高考湖南卷理科数学试题及详细解答

2006年高考.湖南卷.理科数学试题及详细解答2006年高考.湖南卷.理科数学试题及详细解答/2006年高考.湖南卷.理科数学试题及详细解答2006年一般高等学校招生全国一致考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共5页。全卷共150分。考试用时120分钟。第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题:本大题共10小题，每题5分，共50分别。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的。1.函数ylog2x2的定义域是()A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(4,+∞)D.[4,+∞)2.数列{an}满足:a11,且关于任意的正整数m,n都有amnaman,则3lim(a1a2an)()nA.1B.2C.3D.22323.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A.4条B.6条C.8条D.12条4.“a=1”是“函数f(x)|xa|在区间[1,+∞)上为增函数”的()A.充分不用要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件5.已知|a|2|b|0,且关于x的方程x2|a|xab0有实根,则a与b的夹角的取值范围是( )A.[0,6]B.[,]C.[,2]D.[,]33366.某外商计划在四个候选城市投资3个不同样的项目,且在同一个城市投资的项目不高出2个,则该外商不同样的投资方案有()A.16种B.36种C.42种D.60种7.过双曲线M:x2y21的左极点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相b2交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是()A.10B.5C.10D.5328.设函数f( )xa,会集M={x|f(x)0},P={x|f'(x)0},若MP,则实数a的取值范围xx1是()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)9.棱长为2的正周围体的四个极点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正周围体的截面)的面积是()A.2B.322C.2D.310.若圆x2y24x4y100上最少有三个不同样点到直线l:axby0图122,的距离为则直线l的倾斜角的取值范围是()A.[,4]B.[12,5]C.[,]D.[0,]1212632第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共5小题，每题4分，(第15小题每空2分)共20分，把答案填在答题卡相应地址上。11.若(ax1)5的张开式中x3的系数是-80,则实数a的值是.x1,12.已知xy10,则x2y2的最小值是.2xy2013.曲线y1和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积x是.14.若f(x)asin(x)bsin(x)(ab0)是偶函数,则有序实数对(a,b)可以44是.(注:只要填满足ab0的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).15.如图

2,OM∥AB,点P在由射线

OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影地域内(不含界线

)运动,且OP

xOA

yOB,则x的取值范围是

;当x1.P时,y的取值范围是B2MOA图2三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（.本小题满分12分）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.(1)证明sincos20;Aα(2)若AC=3DC,求的值.βB图3DC17.（本小题满分12分）某安全生产督查部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必定进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检可否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):(Ⅰ)恰好有两家煤矿必定整改的概率;(Ⅱ)平均有多少家煤矿必定整改;(Ⅲ)最少关闭一家煤矿的概率.P18.（本小题满分14分）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.DC(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;AB(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.19.（本小题满分14分）Q图4已知函数f(x)xsinx,数列{an}满足:0a11,an1f(an),n1,2,3,.证明:(ⅰ)0an1an1;(ⅱ)an11an3.6（本小题满分14分）对1个单位质量的含污物体进行冲刷,冲刷前其干净度(含污物体的干净度定义污物质量为:1)为0.8,要求洗完后的干净度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一物体质量(含污物)次冲刷

;方案乙

:两次冲刷

.该物体初次冲刷后受残留水等因素影响

,其质量变为

a(1≤a≤3).

设用x单位质量的水初次冲刷后的干净度是

x0.8(

x

a1),

用

y质量的水第二次冲刷后的干净x1度是

y

ac,其中

c(0.8

c0.99)

是该物体初次冲刷后的干净度

.ya(Ⅰ)分别求出方案甲以及c0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙

,当a为某定值时

,如何安排初次与第二次冲刷的用水量

,使总用水量最少

?并谈论a取不同样数值时对最少总用水量多少的影响21.（本小题满分14分）

.已知椭圆C1:x2y21,抛物线C2:(ym)22px(p0),且C1、C2的公共弦AB43过椭圆

C1的右焦点.(Ⅰ)当AB⊥x轴时,求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点可否在直线AB上；(Ⅱ)可否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出吻合条件的m、p的值；若不存在，请说明原由.答案：DADABDACCB11.212.513.314.(1,1)15.(,0)，(1,3)4221．函数ylog2x2的定义域是log2x2≥0，解得x≥4，选D.2．数列{an}满足:a11m,n都有amnamana2a11a1a11,且对任意正整数，39an1ana11an，∴数列{an}是首项为1，公比为1的等比数列。333lim(a1a2an)a11，选A.D1n1q2C13．如图，过平行六面体ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,A1B1DCAB其中与平面DBB1D1平行的直线共有12条，选D.4．若“a1”，则函数f(x)|xa|=|x1|在区间[1,)上为增函数；而若f(x)|xa|在区间[1,)上为增函数，则0≤a≤1，所以“1”是“函数f(x)|xa|在区间[1,)上为增a函数”的充分不用要条件，选A.．|a|2|b|0,且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则|a|24ab≥0，设向量5ab1|a|21a,b的夹角为θ，cosθ=≤4，∴θ∈[,]，选B.|a||b|12232|a|6．某外商计划在4个候选城市投资3个不同样的项目,且在同一个城市投资的项目不高出2个，则有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有C1A236种方案，二34是在三个城市各投资1个项目，有A4324种方案，共计有60种方案，选D.．过双曲线M:x2y21的左极点A(1，作斜率为1的直线l：若l与双曲线M7b20)y=x－1,的两条渐近线x2y20分别订交于点B(x,y),C(x,y),联立方程组代入消元得b21122x1x22221b2，x1212，又|AB||BC|,则B为AC中点，(b1)x2x10，∴=2xx1+xx1x21b2x114c2x1=1+x2，代入解得10，选A.，∴b2=9，双曲线M的离心率e=x21a28．设函数f(x)xa会集M{x|f(x)0}，若a>1时，M={x|1<x<a}；若a<1时M={x|x,1a<x<1}，a=1时，M=；P{x|f(x)0}，∴f('x)=(x1)(xa)时，P=R，(x1)2>0，∴a>1a<1时，P=；已知MP,所以选C.9．棱长为2的正周围体ABCD的四个极点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB=2，E为AB中点，则EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=3，DC=2，∴EF=2，∴三角形ABF的面积是2，选C.10．圆x2y24x4y100整理为(x2)2(y2)2(32)2，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上最少有三个不同样的点到直线l:axby0的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，∴|2a2b|≤2，∴(a)24(a)1≤0，∴23≤(a)≤23，k(a)，a2b2bbbb∴23≤k≤23，直线l的倾斜角的取值范围是[5，]，选B.1212二．填空题：11．212．513．314．(1,1)15．(,0)，(1,3)42211（ax1)5x33(ax)323x3x3，C的张开式中的系数C5(1)10a=80．y则实数a的值是－2.

Bx112．已知xy10，如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，A2xy20x4)，则x2y2的最小值是5.O13．曲线y1和yx2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程x3分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与x轴所围成的三角形的面积是.414．ab≠0，f(x)asin(x)bsin(x)a(2sinx2cosx)b(2sinx2cosx)是偶函442222数，只要a+b=0即可，可以取a=1，b=－1.15．如图,OM//AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的地域内(不含界线)运动,且OPxOAyOB，由向量加法的平行四边形法规，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，∴x的取值范围是(－∞，0)；当x1时，要使P点落在指定地域内，即P点应落在DE上，2131，3CD=OB，CE=OB，∴y的取值范围是().2222三、解答题：本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（本小题满分12分）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.A(1)．证明sincos20;αβ（2）．若AC=3DC,求BDC的值.图3解：(1)．如图3，(2)2,sinsin(2)cos2，222即sincos20．（2）．在ABC中，由正弦定理得DCAC,DC3DC.sin3sinsinsin()sinsin由(1)得sincos2，sin3cos23(12sin2),即23sin2sin30.解得sin3或sin3．230,sin3,.22317.（本小题满分12分）某安全生产督查部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必定进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检可否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):(Ⅰ)恰好有两家煤矿必定整改的概率;(Ⅱ)平均有多少家煤矿必定整改;(Ⅲ)最少关闭一家煤矿的概率.解：（Ⅰ）．每家煤矿必定整改的概率是1－0.5，且每家煤矿可否整改是相互独立的.所以恰好有两家煤矿必定整改的概率是P1C52(10.5)20.5350.31.16（Ⅱ）．由题设，必定整改的煤矿数遵从二项分布B(5,0.5).从而的数学希望是E＝50.52.5，即平均有2.50家煤矿必定整改.(Ⅲ)．某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P2(10.5)(10.8)0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿可否被关闭是相互独立的，所以最少关闭一家煤矿的概率是P10.950.41318.（本小题满分14分）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.PzPDCDCOABABxyQQ图解法一：（Ⅰ）．连接AC、BD，设ACBDO.由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.（II）由题设知，ABCD是正方形，所以ACBD．由（I），PQ平面ABCD，故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是P(0,0,1)，Q(0,0,2)，B(0,22,0)所以AQ(22,0,2),PB(0,22,1),于是cosAQPB3AQ,PBPB.AQ9从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos3.9(Ⅲ)．由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－22，0），AD(22,22,0)，PQ(0,0,3)，设n(x,y,z)是平面QAD的一个法向量，由nAQ0得2xz0.nAD0xy0取x=1，得n(1,1,2).PQn32所以点P到平面QAD的距离d..n2解法二：（Ⅰ）．取AD的中点M，连接PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM.从而AD⊥平面PQM.又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）．连接

AC、BD

设

AC

BD

O，由

PQ⊥平面

ABCD

及正四棱锥的性质可知

O在PQ上，从而取OC的中点

P、A、Q、C四点共面N，连接PN．

.因为PO1,NONO1，所以PONO，POQ2OAOC2OQOA从而ＮＮ（或其补角）是异面直线AQAQ∥P.∠BPDC与PB所成的角.连接BN，MOBA因为PBOB2OP2(22)213．PNON2OP2(2)213QBNOB2ON2(22)2(2)210所以cosBPNPB2PN2BN293103．2PBPN2339从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos3．9(Ⅲ)．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PＱM，所以平面PＱM⊥平面QAD.过Ｐ作ＰＨ⊥ＱＭ于Ｈ，则ＰＨ⊥平面QAD，所以ＰＨ的长为点P到平面QAD的距离．连接OM，则OM1AB2OQ.所以MQP45，2又ＰＱ＝ＰＯ＋ＱＯ＝３，于是PHPQsin4532.2即点P到平面QAD的距离是32.219.（本小题满分14分）已知函数f(x)xsinx,数列{an}满足:0a11,an1f(an),n1,2,3,.证明:（I）．0an1an1;（II）．an11an3.6证明:（I）．先用数学归纳法证明0a1，ｎ＝1,2,3,n(i).当n=1时,由已知显然结论建立.(ii).假设当n=k时结论建立,即0ak1.因为0<x<1时f'(x)1cosx0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在[0,1]上连续,从而f(0)f(ak)f(1),即0ak11sin11.故n=k+1时,结论建立.由(i)、(ii)可知，0an1对所有正整数都建立.又因为0an1时，an1anansinanansinan0，所以an1an，综上所述0an1an1．（II）．设函数g(x)sinxx1x3，0x1．由（I）知，当0x1时，sinxx，6从而g'(x)cosx1x22sin2xx22(x)2x20.22222所以g(x)在(0,1)上是增函数.又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,所以当0x1时，g(x)>0建立.于是g(an)0,即sinanan1an30．6故an11an3．620.（本小题满分14分）对1个单位质量的含污物体进行冲刷,冲刷前其干净度(含污物体的清污物质量洁度定义为:1物体质量(含污物)

)为0.8,要求洗完后的干净度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次冲刷;方案乙:两次冲刷.该物体初次冲刷后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次冲刷后的干净度是x0.8(xa1),用y质量的x1水第二次冲刷后的干净度是yac,其中c(0.8c0.99)是该物体初次冲刷后的干净度.ya(Ⅰ)分别求出方案甲以及c0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次冲刷的用水量,使总用水量最少?并谈论a取不同样数值时对最少总用水量多少的影响.解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有x0.8=0.99,解得x=19.由c0.95得方案乙初次用水量为x13,第二次用水量y满足方程:y0.95a0.99,解得y=4a,故z=4a+3.即两种方案的用水量分别为19与4a+3.ya因为当1a3时,xz4(4a)0,即xz,故方案乙的用水量较少.（II）设初次与第二次冲刷的用水量分别为x与y，近似（I）得x5c4，ya(99100c)（*）5(1c)于是x5c41100a(1c)a1y+a(99100c)5(1c)5(1c)当a为定值时,x1100a(1c)a1a45a1,y25(1c)1当且仅当100a(1c)时等号建立.此时5(1c)c111(0.8,0.99),10(不合题意,舍去)或c15a5a10将c11代入（*）式得x25a1a1,y25aa.105a故c11时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为105a25a1与25aa,最少总用水量是T(a)a45a1.当1a3时,T'(a)2510,故T(a)是增函数(也可以用二次函数的单调性判a断).这说明,随着a的值的最少总用水量,最少总用水量最少总用水量.21.（本小题满分14分）已知椭圆C1:x2y21,抛物线C2:(ym)22px(p0),43且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(Ⅰ)当AB⊥x轴时,求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点可否在直线AB上