高级stata教程48集含讲义数据do配套mle intro

STATA连著关于作者：经济连中山大学岭南学院金融中文版本版本1.0，二○○八年和连拥 c2007–2008 将。其一，用做授课讲义，帮助岭南学院的学习其二，恳请大家对书稿提出修改意见，包括书稿的结构安排、表述错误，以及错别字等细书稿的使用仅限于岭南学院范围内 外传或散布于网络第五章最大似然估 基本概 对数似然函 范例1：均值-方 范例2：线性回归模 最大似然估基本概对于分布独立的x1,x2,,xn，假设其密度函数为fi(xi|θ)，根据最大似然估计的原理，我们可以通过极大化如下联合密度函数获得未知参数θ的估计值：Ln(θ)i

fi(xi|θ (5-这里，L表示似然函数，其下标n表示样本数为n，而待估参数向量则为θ。此外，需要的是，由于密度函数fi带有下标i，所以我们并未假设所有观察值都具有相同的密度函数。为了求解的方便，我们通常会对上述似然函数作对数转lnLn(θ)i

lnfi(xi|θ (5-使对数似然函数极大化的一阶条件n∂lnLn(θ)=n

∂lnfi(xi|θ

= (5-∂ ∂i由此可得到参数向量θ的估计值θˆ。为保证θˆ能够极大化对数似然函数，我们尚需验证其二阶 ∂lnLn(θ)=X∂lnfi(xi|θ (5-∂θ∂θ

i

∂θ∂θ是否为负定矩阵。若此条件得以满足，则θˆ便是参数向量θ最大似然估计量(MaxLikelihoodEstimator,MLE)。1最大似然估计的前提条件时，能够写出密度函数的完整设定，而其中又包含了一系列待估参数。需要说明的是，进行统计推断并不需要设定密度函数。例如，对于某一分布而言，即使其分布类型未知，我们仍然可以采用样本平均数和样本方差来估计其均值和方差。在传统的线性回归模型中，S估计量的获得并不需要正态分布假设当然，要分析S估计量的分布特征，我们通常会使用正态分布假设)。假设xii.i.d.N(µ,σ2)i12n。此时，θµσ20应的对数似然函数 lnLn(µ,σ

(xi−—i

2πσ

2σ 1Xn==−ln2π lnσ2 (xi−=一阶条件

2σ2i∂lnLn(µ,σ

1 ∂lnLn(µ,σ=∂

2=2∂lnLn(µ,σ

σ (xi− = =0 1n 02由此我们可以ˆσˆ2如下

∂σ 2σn1

2σ4i

(xi−ˆ=

xi=in2 =将上述结果代入对数似然函数的二阶条

i

∂2lnLn(µ,σ∂θ∂θ

∂2lnLn(µ,σ∂2lnLn(µ,σ∂σ

∂2lnLn(µ,σ∂µ∂σ∂2lnLn(µ,σ∂(σ 1—σ −σ (xi− 1

i—, —,可得

σ

(xi—2i2

σ6in(ˆ − n ∂θ∂θ显然，这是一个负定矩阵，因µˆσˆ2的确是µσ2的最大似然估计量(MLE)对于传统的线性回归模型，若假设其满足所有基本假设条件，且干扰项服从正态分布，那么我们可以采用MLEβ和σ2yi∼i.i.dN(xi0β,σ i=1,..., y∼N(Xβ,σ相应的对数似然函数lnLn(β,σ2)=−nln2π−nlnσ2−1(y−Xβ)0(y− 2σ一阶条件

∂lnLn(β,σ ∂ =σ2X(y−Xβ)=∂lnLn(β,σ ∂σ =−2σ2+2σ4(y−Xβ)(y−Xβ)=βˆ=010y= 可见βˆ与OLS估计量b相同，而σˆ2则与OLS估计量s2e0e/(nk存在一些差异，主要表将上述结果代入对数似然函数的二阶条∂2lnLn(β,σ ∂2lnLn(β,σ ∂β∂ ∂β∂σ σ2 −σ4X0(y−,∂2lnL(β,σ ∂2lnLn(β,σ n∂σ2∂ ∂(σ

—σ

(y−

2σ

—σ

可得

—1 —该矩阵同样是正定的，因此βˆσˆ2分别βσ2的最大似然估计量(MLE)范例：均值-假设xii.i.d.N(µσ2)i12n。此时，θµσ20应的对数似然函数 lnLn(µ,σ

(xi− 2σi

2πσ 1n=−ln2π lnσ2 (xi−2我们亦可采用如下表示方法

2σ2ilnli=lnφ{(xi−µ)/σ}−ln范例：线性回归模对于传统的线性回归模型，若假设其满足所有基本假设条件，且干扰项服从正态分布，那么我们可以采用MLEβandσ2iyi∼i.i.dN(x0β,σ i=1,..., y∼N(Xβ,σi对数似然函数lnLn(β,σ2)=−nln2π−nlnσ2−1(y−Xβ)0(y− 2σ对应于每个观察值，我们可以把对数似然函数表示lnli=lnφ{(xi−µi)/σi}−ln其中范例：一个简单的非线性模

µi=xiσi=zi3yj=β1x1j+β2x2j+β3xβ4+β5+ε 3其中，εj∼N(0,σ2)。该模型对应的对数似然函数3lnlj=lnφ{(yj−θ1j−θ2jxθ3j)/θ4j}−lnθ4 3其中，参数设定如下

θ1j=β1x1j+β2x2j+β5θ2j=β3θ3j=β4θ4j=范例：WeibullWeibull模型中第j个观察值对应的对数似然函数 2 1 1lnl=−(t/eθ1j)eθ2j+ — +(eθ2j− 2 1 1j其中包含两个未知参

θ1j=lnηj=x1jβ1θ2j=lnγj=x2jSTATA中设定对数似然函数时，我们可以把相同的项定义为暂时性变量，以便简化似然 =eθ2 y1je−θ1j=(tj/eθ1j =ln(y2j)−θ1j=(lntj−θ1j范例：LogitLogit模型研究二元变量的影响因素。假设我们想要研究上市公司融资行为的决定因素，被解释变量i为上市公司是否 。显然，i是一个二元变量，只有0和1两个取值，定义

y 1若第i家公 0其

(5-我们可以将yi视为随量Yi的实现值，Yi有1和0两个取值，相应的概率分别为πi1−πiYi服从贝努力(Bernoulli)分布，参数为πi，可表iPrYi=yi=πyi(1−πi)1−yi 其中，yi=0, (5-i显然，若yi1，则上式为πi；若yi0，则上式为1πi。yi=π(xi)+εi (5-其中，εi为随机干扰项，有两个可能的yi=1εi=1π(xi)，相应的概率为π(xi)yi=0εi=−π(xi)，相应的概1π(xi)。因此，ε服从均0，方差为π(xi)[1−π(xi)]的分布。为了能使π(xi介于01之间，通常将其定义iexp(x (5-i这称为Logit的逆变换(antilogit)

π(x)i

1+exp(xi个观察值对应的似然函数π(xi)yi[1−π(xi)]1−yi (5-假设所有观察值都是彼此独立的，则样本似然函数为所有观察值对应的似然函数之L(β)i

π(xi)yi[1−π(xi)]1