全国优质课一等奖人教版小学数学六年级上册《数学广角-数与形》教学设计实录【优质版】

数学广角——数与形教学内容：人教版六年级上册第八单元P107例1。教学目标：使学生通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。让学生体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想，积累数学活动经验。介绍华罗庚、毕达哥拉斯等数学史实资料，让学生体会数学的魅力和研究的乐趣。教学重难点：探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律。四、教学准备：课件、各种颜色的小正方形。五、教学过程：一、唤起与生成师：提到“数学”，你会想到什么？生答师：如果把刚才同学们说的内容分类，一类可称为“数”，另一类可称为“形”，“数”和“形”是数学中两类最主要的研究对象。那么，数与形之间有没有关系呢？师：有的同学凭着感觉认为有，有的同学从来没有思考过这个问题，看看通过今天这节课的学习，你们有没有新的认识。下面就让我们一起研究“数与形”。（板书课题）师：我们的研究先从数开始，1、3、5......接下来是几？再往下是几？有什么规律？生答师：对，这组数的规律是每次增加2，也可以说他们都是连续的奇数。师：有同学也许会想这样的规律对于我们六年级的同学来说太简单了。那下面咱就来点有挑战性的课件出示：从1开始的n个连续奇数相加的和是多少？二、探究与解决从1开始的n个连续奇数相加的和是多少？师：n个是几个？生：无数个。师：这个n代表多少？可以代表300吗？生：可以。师：有可能是300个，有没有可能是30个？有没有可能是3个？也就是说，它的个数是不固定的。那它的个数不固定，它的和呢？生：也不固定。师：可见这个和必定和这个n有关系。那它到底有什么联系呢？怎么才能知道它有什么联系？师：你有方法吗？想一想你有没有好的思路？生：可以自己先算一算。师：怎么算？生：先算出10个，然后再进行推算。师：真好。他的意思是把n先假定在10个以内，对吗？很好的策略。复杂的问题往往要从简单的开始。那我们就听你的，把n的个数假定在10个以内，举一些例子来看一看他们有什么联系。几个最简单？生：1个。师：1个最简单，那我们来看。如果有1个这样的奇数那算式也只能是1，和也是1。师：如果有两个这样的奇数相加，那算式应该是什么样子的？生：1+3师：对吗？和呢？生：4师：它们是不是有联系？继续。3个。生：1+3+5师：同意吗？和呢？生：9师：再来一个。生：1+3+5+7师：同意吗？和是？生：16师：哎！1个和是1,2个和是4,3个和是9,4个和是16。你有什么发现？师：先在小组内说说你的发现。小组交流汇报师：那下面的这些算式是不是都有这个规律？请同学们任选一个验证一下。学生验证后，汇报交流。师：这些算式是不是都有这个规律？为了便于观察，我们可以将算式先隐藏起来，大家看一看，确认一下，有这个规律吗？师：按照刚才这个同学的说法，当有1个这样的奇数相加的时候，它的和就是1×1；也就是1的平方；当有2个这样的奇数相加，它的和4就是2的平方；9呢？3的平方；16呢？4的平方；25呢？5的平方。依次这样下去，看来真的有这样的规律。以此类推，如果有20个这样的连续奇数相加，你觉得它的和应该是多少？生：400师：怎么算的？生：20×20=400师：那如果有100个这样的连续奇数的和应该是多少？生：100×100=10000.师：以此类推，如果有n个这样连续奇数相加的和应该是多少？生：n的平方。师：齐读。生：从1开始的n个连续奇数相加的和是n的平方。师：这个规律有意思吗？从1开始的几个连续奇数相加，它的和竟然可以用它的个数的平方来算。你觉得奇怪吗？你不奇怪能不能来解释一下？为什么这样连续奇数相加的和可以用个数的平方来算？师：的确不太好解释，对吗？那该怎么办？我国伟大的数学家华罗庚先生说过：“不懂就画图”。师：我先给大家做个示范，哪个最简单？生：1师：我用1个红色的正方形来代表1，1行而且1个，1乘1还是1，那么1+3应该怎么表示？小组长拿出小组内的正方形，拼一拼。小组活动全班交流（选择拼成其他图形和正方形的）师：我们先来看这两幅图，能表示1+3吗？1在哪？3呢？这两幅图都能表示1+3，关键是我们不仅要表示出1+3，还要解释为什么能用2×2来表示，哪幅图更合适？师：2×2在哪里？师：看来拼成正方形就可以表示1+3和2×2，那1+3+5又该怎么拼？你来试试看。小组活动（同时找一生到黑板排列）师：大家都拼成正方形了吗？我看到大家拼的正方形的样子都不大一样，颜色排列不同，这位同学排的好不好？好在哪里？师：对，虽然都拼成了正方形，但我们数学要讲究顺序、规律、条理。这样，你能解释为什么1+3+5能用3²来算吗？生答师：1+3+5+7，你会拼吗？可是方块已经没有了，想一想，如果在这个基础上再增加7个，你觉得这个7可以怎么摆？拼完后是什么图形？师：（课件）是这样吗？这个正方形每行有几个？有几行？这些不同的颜色表示几？为什么1+3+5+7可以用4²来算？师：（课件）如果继续拼下去，再加一个奇数9，现在有几个奇数？是几的平方？为什么？师：再增加一个奇数11，和是？再增加一个13，和是？师：以此类推，如果有n个从1开始的连续奇数相加的和就是n²。师：现在明白了吗？我们是怎样弄明白的？生答师总结：数是很抽象的，很多道理我们需要借助形的力量来理解，把数化成形之后，可以使复杂的数量关系变得更加清楚、明白。我们把这样的过程叫做“化数为形，以形助数”。师：数的规律可以借助图形思考，那形的变化背后是不是也隐藏着数的规律？出示做一做师：我们来看，这几幅图有规律吗？以此类推第10幅图有多少个蓝色的小正方形？生独立完成全班交流师：借助图形说说你的做法。师：为什么不画图？是的，画图太麻烦了，这时就需要借助数的力量，把形的问题用计算来做会更加的快速、简便而且准确。我们把这样的过程叫做“化形为数，以数解形”课件展示规律计算师总结：回顾这两个例子，在第一个例子中，数的问题可以借助图形来思考，第二个例子，形的知识可以借助数来计算。数和形各有优点，它们一一对应，而且可以相互转化，互为补充，这就意味着我们在解决问题时要把数和形结合起来，这在数学上是一种重要的思想，叫做“数形结合思想”。师：对于“数形结合”，我国数学家华罗庚先生有一段话非常好。让我们一起读一遍：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。（齐读）师：数形结合百般好。可怎样做到数形结合呢？我想，这既是一种思想，就要落实到“思”和“想”上，也就是要见数思形，见形想数。试试你能不能做到？训练与应用（1）3×2=6平方厘米有这样一道算式，你能想到什么图形？（2）师：再来看，这是一位同学画的一副图形，它用来表示一个数，你觉得它是那一个数呢？（3）师：有这样一个数量关系，一袋大米中60千克，吃了四分之三，你能够想到用什么图形来表示它？（4）师：这样一个图形，你会想到是几的平方？为什么？师：边长为3可以用3的平方来表示，我们把3的平方还原成像第一张那样几个连续奇数的相加这个算式，这应该是什么样子的？师：那这样的一个算式又可以用几的平方来表示？师：那4的平方你又能想到什么图形？师：多大的正方形？师：如果把上边的算式合起来，和应该是多少？师：想一想，3的平方等于几？4的平方等于几？9+16=25，是5的平方师：5的平方你又能想到什么图形？师：大家看，一个有趣的算式出现了，3的平方加4的平方等于5的平方，这个有趣的算式背后还隐藏着有趣的图形，大家看，直角三角形它的一条直角边如果是3，另一条直角边是4，那他的斜边就一定是5，这是我们初中要学的一个重要的定理。师：下面给大家介绍一些有意思的数。像当中的这些数化成图形都是正方形，我们就把这样的数叫做“正方形数”；按照这样的叫法，这些数叫做“三角形数”；这些可以叫“梯形数”这些呢？“五边形数”，像这样的数还有很多。我们现在再来感受一下这些数。你觉得这些数它还只是数吗？它有形状吗？这些形它还只是形吗？它有数吗？数和形，形和数能分得开吗？所以数学上也没把他们分开，我们就把这样有形状的数叫做“形数”，知道形数是谁发现的吗？他叫“毕达哥拉斯”，他有一个著名的理论，他认为世界上万事万物的背后都隐藏着数的规律，它还举了一个例子，1可以用1个点来表示，2用两个点来表示，那它就可以连成一条线，3个点就可以连成一个平面，不同平面的4个点连在一起，他就是一个立体图形。大家想，世界上的万事万物背后，是不是都是以或点、或线、或面、或体这样的形式存在的，所以他们认为，“万物皆数”。四、小结与提高师：这节课马上就要结束了，老师问问大家，学完这一节课后你有什么体会？或者说你对于数和形的认识有没有发生一些