fx在[a,b]上设函数f(x)在 x0的某邻域内连续，f(x)在 拐点的必要条件：设f(x)在x0处取得拐点，那么f 拐点的充分判定定理设函数f(x)在 G, 在点x0的两侧异号，则f(x)在x0处取得拐点设函数f(x)在 G, ( 0，f

(z0，则f在x0处取得拐点 f(x)的二阶导数f''(x)令f 对于（2）fx在xx0左、右两侧的符号，当符号相反时，该点是拐 f(x)，若limf b,(xof,xof)，则 b为一条水平渐近线对于曲yfx，若limfx)f,(xocxoc)，则xc为一条铅直渐 f(x)，若limf a，lim[f(x)ax]b，则 axb为一条斜渐近线 例1曲线 x x1. （A）没有渐近 （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近（C）有一条铅直渐近 （D）有两条水平渐近

表示单位弧段上线转过的角度，即该弧段的平均曲率；用

=1为曲线在点M处的曲率半径K当 x(t), y(t)时，弧微分

xc2 yc2(t)dt，曲o[x yc2(t)]3/当 y(x)，y(x)二阶可导时，弧微分 yc2(x)dx，曲率为dD

ycc(o第四 一元函数积如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即F( f(x)在区间I上成立，那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数。fx在区间Ifx在区间Ifx在区间Ifx在区间IF(x)是f(x)在某个区间上的一个原函数，则 C也是f(x)的原函数F(x)和G(x均是f(x)在同一区间上的原函数，则F(x)和G(x在区间I上，fxfxF(xfx在区间I的一个原函数，则³f F(x)C设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则³[f(x)r ³f(x)dxr³g(x)dx设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则³kf k³f(x)dx³0dx³1dx lnx ³

³sec tanxdxsecx³cscxcot cscx xP ³x P1³

(Pz1) ³ ³ ³ ax³ax x

³ ³ ³sin cosx³cosxdxsinx

³tan lncos ³cot lnsin ³sec2 tanx ³sec lnsec tan ³csc2 cotx ³csc lncscxcot 1³1

arctan ³ ln 1 arcsin 1³ ln

c

³ dx ln 1 arcsin 1

³ ln 1（1）

x

³ 3cos 2xex³tan2

x x(1x2设f(x)具有原函数F(u)，即F'(u) f(u)，³f(u)du C，如果U是中间变量，u M(x)，且设M(x)可微，那么根据复合函数微分法，有 f[M(x)]M'(x)dx从而³f [³f(u)du]uM(x)由此可见，虽然

fM(x)]M'(x)dxdy中的dxdy可看作微分，被积表达式中的dx也可当作变量x的微分来对待，从而微分等式 du可以方便地应用到被积表达式中。a³f 1³f b)(aza³f(sinx)cosxdx³f(sinx)dsinx，³f(cosx)sin ³f(cosx)dcosx³f(tanx)cos2

³f(tanx)dtanx，³f(cot

sin2x

³f(cotx)dcot ³f(lnx)x ³f(lnx)dlnx，³f(e)e ³f(ef

)xn

f(xn)dxn(nz0) 1f(

f()d() n

³xx ³ f(x) 2³f(x)d(³f(arcsin ³f(arcsinx)darcsin ³f(arctan dx ³f(arctanx)darctanx x例2 dxxx x 解3³1e1x2³解:1³

e 设x(t是单调的、可导的函数，并且c(tz0f(t)]c(t换 ³f(x)dx[³f[\(t)]\tt]t\(x)第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式，常见的变换形式主要有以下几种 a a a a a a nn nax mmbx

，有时倒代换 t例4（1） （2）³x3dx （3） (a!(1x2)设u(x),v(x)在[a,b]上具有连续导数u(vc(x)，则有uv uvc,³uvd ³uvdx³uvdx，³ 【评注】分部积分法主要是解决被积函数是两类或两类以上不同函数乘积的不定积分，在使用分部积分法时，要恰当地选择u和dv，即求³udv比较 ，而求³vdu比较容易.般可依次选取u的顺序为：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数，一般只要被积函数中含有对数函数或反三角函数时，常使用分部积分法.例5求不定积分³x2cos解：=1x2sin 2xcos 2sin 有理函 先化为多项式和真分式P*(x)

之和，再把P*(x)分解为若干个部分分式之和三角函数有理式的积 1t 利用万 ：设 tan2，sin t2，cos 1t2，tan 1t22dt 1t若R(sinx,cosx)是关于cosx的奇函数，即R(sinx,cosx) R(sinx,cosx)，可设t sinx；（i）如果R(sinx,cosx)是关于sinx的奇函数，即R(sinx,cosx) R(sinx,cosx)，可作变换t cosx；如果R(sinx,cos R(sinx,cosx)，可设tan t若被积函数是sinnxcosmx，且n和m中至少有一个数为奇数（不妨设 1kZ,nZ，可设tsinx（vi）sinnxcosmxnm(1cossin2x1(1cos2x，cos2x ，sinxcosx1s(1cos 函数化简，一种情况是含有sin2x或cos2x的奇数次幂，则用方法（5）求之；另一种情况是仍含有sin2x和cos2x的偶数次幂，则继续使用上述方法化简，转化为以sin4x和cos4x为变数的幂函数相乘，以此类推.（vii）如果被积函数是sinmxsinnx，或sinmxcosnx，或cosmxcosn，则利用积化和差，然后再求不定积分.6有理函数积分x x

f(x)在[ab]上有界，在[a,b]ax0x1x2"xn1xnb，把区间[ab分成n个小区间[x0x1x1x2"[xn1xn'x1x1x0,'x2x2x1"'xnxnxn1。在每个小区间xi1xi]上任取一点Hi(xi1dHidxi)fHi与小区间长度'xi的乘积nf(Hi)'xi(i1,,n)并作和 ¦f(Hi)'xi。记Omax{'x1,'x2"'xn}，如果i论对[a,b怎样分法，也不论在小区间[xi1xi]上点Hi怎样取法，只要当Oo0时，和S总趋于确定的极限II为函数f(x)在区间[a,b上的定积分(b分)，记作³af(x)dx。bnb³f(x)dx=I=lim

fHi)'xi Oo0i其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分b设 f(x)在[a,b]上连续

a及x若函数f(x)在a,b@上可积，则f(x)在a,b@上必有界若函数f(x)在a,b@上连续，则f(x)在a,b@上可积若函数f(x)在区间ab@上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a,b@上可积；或函数f(x在a,b@上只有有限个第一类间断点，则f(x在a,b@上可积.分段连续函数是可积的若f(x)是a,b@上的单调有界函数，则f(x)在a,b@上可积.也就是说，单调有界数，即使有无穷多个间断点，但这些不连续的点若存在一个极限点f(x在a,b@上可初等函数在其定义区间内的任一子区间上都是可积的函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差， fxr fx)dxr 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即

kf

fx)dxk是常数) 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和 ³即设 ³a

f³a³

f³c³

fx)dx 如果在区间[a,b]上，f(x){1， f a b如果在区间[a,b]上，f(x)t0，则³af(x)dxt0 b) 如果在[a,b]上，f(x)dg(x), f(x)dx g(x)dx b) f(x)dx f(x)dx 设M与mfx)在[abb a)d

fx)dxdM a)( bab存在一点[，使下式成立：

f f aaddba（1）-fx在区间[a,bFxf(x在区间[a,bbf( F(x) a a此被称为-，它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系，它给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。此外-有如下推广fx)、Fx在[ab上连续，Fxfx)在区间[a,bbf(F(x)³aafx在区间[abFxfx在区间[a,bF(a0)xa

F(x)， xb

都存在

b³f F(x)b-

a（iii）设f(x)在区间[a,b]上连续，Fx在[a,b]中除去 [a,b]连续 0)、 0)存在，且F f(x)， [a,b]，xzc，f F(x)c F(x) b c换元积分法设函数f(x在区间[ab上连续；函数g(t在区间[mnt在区间[m,n]上变化时 换元

³f

³fgt]g

分部积分b可以推算 uvd uvcdx

bvdua a1fx在>0,1@上连续，证

2fsinxdxxfsinx

S2

cosxfsinxdx，由此计算 xsinxdx 2 ³01cos2若f(x)在a,b@x是a,b@上的任意一点，则称f

x³ft)dt为积³ab函数（或变上限积分，而称

ft)dt为积分下限函数（1）（原函数存在定理）如果函数

f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数x ³f(t)dt在[a,b上具有导数，并且它的导数是(x

³f fa(adxd

dx³如果函数fx)在区间[a,b上连续，则函数³a个原函数

xft)dtfx在[a,b若f(x)在a,b@上可积，则变限函数F(x)

xf(t)dt在a,b@上连续³a³若f(x)是连续函数u(xv(x)是可导函数，d

u( f f>u(x)@uc(x)d

b³³

f f>v(x)@vc(x)d

u(x

fu(x)@u( f>v(x)@v(x21/2若0dx³例1设g³0

fudu，其中f ¯x13若1dxd

则gx在区间02x例2设fx奇函数，除 0是其第一类间断点，则x

ftdt0（A）连续的奇函数（B）连续的偶函（C）在x0间断的奇函数（D）在x0间断的偶函数x.3fxf0z0，求极限lim³0xtft.x1解2

fxt³0³积分区间[a,f设函数f(x)在区间

³f)上连续，取ba.如果极限³bo

fx)dx存在，则称此ffx)[a,

³afx)dxf f bo³f(x)dx，这时称 义积 f(x)dx收敛；如果上述极限不存在³a就称为广义积分 f(x)dx发散积分区间(fb设函数f(x)在区间

fb上连续,取baao

bfx)dx存在，则称此³fx)fb@

³fx)dx³fb ³f limao

f(x)dx，这时称广义积分³

f(x)dx收敛；如果上述极限不存在b称广³ff(x)dx发散积分区间(f,f 设函数f(x)在区间(f,f)上连续，如果广义积分³ff(x)dx和 f(x)dx都收敛则称上述两广义积分之和为函 f(x)在无穷区间（f,f）上的广义积分，记 ³ff(x)dx，即³ff ³ff(x)dx³0f lim³af lim³0fao

bo这时称广义积分³ff(x)dx收敛；否则就称广义积分³ff(x)dx函数的广义积分（也称瑕积分fx在[a,b

f fbf(x瑕积分的定义fx在[ab上有定义，xb为瑕点，且对任意的H0fx在a,bH@即极限H

b f(x)dx存在，则称该极限值 函数f(x)在[a,b)上的广义积分或叫积分，记作b³f b

b f(x)dx

f

f(x)dx Ho0b

bb

f(x)dx是收敛的；若上式的极限不存在，则称广义积分³afb

f

³Afx)dxf 在(ab上有定义，a为瑕点，且在任何>Ab@ab@上可积³f³若a

k

f(x)dxk为常数 若³f(x)dx³g(x)dx都收敛，则³f(xrg(x)也收 f>f(x)r ff(x)dxrf 设u(vc(x)在a f@上连续，如果下面等式中有两项存在，则第三项也存在，且f uv fvdu f若f(x)在任何有限区间a,A@上可积，且f

fxdx收敛，则

f(x)dx也收敛 ff且 fa

d f(x)dx函数的广义积分 ³akf k³af(x)dx，其中k 若f(x)与g(x)的瑕点同为 a，且瑕积分³af(x)dx与³ag(x)dx都收敛， b>f(x)rg(x)也收敛，且有b>f(x)r bf(x)dxr 定积分的分部积分法与换元积分法对瑕积分也成立b设

f(xdxa b敛，则

f(x)dx也收敛，且

d³af(xdx几个重要的反常积分（广义积分若a1f

­a1

,收敛；p³ax ®p¯发散pd若a1 axln

­ln1pa,收敛；p®p 发散pd³fex2 ；³fex2 ³f³a

f(x)dx反常积分也是有相应的计算法则（1）设f(x)在区间[a,f]上连续，Fx在[a,f]中连续，且Fx

[a,若lim

f³f)³a³ff ³

f(xdx收敛，且F( a若limF(x)

ff(xdx发散（2）f(x),g(x)在区间[a,f]上有连续的导数，若limf(x)g(x)f³f(x)g(xx收敛，则

f()g(x收敛 ³ff f(x)g(x)f³

³f³fa （3）f(x)在区间[a,fMt在[aElim o

M aff

xM(t

EfMtMt) E可以是有限的，也可以是ff³1³2

xln

k（k为常数解：因k值不同，分3种情况讨论1ln1若k!1，原式 k若k1，原式=f，即积分发散；若k1，原式=f，即积分发散.2下列反常积分发散的是 （A）³1sinxdx（B）³ 解（C）

x dxx0³ xln2d ³af(x在>a,a@上是奇函数，³aaa³f(x在>a,a@上是偶函数，a³a

f 0af

f(x)dxa a 其中n为正整数

f f ³0f n³0f(x)dxa a 特别， sinxdx³0sinxdx， cosx aa³fx)a,a上连续，则³a

f

af f(x)@dx，常用于计算形如³0³³S cos Sxsin³S4 4–14

dx或³ 4–14

dx的定积分几个常用的定积分变换设f(x)在S,S@ ³2f(sinx)dx³2f(cosx)dx

xf(sin

³f(sinx)dxS 2 ³xf(sinx)dxS³

f(sinx)dx

³f(sin 2

f(sinx)dx xsin注释：常用于计算形如³01cos2xdxbfx在[a,b

f bf ban阶正余弦函数的定积分："­n n n "n® n®

n³2

³2

2 °n n n5 Sn¯ 2 2根据问题的具体情况，选取一个变量例如 为积分变量，并确定它的变化区间设想把区间[a,b分成n个小区间，取其中任一小区间并记为[xxdx，求出相应于这小区间的部分量'U的近似值.如果'U能近似地表示为[a,b]上的续函数在x处的值fx)dx的乘积，就把fx)dx称为量U的元素且记作dU f(x)dx（3）以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，得b

f(x)dx，即为所求量 的积分表达式，这个方法通常叫做元素法直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y f上x与y f下x及左右两条直线x a与x b所围成则面积元素为[f上x f下x]dx,于是平面图形的面积为 b[f(x)

类似地由左右两条曲线 M左y与 M右y及上下两条直线 d与 成设平面图形的面积

³ ³c

右(yM左注释：较为复杂图形的面积计算，可将图形分割若干小图形，使其符合X型或Y型，极坐标情形UM(T及射线TD,TE 1[M(T2S³E1[M(TD由连续曲线rr1(T), r2(T)(r2(T)d(r1(T))和射线TD,TE E)所围图形的面积 Er2(T r2(T)d2D 曲线方程是参数方程形式的情况­x

DdtdE,M(D a,M(E bM(t在DE@上¯ \Mt a, b,x轴围b

³\(t)Mt 旋转体的体积 f(x)(f(x)t0)与直线 a， Sbf2(x)dxx轴旋转一周而成的旋转体的体积为 b绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为 2S³axf(x)dx由连续曲线 M(y)及直线 c， d)，y轴所围成的平面图y轴旋转一周而成的旋转体的体积

SbM2(y)dy³a³d绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积 2S已知平行截面面积的立体体积

yMy)dy设在空间直角坐标系中，有一个立体夹在垂直于x轴的两个平行平面 abxb(a ab

³aA(x)dx曲线为参数形式的平面曲线的弧长设曲线C是由参数方程 x(t), y(t)(DdtdE给出的光滑曲线，即x(t),y(t)D,E@上具有连续的导数，则曲线段弧长 E>xc(t)@>yc(t)@dt 曲线方程为直角坐标方程的弧长>> 设曲 f(x)在a,b上是光滑曲线，则曲线段的弧长为a

1>fc(x)@2dx曲线方程为极坐标方程的弧长设曲线段是由极坐标方程 r(T)，DdTdE给出的光滑曲线，则曲线段的弧长 ErcT)@rT)@dT 例1（数一、二）当0dTdS时，对数螺旋 eT的弧长222S1是椭圆22

1x轴旋转而成，圆锥面S2是过点40且与椭圆

1相切的直线绕

轴旋转而成求S1及S2求S1与S2x(1ln2例3设位于曲线 (ed 区域为G，则x(1ln2轴旋转一周所得空间区域b变力F(x)沿直线运动从a到b所作的功 ³a J的乘积：pJh并且同一点的压强在各个方向上是相等的知道m1，m2相距J的两 JB f(x),adxdb,其线密度为常数s0dsdlB的全长为lB的参数方程（为参数）­ ¯® ¯

(0dsd若质心设为(x,y)， x

,

³0³B的参数方程

® \­ I(t)Ddt® \¯其中I(t、(t)在DdtdE上有连续的导数，则质心(x,yE³I(t)Ic2(t)\c2³(t)\ (t)\(t)\

³\ Ic2(t)\c2考虑质量分布均匀的平面薄片，所占的平面图形是Dadxdbg(x)dydf(x)面密度不妨设为常数u，则其质心(x,y)³Px[f P³b1[f2 g2³b , a P[f P[f 第五章常微分方程微分方程的基本概微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解方程的特解。来确定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同。5.yM(x)0数的条件是0

x y0，其中x0y00任意常数的条件是叫做初始条件

xx

y0,ycx

y0c，其中x0,y0y0c都是给定的值。上述这求微分方程ycf(x,y)满足初始条 yx y0的特解这样的一个问题，叫做阶微分方程的初值问题，记

0°ycf(x,y®y x 一阶微分方程及解一阶微分方程的一般形式为F(x,y, 0，其中的最基本的类型是变量可分离的程、一阶线性方程和全微分方程。齐次方程通过变量代换可转化为变量可分离的方程，方程通过变量代换可化为一阶线性方程。除了齐次方程 方程之外，还有一些一阶方一般的，如果一个一阶微分方程能写ycf(x, f(x)g( 或f g( 这样的原方程就称为可分离变量的微分方程其解法是：直接积 ³f(x)dx³g(y)dy例1求微分方程 如果一阶微分方程可化为

yf()的形式，那么就称该方程为齐次方程x其解法是：令 y则ycxucuy的微分方程就化成了u的微分方程xucf(u)ux

f(u)x

这就化成了可分离变量的微分方程，再通过积分即可求出方程的通解例2解方程 x2 xy 形如方程ycp(x) q(x)或xcp( q(y)叫做一阶线性微分方程。如q(x0或qy0其解法是：方程两边同乘以积分因 e³p(x)dx，则原方程改写[e³px)dxy]cq(x)e³px)dx方程形式和解法(仅数一

e³p(x)dx[³q(x)e³p(x)dxdx方程ycp(x) q(x)yn(nz0,1)叫做方程。当 程。当nz0,1，这个方程不是线性的，但是可以通过变量的代换，便可以将其转化为线性其解法是：zy1ndz(1np(x)z(1n)q(x分方程

例

+ 求方y=

xy2的 全微分方程（仅数一 Q(x, 0的左端恰好是一个二元函数U(x,全微分，即dU(x,y) P(x,y)dx Q(x,y)dy，则称P(x,y)dx Q(x,y)dy 方程。显然，这时该方程的通解为U(x,y) C(C是任意常数)。二元函数的全微分求积定理设开区域GP(x,y),Q(x,y)，在G P(x,y)dxQ(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是 在 全微分方程的求特殊路径积分法M0(x0y0为区域Gu(x,

³³P(x,y0 Q(x, ³

P(x,y)，对x积分得u(x,

³P(x,y C(对y求导得

w³P(xy)dx]Cc Q(xy)Ccy)再积分求Cy)凑微分法P(x, Q(x, 例5求 (5x 3xy y3 (3x2 3xy y2 可降阶的高阶微分方程的求解方法（数一二 fx其求解方法是：连续积分ny f(x,yc)型的微分方程其求解方法是ycu，原方程化为uucf M(x,C),由此又得到一个微分方程 M(x,C)，对其积分，便得到原方程的1 ³M(,1 C

y fy,yc)其求解方法是：令ycu，故y duu。原方程化为以u为未知函数，y为自变量的一

f(y,°2yy y'2y21求解微

¯y 1,y' 高阶线性微分方二阶线性微分方程的一般形式y p(x)ycq(x) f其中y",y',y都是一次的，否则称为二阶非线性方程，其中p(x),q(x),f(x)均为连续函数当右端f(x)0，方程叫做齐次的；当右端f(x)不恒0，方程叫做非齐次的) y2在区间I线性相关，否则，称此两函数线性独立或线性无关y p(x)ycq(x) 定理：如果函数y1(x),y2(x)均是方程y p(x)ycq(x) 0的解，那 C1y1 C2y2(x也是该方程的解，其中C1,C2定理：如果函数y1(x),y2 是二阶齐次线性方程的任意两个线性独立的特解，那 C1y1(x)C2y2(x就是该方程的通解，其中C1,C2为任意常数。推论：如果y1(x),y2(x),...,yn(x)是n阶齐次线性方程1 p(x)y(n 1的 个线性无关的解，那么，此方程的通解

n1(x)yc

n(x) C1y1(x)C2y2 Cnyn(x)其中C1C2,.,Cn非齐次线性方程解的二阶非齐次线性方程的形式为ycp(x)ycq(x)yf定理y1(xycp(xycq(xyfx)的任一特解，Yx是ycp(xycq(xy0yy1(x)Yx就是ycp(xycq(xyf(x)的通解。定理ycp(xycq(xyf1(x)f2(x.如果y1(xy2(x分别是方程ycp(xycq(xyf1(x)与方程ycp(xycq(xyf2(x)y1(x)y2(x二阶常系数齐次线性微分方二阶常系数齐次线性方程的一般形式为ycpycq(x) 0，其中p，q为实常数，其特征方程为O2 pOq0。依据判别式的符号，其通解有三种形 当' 4q!0，特征方程有两个相异的实根O,O C CeO2 当' 0，特征方程有重根，即OO，通解的形式 C 当' 0，特征方程有共轭复根重根DriE，通解的形式 eDx(CcosEx CsinE n阶常系数齐次线性微分方n阶常系 py(n ycp 0 n pOn pOn ... 0 特征根与通解的关系同二阶方程的情形类似，具体结论如下若O1O2Onn C CeO2 Ce 若 O0为特征方程的k(kdn)重实根，则原方程的通解中含 Cx...Cxk1)eO0 若DriE为特征方程的k(kdn) Cx...Cxk1)cos D Dxk1)sin

二阶齐次线性方程的一般形式为ycpyc f Pn(xPn(xn Hn xHnn x2H(nf Px)eDxPxn 特解形式分为三种情况：n（i）Dy*(x)H(nn xH(nn x2H(nf eDx[P(x)sinE Q(x)cosEx],P(x),

(xn次，m 特解形式分为二种情况： eDx[R(x)cosE S(x)sinE xeDx[R(x)cos S(x)sin 例

其中l次多项式Rl(x),Sl(x)中 max{m,n}f f2(x) 特解：y y2求方程yc2yc3 3x1的一个特解例6求方程yc5yc6 xe2x的通解6.6. 方程（数一形如xny(n)pxn1y(n1) xycpyf(x)的方（其中p，p}，p为 n 数叫做方程。作代换x et，即可将原方程化为n阶常系数线性微分方程。特别的，对于二阶方程x2ycayc f2令 et ln d22d2

,xt

dt (dt dt a f(ed2

(a1)

f(et)即化成了二阶线性常微分方程dt 例 方程x3ycx2yc4xyc3x2的通解第六 向量代数和空间解析几与向量有关的基本概既有大小又有方向的量称为向量（或矢量若向量aOM，点M的坐标(x,y,z)就称为向量a的坐标，且有向量a yjzk，通常记作^x,y,z`。向量的大小（长度）称作向量的摸，记作a模为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向可认为是任意的1的向量称为单位向量，通常用a0表示与a同方向的单位向量。例如axiyjzk， a

¯ 方向相同或相反的向量称为共线向量平行于同一平面的向量称为共面向量从同一点出发的两个向量a,b，他们所成的两个角中不超过S的那个角称为a,b的夹角，为(,b)。设T=(,b)则当az0,bz0

a|a||b

axbxayby 若向量a为非零向量，它与三个坐标向量i,j,k的夹角D,E,J称为向量a的方向角，方向角的余弦cosD,cosE,cosJ称为向量a的方向余弦，例如a zk，则，

且满足cosD2cosE2cosJ21向量的运算及性几何表示：以a的终点作为b的起点，从a的起点到b的终点所作的向量称为ab的和，记作a+b；以b的终点作为起点，从a的终点为终点所作的向量称为ab的差，记作a-b；坐标表示：设ajxjiyjjzjk^xjyjzj`,j12a1r ^x1rx2,y1ry2,z1r运算法则交换律：abb分配律：(ab)ca(b 同向，若O<0，则Oa与a

a，而方向性规定为：若O>0，则Oa与坐标表示：若 {x,y,z}，则 {Ox,Oy,Oz}运算法则交换律：O(Pa)P(Oa)(分配律：(OP)aOaPa，O(ab)Oa向量的数量积（点积、内积几何表示：a1<a2是一个数，规定为a1 a1a2cosT，其中T是a1与a2的夹角坐标表示：设ajxjiyjjzjk^xjyjzj`,j12a1 y1 z1z2运算法则交换律：a·b分配律：(abcacb与数乘的结合律O·a·(Ob)(·)(O)(数量积在几何上的应求向量的模： 求两个向量之间夹角的余弦：cos

a|a||b

，其中T,b ·b0向量的向量积（叉积、外积几何表示：a1ua2是一个向量，a1u a1a2sinT其中T是a1与a2的夹角，方向规定为与a1a2都垂直且a1a2a1ua2的方向符合右手关系坐标表示：设ajxjiyjjzjk^xjyjzj`,j12 运算法则

a1u

x x2分配律：(ab)ucauc与数乘的结合律：(Oa)ubau(Ob)数量积在几何上的应求同垂直于a,b的向量求以a,b为邻边的平行四边形的面积： au判断两向量平行 aub=0定义：三个向量a1a2a3的混合积是一个数，规定为>a2@(a1ua2)3，用坐标(a1,a2,a3（2）运算法则两向量互换，混合积变号：[a,b,c分配与数乘的结合律（3）混合积在几何上的应求以a,b,c为棱的平行六面体的体积 AxByCzD0n{ABC}ABC x0 y0 z0 0(x0y0z0)为平面上的任意取定的一点，n{ABC}为平面的法向量，ABC不全为零 旋转以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴。xOy、yOz、xOz坐标面上的曲线绕其所在坐标面上的坐标轴旋转产生的旋转面的形式完全类似。现举例说明yOz坐标面的情况：­f(y, ¯ ¯曲线Cz轴旋转一周到一个以z轴为轴的旋转曲面，f中"rCy所允许的符号确定。

y2 0设Mxyz)C上点M1(0y1z1z­f(y,z 1

，从而frx2y2,z)0°¯|Cyfr所允许的符号

x2z2 0，其中"rC柱­F(x,y, ¯G(x,y, 柱面方程建立过程如

先在准线*上任取一点(x0y0z0，则过点(x0y0z0 lmn消去由准线方程*和母线方程组成的方程组中的x0,y0,z0，得到关于x,y,z的方程即为所若准线方程是

­ f® g(t),t (D,E)母线的方向向量是®¯°z¯­ f °柱面的方程® g(t)mu,(D E,f ¯° h(t)¯­f(x, ¯ ¯ 当母线的方向向量是S={l，m，n}时，柱面的方程是f lz,ym

0常见的二次曲面及图由方

0由方

1

1

1

z所表示的曲面称为椭圆抛

z所表示的曲面称为双曲抛­F(x,y, ¯®G(x,y, 0，其中F(x,y, 0与G(x,y, ¯­ ® y(t),给定一个t，便可得到曲线上的一点®¯°z¯投影柱面­F(x,y,z)设空间曲线C的一般方程为¯G(x,y,z)

)是空间曲线C关于xOy面的投影柱面。该柱面必定包含曲线C投影曲线（投影投影曲线的一般式方­F(x,y,z)设空间曲线C的一般方程为¯G(x,y,z)

，方程组消去变量z后所得的方H(xy)0CxOy­H(x, ¯ ¯投影曲线的参数式方­ f

­ fC参数方程为yg(t)®

®°z ° ­A1xB1yC1zD1¯ ®AxByCz 0该直线为两平面的交线，这里假设{A1,B1,C1}与{A2,B2¯ 线 y

p,其中(x,y, 为直线上的任

点，s{lmn}方向向量，lmn不全为零 nt,其中(x,y,z)为直线上的任意取定的一点 {lmn}为直线的方向向量 ¯ ¯lmn设平面31A1xB1yC1zD10和32A2xB2yC2zD20，平面31和32垂 A1A2B1B2C1C2平面3和3平 A1B1C1其中若某分母为零，则对应的分子也为零ABC ABC 平面31和32的夹角T可由以下确定cosT

(0dTdS2则设有两直线L: z1L: 则 （1）L1A p1 L// n1 p1mnp2mnp222

(0dIdS2设平面3：AxByCzD0，直线L: z1， LA L// · | Cp (0dI· 2P0(x0y0z0到平面3：Ax+By+Cz=0P0P1nJJ P0P1n P1P0cos(P0P1, 点P(x,y,z)到直线L： z1的距离是 P0P1uS P0P1uS P0P1sinP0P1, x1 y1 z1 其中P1(x1,y1,z1)与S分别是直 x1 y1 z1 {x1{x1x0, y0, z0}u{l,m,{l,m,第七章多元函数微分学多元函数的概念、极限与连续二元函数定DR2的一个非空子集称映射fDoRD上的二元函数fxy),(x f(x,y)的定义域为D，当(xy)取遍D上的一切点时，对应得到一个空间点^(x,y,z)z f(x,y),(x,y) D`,这个点集称为二元函数z 一元函数与多元函数的联系与区一元函数是二元函数的特殊情形：让一自变量变动，另一自变量固定，或让 沿某线变动，二元函数就转化为一元函数一元函数中，自变量x代表直线上的点，只有两个变动方向，而二元函数中，自变量(x,y代表平面上的点，它有无数个变动方向。（iii）一元函数 f b),也可以看成二元函数，其定义域是 b,f 二元函数极限的定义P(xyoP0(x0y0f(xAAf(xy)当(xyo(x0y0设二元函数 D意给定的正数H总存在正数G使得当P(x, U(P0,G)时都有|f(xy)A|H成立则Af(xy)当(xyox0y0极限与无穷小的关系

(x,yx,y

f(x, (x,yx,y

f(x,y) f(x,y)AD(x,y),((x,y)o(x0,y(x,yx,y(x,yx,y

D(x, 二元函数与一元函数之极限存在性的与一元函数极限中的“函数在一点处的极限存在当且仅当它在该点处的左、右极限存在且等”这个理论对应，在二元函数的极限中，极 (x,yx,y

fx 在，且等于A。

(x,yx,y

fxy注：若在定义域内沿某两条不同路径（如ykx， (x,yx,y

fxy的值相等或某一路径极 (x,yx,y

f(x,y)不存在，则可断言重极 (x,yx,y

fxy)不存在这是证明二元函数极限不存在的有效方法（1）如 (x,y)x,y

f(x, f(x0, 则称函数 二元函数在其定义域上连由自变量x的初等函数及其自变量y的初等函数经过有限次四则或复合而得的二元函数称在有界闭区域 上的二元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何多元函数的偏导偏导数的定 这函数对x的导数就称为二元函数z f(x,y)对于x的偏导数设函数 f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义当y固定在y0而x在x0处有增量'x 'x,y0 f(x0,y0)如果极限limf 'x,y0 f(x0,y0)存在则称此极限为函数 f(x,y)在点(x,yo x的偏导数记作

zx

f(x,y)xx0wfx

0wxy yy00

y类似地函数 f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义limf(x0, f(x0,y0o xy记

0zyx0

fy(x0y0y注wfyx

[例题]：求 x2sin2y的偏导数 2xsin2y, 2x2cos2 0 limf 'x, fx, 0 0wx(x,y o 0 fx,

x可见偏导数的几何意义为：曲线 y

（曲面 fx,y与平面 y0的交线）点M0(x0y0,fx0y0处的切线对x求偏导数，归结为求一元函数的导数­g(x,y),(x,y)z(x0,y0求f(x, (x, (x0,y0

在(x0y0

f 'x,y0 f(x0,y0 lim 'x,y0 o 1.fx二阶偏导

，试讨论在 上偏导数的存在性，在偏导数存在处求出偏导函数 fx,y在区域D内具有偏导

f(x,y)

fy(x,函数 fx,y的二阶偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导 w2 w w2 fxx(x,

fxy(x,wx

wy

w2 w w2 wx 混合偏导

fyx(x, wy 根据上面所说的四个二阶偏导数w2 w w2 wxwywx 同样可得三阶、四阶以及n阶偏导数 ）混合偏导数与求偏导的先后次序无w2 w2 fx,y的两个二阶混合偏导 wxwyw2

w2

，即二阶混合偏导数与求偏导数的先后次序无关xysin³例2.设函数Fx³0答案

dt， 12x12y设函数 fx,y在点(xy)的某邻域内有定义，如果在该点的全增量'f(x'x, f(x,y)可表示为 o(U) 其中A、B不依赖于'x、'y而仅与x、y有关则称函