灰色系统建模课件

灰色系统理论讲义

2012年7月内容安排1灰色系统理论概述.2灰色关联分析.3优势分析.4灰色系统建模.1.1灰色系统理论的产生和发展

1982我国学者邓聚龙教授发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。

1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究迅速发展。1灰色系统理论概述

1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。1.3灰色系统与模糊数学、数理统计方法的区别

灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定系统随机不确定系统认知不确定系统途径手段灰序列生成频率统计截集数据要求任意分布典型分布隶属度可知特色小样本大样本凭经验1.4灰色系统理论的优点

（1）数据的挖掘功能（2）利用生成数使规律更明显应用灰色系统理论可以进行灰色预测、灰色决策、灰色控制和灰色规划。2灰色关联分析法

关联分析是系统分析的一个重要方面，实际系统中的现象往往很复杂，涉及的因素很多，其中哪些是主要的、哪些事次要的，哪些需要利用和发展，哪些需要抑制和避免以及各因素间的关联性如何都可以用关联分析加以明确，如人口问题。

灰色系统理论提出关联分析方法进行系统分析，克服了以往回归分析等方法中的一些欠缺，能够对系统动态发展趋势进行系统分析。例1：某饲养专业户主要饲养家猪和家兔。1977~1983总收入与养猪、养兔收入的历史数据如下表：年份1977197819791980198119821983总收入18202240444860养猪收入10151624384050养兔收入321210221820试分析饲养专业户的总收入与养猪收入和养兔收入的关系。常用的无量纲化方法有：（1）均值化法（2）初值化法变换（3）（4）采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同．例如，某地县级医院病床使用率最高为90%，最低为60%，我们可以将90%转化10，60%转化为1，其它可以通过内插法确定其转化值．如80%转化为多少？可进行如下计算：

解之得，即80%转化为7．可以看出与铅球专项成绩关联度较大的前八项主要因素依次为：全蹲、3kg滑步、高翻、4kg原地、挺举、立定跳远、30m起跑和100m成绩，其中关联度最大的两项是全蹲和3kg滑步，分别达到了0.933和0.895.把基准数列与全蹲、3kg滑步的初始化数列画成序列曲线如下：可以看出，这三个数列的发展趋势十分接近，了解了这些，可以在训练中减少盲目性，提高训练效果，尽快提高铅球专项的成绩.由关联系数公式计算出的关联系数均是正数，即不能区分开正关联和负关联，这在实际应用中有时会产生麻烦.一般的，先对因素关联进行判断：是正关联还负关联，然后进行关联分析.

令灰色关联分析的应用举例

利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价1．评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤．3．确定参考数据列：

4．计算，见下表编号专业外语教学量科研论文著作出勤1101237022124161302032524311146351330061610422515．求最值6．依据关联系数计算公式，取计算，得 同理得出其它各值，见下表编号10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.636

0.778

0.636

0.467

0.636

0.368

0.778

31.000

0.636

1.000

0.538

0.538

0.412

0.636

40.538

0.778

0.778

0.778

0.412

0.368

0.538

50.778

0.538

0.538

1.000

0.778

0.368

0.778

60.778

1.000

0.467

0.636

0.538

0.412

0.778

3优势分析

当基准因素不止一个时,优势分析可以从多个基准因素中找出起主要作用的基准因素.设要研究的m个因素（也叫母因素）的基准数列为，待比较的n个数列（也叫子因素数列）为，那么，每个基准数列对应于n个比较数列都有n个关联度。为了判断出那些因素起主要作用，可以构造关联矩阵R。设比较数列对基准数列的关联度为，则关联矩阵为然后根据R中的元素大小就可以判断哪些因素起着主要足作用，称起主要作用的因素为优势因素。特别地，当某一列元素大于其他列元素时，称此列对应的子因素为优势子因素当某一行元素大于其他行元素时，称此行对应的母因素为优势母因素另外，容易找出R中最大的元素，则可以认为该元素所在行对应的母因素是所有母因素中影响最大的。例2：表1是1979~1983年间某地区对于工业、农业、交通等投资的数据。为了研究这些投资对经济的影响，收集到1979~1983年间该地区的各项收入数据，如表2，试对此问题进行优势分析.子因素母因素2)根据关联度矩阵对问题分析如下：①

r15=0.92是第一行中最大的，表明交通方面的投资对国民收入影响最大，这很好的验证了一句话：要想富，先修路.

②第四行元素几乎是各行元素中最小的,表明各种项目的资金投入对增加商业收入影响不大.也说明商业是一个不太需要依赖外部投资而能自行发展的行业,从消耗投资的角度看商业是劣势行业,但从少投资多收入的角度看看商业又是优势行业.

③r55=0.875是除r15=0.92以外的最大元素，表明交通收入主要靠交通方面的投资.

④r24=0.809是该列最大元素,表明科技投资对工业收入影响最大,这当然符合科技进步带动工业发展的道理.r34=0.588是该列中元素最小的，表明科技投资对农业经济发展作用不大.

⑤第三行中元素普遍较大,表明农业是一个综合性行业,必须得到其他行业的配合才能够更好的发展.其中,该行第二个元素为0.828,说明工业发展能够很大程度推动农业发展.该行第五个元素为0.735,也说明交通的发展对农业发展也有较大的促进作用.

综上所述,仅仅通过计算一个关联度矩阵,就可以推出很多有价值的结论,这充分体现了灰色系统理论的优势和分析工具的应用价值.对于这种情况，可以先把原始数据化为非负数列，具体做法是把每个元素都减去原数列中最小的，得到的非负数列再做累加处理，如左图，显然规律性增强。对于这些数据，应用最小二乘进行线性拟合可以得到拟合直线y=1.4k+4,如右图，从图中可以看出除两点外，都在直线附近，但上述线性拟合的平均误差达到26%4.2GM模型例3设有原始数据序列

X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5))

=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)

试用GM(1,1)模型对X0进行模拟第一步：对X0作一次累加，得X1=(X1(1),X1(2),X1(3),X1(4),X1(5))=(2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步：对X1作紧邻均值生成。令得Z1=(Z1(2),Z1(3),Z1(4),Z1(5))=(4.513,7.820,11.184,14.718)可得B,Y第3步：对参数列，得第4步：确定模型为时间响应式为第5步：求X1的模拟值第6步：还原出的模拟值，由得对比原数据X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5))=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)

定义4.1设原始数据序列相应的预测模型模拟序列:

残差序列:

相对误差序列:4.2.2灰色系统模型预测精度检验1.称为均方差比值，对于给定的,当时，称模型为均方差比合格模型。

2.称

为小误差概率，对于给定的，当，称模型为小误差概率合格模型。得GM（1，1）模型白化方程其时间响应式为得模拟序列残差序列相对误差序列平