线代同济5第三章4节

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线性方程组的解法本节讨论一般线性方程组的求解问题.问题:1.线性方程组有解的充要条件是什么?(解的存在性)2.若有解,有多少个解?(解的惟一性)3.若解不惟一,解之间的关系是什么?(解的结构)4.如何求线性方程组的解?上页下页返回2一、线性方程组解的存在性1.定义设有n元线性方程组这是一个有n个未知量m个方程的线性方程组,上页下页返回3矩阵分别称为方程组(1)的系数矩阵和常数项向量.并称矩阵

为方程组(1)的增广矩阵.上页下页返回4利用矩阵乘法方程组(1)可表示成

AX=b(2)

当方程组(1)右端的常数项bi不全为零时,称(1)为非齐次线性方程组;上页下页返回线性方程组(1)如果有解，则称方程组是相容的;线性方程组(1)如果无解，则称方程组是不相容的.5AX=0;(4)或当bi

全为零时，称其为齐次线性方程组，即为齐次线性方程组定有一组零解存在.上页下页返回62、非齐次方程组有解的条件方程组(3)总有一组全为零的解存在.而(1)不同,它不一定总有解存在.

定理5:n元线性方程组AX=b

(1)无解的充分必要条件(2)有唯一解的充分必要条件上页下页返回(3)有无穷多解的充分必要条件7上页下页返回证充分性设R(A)=r,故B=(A,b)的行最简形为8上页下页返回(1)若则最简形(A,b)中的dr+1=1,于是(A,b)的第r+1行对应矛盾方程0=1,故方程无解．(2)当则(A,b)中的dr+1=0,且bij都不出现(最简形左上角为n阶单位阵),则由最简形矩阵知

9上页下页返回(3)当则(A,b)中的dr+1=0,则(A,b)对应的方程组可写为称为自由未知数．若令10上页下页返回则得方程组(1)的含n-r个参数的解，11上页下页返回即由于参数可任意取值，故方程组(1)有无穷多个解．(6)解(6)称为线性方程组(1)的通解．12例:求解三元线性方程组得同解方程组上页下页返回变形得:方程组的解13二、线性方程组的解法1.非齐次方程组的解法上页下页返回解方程组(1)的步骤为:1)写出增广矩阵再用初等行变换把化为行阶梯形矩阵B1;142)由B1的前n列所构成的矩阵的非零行数,判断R(A)是否等于以确定方程组是否有解;3)若有解,再将B1用初等行变换化为行最简形矩阵.(非零首元都为1,且非零首元所在的列其余元素全为零),即4)写出方程组(1)的含有n-r个参数的解.注:解线性方程组只能用初等行变换,不能用列变换,因为列是不同变量的系数,不能作倍加列变换.上页下页返回而作其它两种变换后,容易将未知量搞错.15例1:求解线性方程组解:对增广矩阵进行初等行变换上页下页返回16由此可看出所以方程组有无穷多解.选取一个不等于0的3阶子式,将对应的矩阵化为3阶单位阵得同解方程组其中可取任意值（参数）

上页下页返回17若令得一特解或令得此式包含了方程组的全部解，称为通解.上页下页返回18例2:求解方程组解:对增广矩阵进行初等行变换可见

∴方程组无解.上页下页返回19例3:λ取何值时，非齐次线性方程组1)有唯一解;2)无解;3)有无穷多个解.解:系数矩阵和增广矩阵分别为上页下页返回201)当λ≠0,λ≠1时,故|A|≠0,∴方程组有唯一解.2)当λ=1时，上页下页返回213)当λ=0时，∴方程组无解.∴方程组无穷多解.上页下页返回222.齐次线性方程组的解法对于齐次线性方程组由于增广矩阵总有故方程组(3)总有解.上页下页返回231)若R(A)=n(未知量的个数)，则有唯一解:

2)若R(A)=r<n,则有含n-r个参数的非零解.(零解).n个方程的n元齐次线性方程组注:有非零解的充要条件是其系数行列式

结论：

上页下页返回24例4:求解齐次线性方程组解:上页下页返回25上页下页返回26或令x4＝3k,得∵R(A)＝3,故可取x4为参数，即得方程组的解上页下页返回27定理7:矩阵方程