函数极限与连续

函数极限与连续第1页，共53页，2023年，2月20日，星期三1.分析基础:函数,极限,连续(上册第一章）

2.微积分学:一元微积分(上册第二、三章)4.无穷级数(下册)3.向量代数与空间解析几何(下册)二、主要内容多元微积分(下册)

任务:通过一年的学习,要牢固掌握基本概念、基本理论、基本计算方法;能熟练地用所学的方法去解决一些实际问题.高等数学的核心是微积分.

上页下页第2页，共53页，2023年，2月20日，星期三第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数、极限与连续

上页下页第3页，共53页，2023年，2月20日，星期三

第一章1.1.2常量与变量1.1.3函数的概念1.1.1集合第1.1节函数1.1.4函数的基本性质1.1.5反函数和复合函数1.1.6初等函数

上页下页第4页，共53页，2023年，2月20日，星期三

一般以大写的拉丁字母A,B,C,M,X,…等表示集合，以小写的拉丁字母a,b,c,m,x,…等表示集合的元素.

a是集合A的元素，读作a属于集合A，记作元素a不属于集合A，记作1.1.1集合一、集合的概念及运算常用的数集及记号：全体实数的集合R=

上页下页第5页，共53页，2023年，2月20日，星期三xOy平面上全体点组成的集合:自然数集:整数集合:有理数集:正整数集:

上页下页

p与q

互质(直积)第6页，共53页，2023年，2月20日，星期三2.集合之间的关系及运算若且则称A

与B

相等,记作记作A是B的子集,或称B包含A,

上页下页

子集交集且差集且余集或补集并集或为全集）运算规律（交换律，结合律，分配律，对偶律）第7页，共53页，2023年，2月20日，星期三开区间闭区间二、区间与邻域无限区间abox

上页下页半开区间[]有限区间区间长度两端点间的距离(线段的长度)第8页，共53页，2023年，2月20日，星期三例1

用区间表示下列点集.

上页下页第9页，共53页，2023年，2月20日，星期三点a的

邻域其中a

称为邻域中心,

称为邻域半径.去心

邻域左

邻域:右

邻域:

上页下页2.邻域第10页，共53页，2023年，2月20日，星期三1.1.2

常量与变量常量常用a,b,c,……等表示,变量常用x,y,z,s,t,u,v,……表示.1.1.3函数的概念1.函数的定义定义1.设x和y是两个变量，数集D中每取定一个值时，y按照某种对应法则f总有唯一确定的值与之对应，则称y是

x的函数，记作如果当x在

上页下页第11页，共53页，2023年，2月20日，星期三定义域称为值域.自变量因变量称为函数的图形.若对于每一个与之对应的y值是唯一的，这种函数称为单值函数.之对应，则称为多值函数.

如果对应于一个x值可以有两个或两个以上的y

值与

上页下页第12页，共53页，2023年，2月20日，星期三如：由方程可确定y

是x

的一个多值函称为这个多值函数的两个单值分支.数.

上页下页第13页，共53页，2023年，2月20日，星期三

对应法则

定义域使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.（定义域的两种情况）2函数概念的两要素例2

判断下列各组中的函数是否为同一函数.

上页下页第14页，共53页，2023年，2月20日，星期三

求由解析式表示的函数的定义域时,常有以下四种情况:(1)分式中分母不能为零;(2)偶次方根号下的表达式大于或等于零;(3)几类特殊函数特殊对待,如对数的真数必须大于零,(4)分段函数的定义域为各段上定义域之并.例3

求下列函数的定义域,并用区间表示.

上页下页反正弦后面的表达式的绝对值小于或等于1,……第15页，共53页，2023年，2月20日，星期三如,绝对值函数定义域值域三、函数表示方法

表格法图示法解析法在定义域的不同部分(互不相交)用不同的数学式子表示的函数称为分段函数.

上页下页第16页，共53页，2023年，2月20日，星期三例4.

已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域(再介绍几个函数的例子)

上页下页第17页，共53页，2023年，2月20日，星期三符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当

上页下页第18页，共53页，2023年，2月20日，星期三狄利克雷函数x

为有理数x为无理数实际问题举例：例5

火车站收取行李托运费的规定如下:当行李不超过50kg时,按基本运费计算,如从长沙到某地每kg收0.15元；当超过50kg时,超重部分按每kg收0.25元.试求长沙到该地的行李托运费y(元)与重量x(kg)之间的函数关系.

上页下页解第19页，共53页，2023年，2月20日，星期三1.1.4

函数的基本性质设函数且有区间(1)有界性说明:

还可定义有上界、有下界、无界.

(2)单调性使称

为有界函数.使称

在I

上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.称为有上界称为有下界O

上页下页时,称为I

上的称为I

上的单调递增函数;单调递减函数.当第20页，共53页，2023年，2月20日，星期三且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,

偶函数双曲余弦记

上页下页(3)奇偶性第21页，共53页，2023年，2月20日，星期三又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记

上页下页第22页，共53页，2023年，2月20日，星期三(4)周期性则称为周期函数

,称

T为周期(一般指最小正周期

).周期为周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常值函数狄利克雷函数x

为有理数x为无理数

上页下页第23页，共53页，2023年，2月20日，星期三1.1.5

反函数与复合函数一、反函数（回顾定义）习惯上,的反函数记成则其反函数(减)，1)若y＝f(x)单调递增(减).且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.

上页下页第24页，共53页，2023年，2月20日，星期三例如,对数函数互为反函数

,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数回顾：如何求反函数？

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由方程解出再将与对换,即得所求函数的求分段函数的反函数,只要分别求出各区间段的反函数反函数及定义域即可.

求反函数的一般步骤为:第25页，共53页，2023年，2月20日，星期三例5、求下列函数的反函数.解

上页下页第26页，共53页，2023年，2月20日，星期三(3)解由

,得反函数为

由,得反函数为于是反函数为综上所述,所求反函数为由,得

上页下页第27页，共53页，2023年，2月20日，星期三二、复合函数

则设有函数称为由①,②确定的复合函数

,①②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数

但函数不能构成复合函数

.可构成复合函数.函数

可构成复合函数.

上页下页第28页，共53页，2023年，2月20日，星期三两个以上函数也可构成复合函数.例如,构成的复合函数为例6、求的定义域.

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求复合函数定义域的步骤是“从外到内”(即由外层到内层考察相应函数在满足前一层次条件下的定义域,直到最内层),求出使算式有意义的一切实数.解由,得第29页，共53页，2023年，2月20日，星期三例7、已知f(x)的定义域为(0,4]，求f(x+a)的定义域.例8、已知求例9、已知求f(x)的表达式.

解

由,域为解得故解(代入法)

上页下页解

令得于是由原式得故……的定义第30页，共53页，2023年，2月20日，星期三例10、已知求f(x)及

上页下页解

因为

故第31页，共53页，2023年，2月20日，星期三及定义域.例11

已知求的表达式解

由函数的表达式可得:从而又故定义域为

上页下页解故定义域为求的表达式和定义域.例12

设第32页，共53页，2023年，2月20日，星期三1、指数函数一、基本初等函数

指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数、双曲函数统称为基本初等函数。基本初等函数第33页，共53页，2023年，2月20日，星期三2、对数函数第34页，共53页，2023年，2月20日，星期三3、幂函数第35页，共53页，2023年，2月20日，星期三4、三角函数正弦函数第36页，共53页，2023年，2月20日，星期三余弦函数第37页，共53页，2023年，2月20日，星期三正切函数第38页，共53页，2023年，2月20日，星期三余切函数第39页，共53页，2023年，2月20日，星期三正割函数第40页，共53页，2023年，2月20日，星期三余割函数第41页，共53页，2023年，2月20日，星期三5、反三角函数第42页，共53页，2023年，2月20日，星期三第43页，共53页，2023年，2月20日，星期三第44页，共53页，2023年，2月20日，星期三

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数,双曲函数统称为基本初等函数.第45页，共53页，2023年，2月20日，星期三6、双曲函数奇函数.偶函数.第46页，共53页，2023年，2月20日，星期三奇函数,有界函数,第47页，共53页，2023年，2月20日，星期三双曲函数常用公式第48页，共53页，2