8-7 指数运算及指数函数（精讲）（基础版）（解析版）

8.7指数运算及指数函数（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一指数的运算【例1】（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）（2）(a>0，b>0).（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】1）原式（2）原式＝.（3）原式.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）计算：(1)(2)；(3)(4)求值：【答案】(1)(2)(3)625(4)【解析】由对数和指数的运算求解即可.(1)(2)(3)原式.(4)2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)因为，且，所以；(2)因为，所以，则，因为，所以舍去）；(3)解：.3（2023·全国·高三专题练习）（1）计算：；（2）已知是方程的两根，求的值.【答案】（1）16；（2）．【解析】（1）原式＝；（2）由题意，，又，而，所以，所以，考点二指数函数的三要素【例2-1】（2022大同期中）函数是指数函数，则有（）A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1【答案】C【解析】由已知得，即，解得。故答案为：C【例2-2】（2022赣州）函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，当且仅当，即时等号成立，所以的值域是．故答案为：B．【一隅三反】1．（2022保山月考）若函数是指数函数，则（）A．或 B．C． D．且【答案】C【解析】由题意得，解得.故答案为：C2．（2022湖北期末）已知实数a的取值能使函数的值域为，实数b的取值能使函数的值域为，则（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】依题意知：的值域为，则若函数的值域为，则的最小值为2，令解得：∴5．故答案为：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则_________．【答案】【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，当时，由，可得，解得，合乎题意.故答案为：.4．（2022·上海·高三开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】令，由题意得的值域为，又的值域为，所以解得所以的取值范围为．故答案为：考点三指数函数的性质【例3-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数为增函数，若在区间上是增函数，由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数，又在区间上是增函数，所以，故有.故选：B．【例3-2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））设函数则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为，所以，解得．综上，实数的取值范围是．故选：B．【例3-3】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知，则a，b，c大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为.所以.因为.所以.所以.故选：A.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．2．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，又恒成立，即恒成立，因为在上单调递减，所以，所以，即；故选：B3．（2022·上海长宁·二模）若函数存在反函数，则常数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数存在反函数，所以函数在上单调，若单调递增，即，则在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，所以；若单调递减，即，则在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，所以；综上可得；故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则k的取值范围为____________．【答案】【解析】因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示：由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是．故答案为：4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.【答案】.【解析】函数的定义域为R.因为，所以，所以，即是奇函数.因为为增函数，所以为减函数，所以在R上为减函数.所以可化为.所以，解得：或.故答案为：.考点四指数函数的综合运用【例4】（2022南京月考）已知函数函数（1）若的定义域为R求实数m的范围.（2）若函数y=|f(x)-3|-k=0在区间[-2，1]上有且仅有1个解，求实数k的范围，（3）是否存在实数a，b使得函数的定义域为[a，b]且值域为[2a，2b]？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.【答案】见解析【解析】（1）解：定义域为R，则对任意恒成立，时，不恒成立，时，且，解得；综上，实数m的取值范围是.（2）解：即，由方程有解可得，时，仅有一解，满足题意；时，，在上单调递减，值域为，则仅有一个属于，时，时，两式仅有一个成立可得；综上k的范围是.（3）解：令；在递增，递减，若，则在递增，则值域为，此时，，即a，b为两解，由可得，，满足；若，则在递增，递减，则最大值为，则，即，不满足；若，可得，而，不满足值域为；综上，存在，满足题意.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则（

）A．为偶函数 B．是增函数C．不是周期函数 D．的最小值为【答案】AD【解析】选项A，由得，函数定义域是，关于原点对称，，所以函数为偶函数，正确；选项B，定义域是，，即是奇函数，易知是R上的增函数，函数值域为R，，所以存在，值得，从而，于是，，但，所以不是增函数，B错；选项C，定义域是R，，因此是函数的一个周期，C错；选项D，由上推理知是奇函数，时，，时，，易知函数为增函数，所以，综上函数最小值是1，D正确．故选：AD．2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（

）A．的图象关于坐标原点对称 B．的图象关于轴对称C．的最大值为1 D．在定义域上单调递减【答案】AD【解析】因为，所以为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；因为，，，所以不是偶函数，图象不关于轴对称，故不B正确；因为，又，所以，所以，所以，故C不正确；因为，且为增函数，所以在定义域上单调递减，故D正确.故选：AD3．（2022张掖期末）已知函数（）在区间上有最大值和最小值.设.（1）