小波变换的实现技术课件

小波变换的实现技术

Mallat算法多孔算法小波变换的提升实现Mallat算法卷积法实现小波变换在实际中具有广泛的应用。实际应用中的边界处理问题：边界延拓方法

零延拓

周期延拓

周期对称延拓法

光滑常数延拓法

Mallat算法的Matlab实现dwt()

[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D,'mode',MODE)X的长度为,滤波器的长度为对于周期延拓方式，cA，cD的长度均为对于其他延拓方式，cA，cD的长度均为idwt()

X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R，'mode',MODE)对于周期延拓方法，

对于其他延拓方式，特点:能够实现重构.难以用于数据压缩应用用小波处理函数/信号的基本步骤

和已知是正交尺度函数与小波,则用小波处理函数的基本过程包括:

初始化设信号在最高初始分辨率级下的光滑逼近为

记，则有。其中，

小波分解用小波处理函数/信号的基本步骤

小波系数处理

小波重构用小波处理离散信号的基本步骤

其采样间距为，

使得做小波分解、对小波系数处理以及对处理后的系数进行小波重构等

对说明:1)对做小波分解,如何?2)若的采样间距为1,如何?Mallat算法应用举例对同一个离散信号应用不同的小波变换以及FFT变换进行压缩的处理效果与分析。已知上例中的离散信号问题：1）用Haar尺度函数和小波分解信号；2）用D4尺度函数和小波分解信号；3）用FFT变换分解信号。令绝对值最小的80%和90%系数为0对信号进行小波压缩，画出相应的重构信号的图形，并求出相应的相对误差。

对各种变换的效果进行对比分析。多孔算法

应用Mallat算法分析信号时存在的不足多孔算法二通道Mallat算法z变换的滤波器形式多孔算法二通道Mallat算法z变换的滤波器形式z变换的等效易位性质多孔算法的实现While

EndofWhile

While

EndofWhile

分解算法重构算法注:为的相邻两项之间插入个零后得到的滤波器。

在Matlab小波工具箱中对应的函数:swt(),iswt()小波变换的提升实现

概述

1)能够用于构造第一代小波，用户可根据需要来设计小波基。2)能够改进第一代小波变换算法。

3)可用于构造第二代小波。

小波分解与重构的多相位表示

滤波器的多相位表示

滤波器的多相位表示为：

Laurent多项式的Euclidean算法

=

的次数两个Laurent多项式的带余除法可表述为：

或两个Laurent多项式的欧几里德算法如下：

从开始进行如下的递归运算：

则，且是一个Laurent多项式，其中为使的最小数。

Laurent多项式的Euclidean算法

如果an(z)是一个单项式，则a(z)和b(z)是互素的。注意与多项式带余除法和欧几里德算法的异同之处.多相位矩阵的因子分解若，则总存在Laurent多项式和以及非零常数，使得其中。基于提升的正向小波变换流程图

时小波变换的提升实现算法若分别是序列的z变换，且

时提升算法的实现

时正向小波变换的提升实现算法（预测步骤由偶序列预测奇序列开始）

Step1.懒小波变换

Step2.提升与对偶提升Fori=1ton

Step3.比例变换For

两点说明1.本质上我们可以根据它们的任一分解式写出小波变换的提升算法

如果在实际计算时已知的因子分解，设

则2.尚未完全解决的问题

多相位矩阵分解存在极大的不唯一性，到底存在多少种分解方法？如何求出所有的分解？如何根据具体的应用，选择一种‘好’的分解方法?（5-3）小波变换的提升实现，

，

，正变换逆变换整数小波变换

提升算法的一大优点是，它存在整数提升算法，即在忽略归一化因子的情况下，将算子

提升步骤中的算子

作用于每个和换的整数提升算法。

，即可得到小波变如（5-3）小波变换的整数版本如下：

特点：非线性变换D4小波变换的提升实现

其中D4小波变换的提升实现

第一种实现方法第二种实现方法，

（9-7）小波变换的提升实现

其中，，，，，

，，说明:JPEG2000中C语言实现模块中尺度变换是：

1.238；

=1.62578613134411

Lena图像实验:

1.8422.938（9-7）小波变换的提升实现

小波变换提升算法的实现技巧

任意长度信号小波变换的提升实现

（9-7）小波变换的提升实现如下：

：

：

小波变换提升算法的实现技巧

利用少量辅助内存实现多尺度小波变换

必要性:算法过程由以下三步组成：

第1步，申请一个大小为的数组buffer存放高频系数，然后，在原空间中调整信号的低频系数的位置，使变为第2步，调整中的高频系数的位置使变为第3步，将buffer中暂存的高频系数调整到占用的位置，使变为边界处理

对于（5-3）和（9-7）这些具有线性相位的滤波器，采用对称周期延拓则不仅可实现小波变换的完全重构，同时又不增加变换后的数据量。因此，在实现时我们可采用对称周期延拓的方法。双正交小波变换的对称提升实现

多相位矩阵的对称因子分解对称提升实现多相位矩阵的对称因子分解一个Laurent多项式称为对称的，如果=。记（为非负整数），则对称Laurent多项式都可表示为的形式。

若，则存在惟一的Laurent多项式和以及非零常数，使得其中。其中和是对称Laurent多项式.计算对称提升因子的快速算法

基本思想:根据和理，有效地避免了传统提升因子算法中求解的复杂计算，因而的不同大小关系，分以下两种情况处更加实用。

（1）当时记=，==。

令=，=，对和应用多项式的欧几里德算法，

求出唯一的一组多项式

和一个非零常数