计数原理解答题专项训练-2023届高考数学二轮专题复习（含解析）

2023高考数学计数原理解答题专项训练一．解答题（共16小题）1．解方程（1）；（2）．2．若（2x﹣a）7＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7，且a4＝﹣560．（1）求实数a的值；（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|+|a7|的值．3．已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．（1）求展开式中的有理项；（2）求展开式中系数最大的项．4．现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．5．求下列问题的排列数：（1）3名男生和3名女生排成一排，男生甲和女生乙不能相邻；（2）3名男生和3名女生排成一排，男生甲不能排排头，女生乙不能排排尾．6．已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（2）在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？7．安排6名教师A，B，C，D，E，F到甲、乙、丙三个场馆做志愿者．（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？（2）每名教师只去一个场馆，每个场馆至少要去一名教师，且A，B两人约定去同一个场馆，共有多少种不同的安排方法？8．已知f（x）＝（2x+1）n展开式的二项式系数和为128，且（1+2x）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n．（1）求a2的值；（2）求a1+a2+a3+…+an的值．9．已知的展开式中，所有项的系数之和是512．（1）求展开式中含x3项的系数；（2）求的展开式中的常数项．10．已知．（1）若f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，求f（x）展开式中的第3项；（2）若f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，求f（x）•g（x）展开式中的常数项．11．在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为．（1）求n的值及展开式中的常数项是第几项；（2）展开式中系数最大的项是第几项？12．从6名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）（1）甲、乙两人必须跑中间两棒；（2）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．13．现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念．（1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率；（2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？14．在二项式的展开式中，（1）若n＝6，求展开式中的有理项；（2）若第4项的系数与第6项的系数比为5：6，求：①二项展开式中的各项的二项式系数之和；②二项展开式中的各项的系数之和．15．（1）计算：A+A；（2）计算：C+C+C+C+C．16．已知（a﹣2x）7＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a7（x﹣1）7，其中a＞0，且x3的系数是﹣22680．（1）求a的值；（2）计算：（i）（a0+a2+a4+a6）•（a1+a3+a5+a7）；（ⅱ）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|（以上结果可保留幂的形式）

2023/3/318:37:32参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．解方程（1）；（2）．【解答】解：（1），则x+2＝4或x+2＝6，解得x＝2或x＝4；（2），即（2n+1）（2n）（2n﹣1）（2n﹣2）＝126n（n﹣1）（n﹣2），化简得到：8n2﹣63n+124＝0，解得n＝4或（舍去）．2．若（2x﹣a）7＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7，且a4＝﹣560．（1）求实数a的值；（2）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|+|a7|的值．【解答】解：（1）由题意可得（2x﹣a）7＝[（2（x+1）﹣（a+2）]7＝a，则展开式中含（x+1）4的项为C＝﹣560（a+2）3（x+1）4，所以﹣560（a+2）3＝﹣560，解得a＝﹣1；（2）由（1）可知二项式为[2（x+1）﹣1]7＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+…+a7（x+1）7，令x＝﹣1时，a0＝﹣1，因为|a0|+|a1|+...+|a6|+|a7|的值为二项式[2（x+1）+1]7的展开式的各项的系数和，所以令x＝0，则|a0|+|a1|+...+|a6|+|a7|＝37，所以|a1|+...+|a6|+|a7|＝37﹣1＝2186．3．已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．（1）求展开式中的有理项；（2）求展开式中系数最大的项．【解答】解：令x＝1得展开式各项系数和为（1+3）n＝4n，又展开式二项式系数和为，由题意有4n﹣2n＝992，即（2n）2﹣2n﹣992＝0，（2n﹣32）（2n+31）＝0，∴n＝5，（1）∵n＝5，的展开式通项公式为Tr+1＝＝•（r≤5，r∈N），当r＝2时，T3＝，当r＝5时，，故展开式中的有理项为90x6，243x10；（2）设展开式中第k+1项的系数最大，又•（3x2）k＝，得，∴，解得，又∵k∈Z，∴k＝4，∴展开式中第5项系数最大，．4．现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．【解答】解：（1）依题意可得不同安排方法的总数为．（2）根据题意，这9名志愿者人数分配方案共有三类：第一类是3，3，3，第二类是2，2，5，第三类是2，3，4．故不同安排方法的总数为．5．求下列问题的排列数：（1）3名男生和3名女生排成一排，男生甲和女生乙不能相邻；（2）3名男生和3名女生排成一排，男生甲不能排排头，女生乙不能排排尾．【解答】解：（1）由题知共6人，除去男生甲和女生乙外，还有4人，将4人全排共种，4人排好后留下5个位置，将这5个位置分给甲乙，有种，所以男生甲和女生乙不能相邻共种（2）由于男生甲不能排排头，女生乙不能排排尾，当乙排排头时，甲没有限制，此时排列数为种，当乙不排排头，因为乙不能排排尾，所以乙只能排中间4个位置中，共种，因为甲不能排排头，除去排头位置和已经排好的乙外，还有4个位置，选一个位置给甲，有种，此时还有另4人，没有限制，全排列有种，故当乙不排派头时有种，所以男生甲不能排排头，女生乙不能排排尾共计：种．6．已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（2）在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？【解答】解：（1）设取x个红球，y个白球，则，解得或或，所以符合题意的取法共有种；（2）当总分为8分时，则取3个红球，2个白球，将抽出的这5个球排成一排，仅有两个红球第一步先取球，有种；第二步再排球，将两个红球绑在一起，并与另外一个红球排列，然后把2个白球插入，有种，则符合题意的排法共有60×72＝4320种．7．安排6名教师A，B，C，D，E，F到甲、乙、丙三个场馆做志愿者．（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？（2）每名教师只去一个场馆，每个场馆至少要去一名教师，且A，B两人约定去同一个场馆，共有多少种不同的安排方法？【解答】解：（1）根据题意，一共14个相同的口罩，先每人发放一个，将剩下的8个口罩分为6组，每组至少一个，依次分给6人即可，8个口罩看成8个元素，排成一排，中间有7个空位，在其中任选5个，插入挡板即可，则有C＝21种发放方法；（2）根据题意，分2步进行分析：①将6人分为三组，要求每组至少1人，且AB在同一组，若分为1、2、3的三组，有C+CC＝16种分组方法，若分为2、2、2的三组，有C＝3种分组方法，若分为1、1、4的三组，有C＝6种分组方法，则有16+3+6＝25种分组方法，②将分好的3组安排到3个场馆，有A＝6种情况，则有25×6＝150种安排方法．8．已知f（x）＝（2x+1）n展开式的二项式系数和为128，且（1+2x）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n．（1）求a2的值；（2）求a1+a2+a3+…+an的值．【解答】解：（1）由f（x）＝（1+2x）n展开式的二项式系数和为128，可得2n＝128＝27，即n＝7．由（1+2x）7＝[2（x+1）﹣1]7＝C[2（x+1）]7+C[2（x+1）]6（﹣1）1+…+C[2（x+1）]（﹣1）6+C（﹣1）7，得a2＝C（﹣1）522＝﹣84．（2）令x+1＝0，得a0＝﹣1，令x+1＝1，得a0+a1+a2+…+a7＝1，所以a1+a2+…+a7＝2．9．已知的展开式中，所有项的系数之和是512．（1）求展开式中含x3项的系数；（2）求的展开式中的常数项．【解答】解：（1）因为的展开式中，所有项的系数之和是512，所以令x＝1．得：2n＝512，所以n＝9，通项公式：Tr+1＝C（3x﹣1）9﹣r（﹣x）r＝C39﹣r（﹣1）rx，令r﹣9＝3，解得r＝8，C×3＝27，所以x3项的系数27；（2）由（1）知，n＝9，（1+）（2x﹣1）n＝（2x﹣1）9+，因为（2x﹣1）n的展开式的通项为Tr+1＝C（2x）n﹣r（﹣1）r，所以（2x﹣1）9的常数项为T10＝（﹣1）9＝﹣1，的常数项为C＝18，所以（1+）（2x﹣1）n的展开式中的常数项为﹣1+18＝17．10．已知．（1）若f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，求f（x）展开式中的第3项；（2）若f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，求f（x）•g（x）展开式中的常数项．【解答】解：（1）因为f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，所以2n＝128，得n＝7，所以f（x）＝，故f（x）展开式中的第3项为T3＝T2+1＝••＝21••4x﹣1＝84．（2）因为f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，所以n为偶函数，且＝4﹣1，即n＝6，所以f（x）＝，其展开式的通项公式为Tr+1＝＝•，而g（x）＝展开式的通项公式为Tm+1＝＝•x12﹣3m，要求f（x）•g（x）＝•展开式中的常数项，则需令（2﹣）+（12﹣3m）＝0，即+3m＝14，其中r，m∈N，且r，m∈[0，6]，所以只有当r＝6，m＝3时，+3m＝14才成立，故所求的常数项为•＝10040．11．在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为．（1）求n的值及展开式中的常数项是第几项；（2）展开式中系数最大的项是第几项？【解答】解：（1）展开式的通项公式为T＝C，r＝0，1，...，n，则第3项和第4项的系数分别为C，所以，解得n＝20，所以通项公式为T，令20﹣，解得r＝16，所以常数项为第17项；（2）设第r+1项的系数最大，则，解得6≤r≤7，又r＝0，1，...，20，所以r＝6或7，即系数最大的项是第7项和第8项．12．从6名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）（1）甲、乙两人必须跑中间两棒；（2）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．【解答】解：（1）因为甲、乙两人跑中间两棒，则甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有种，所以甲、乙两人必须跑中间两棒有种不同的排法；（2）已知甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒，则甲乙两人相邻两人的排列有种，则其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，故甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒有种不同的排法．13．现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念．（1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率；（2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？【解答】解：（1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排拍照留念的试验有个基本事件，它们等可能，甲、乙不相邻且不在两端的事件，为事件A含有的基本事件数为，所以甲、乙不相邻的概率P（A）＝＝．（2）从除甲乙外的5位老师中任取3人排在甲乙之间有种，排在甲乙之间的3位老师与甲乙一起视为一个整体，同余下2位老师作全排列有种，甲乙的排列有种，由分步乘法计数原理得＝720，所以甲、乙之间所隔人数为3的不同排法的种数为720种．14．在二项式的展开式中，（1）若n＝6，求展开式中的有理项；（2）若第4项的系数与第6项的系数比为5：6，求：①二项展开式中的各项的二项式系数之和；②二项展开式中的各项的系数之和．【解答】解：（1）若n＝6，在二项式的展开式中，通项公式为Tr+1＝•（﹣2）r•，令为整数，可得r＝0，3，6，故展开式中的有理项为T1＝•x2，T4＝•（﹣8）•x﹣2＝﹣160x﹣2，T7＝64•x﹣6．（2）∵第4项的系数与第6项的系数比为•（﹣2）3：×（﹣32）＝5：6，∴n＝6，