随机变量及其分布列解答题专项训练-2023届高考数学二轮专题复习（含解析）

2023高考数学随机变量及其分布列解答题专项训练一．解答题（共16小题）1．习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”．为响应总书记的号召，某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动．运动分为徒手运动和器械运动两大类．该社区对参与活动的1200人进行了调查，其中男性650人，女性550人，所得统计数据如下表所示：（单位：人）性别器械类徒手类合计男性590女性240合计900（1）请将题中表格补充完整，并判断能否有99%把握认为“是否选择器械类与性别有关”？（2）为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动．竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手类，规定参与者必需三个项日都参加．据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是，通过徒手类竞赛的概率都是，且各项目是否通过相互独立．用ξ表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．（参考数据：12302＝1512900，65×55×9＝32175，1512900÷32175≈47）附：P（X2≥k）0.0500.0250.0100.005k3.8415.0247.8796.6352．某校为了调査网课期间学生在家锻炼身体的情况，随机抽査了150名学生，并统计出他们在家的锻炼时长，得到频率分布直方图如图所示．（1）求a的值，并估计锻炼时长的平均数（同一组数据用该组区间的中点值代替）；（2）从锻炼时长分布在[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生，再从这7名学生中随机抽出3人，记3人中锻炼时长超过40分钟的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．3．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在保持原有40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技和霹雳舞两个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“电子竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机选取了10个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，各省代表队人数如下表：省代表队ABCDEFGHIJ电子竞技45512738571926473429霹雳舞26154442322856364820（1）从这10支省代表队中随机抽取3支，在抽取的3支代表队参与电子竞技的人数均超过30人的条件下，求这3支代表队参与霹雳舞的人数均超过30人的概率；（2）若霹雳舞参与人数超过40人的代表队所在地可以成为国家队集训基地，现从这10支代表队中随机抽取4支，记X为选出代表队所在地可以成为国家队集训基地的个数，求X的分布列和数学期望；（3）某省代表队准备进行为期3个月的霹雳舞封闭训练，对太空步、空中定格、整体移动三个动作进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”，已知在一轮测试的3个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响：如果甲队员在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于9次，那么至少要进行多少轮测试？4．交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：TPI＝，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI[1，1.5）[1.5，2）[2，4）不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如图：（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望E（X）；（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为a1，a2，⋯，a7，将2022年同期TPI依次记为b1，b2，⋯，b7，记ci＝ai﹣bi（i＝1，2，⋯，7），．请直接写出|取得最大值时i的值．5．在某次现场招聘会上，某公司计划从甲和乙两位应聘人员中录用一位，规定从6个问题中随机抽取3个问题作答．假设甲能答对的题目有4道，乙每道题目能答对的概率为．（1）求甲在第一次答错的情况下，第二次和第三次均答对的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙谁被录用的可能性更大？6．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2022年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩ξ～N（μ，100），且P（ξ≤50）＝P（ξ≥70）．笔试成绩高于70分的学生进入面试环节．（1）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；（2）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：若X∼N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6827，P（|X﹣μ|⩽2σ）≈0.9545，0.8413510≈0.1777，0.9772510≈0.7944．7．某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”已知甲乙两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2．（1）若p1＝，p2＝，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；（2）已知p1+p2＝，则：①p1，p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率；②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？8．兔年春节期间，烟花“加特林”因燃放效果酷炫在网上走红，随之而来的身价暴涨也引发关注，甚至还有买不到的网友用多支普通的手持燃放烟花自制“加特林”．据悉，有A，B，C三家工厂可以各自独立生产烟花“加特林”，已知A工厂生产的烟花“加特林”是正品同时B工厂生产的烟花“加特林”也是正品的概率为，B工厂生产的烟花“加特林”是正品同时C工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为，C工厂生产的烟花“加特林”是正品同时A工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为．（1）分别求A，B，C三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品的概率；（2）A，B，C三家工厂各自独立生产一件烟花“加特林”，记随机变量λ表示“三家工厂生产出来的正品的件数”，求λ的数学期望，它反映了什么实际意义？9．某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为，且每次抽奖的结果相互独立．（1）若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为X元，求X的分布列与期望．（2）某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人．有2×2列联表：有蛀牙无蛀牙合计爱吃甜食不爱吃甜食合计完成上面的列联表，根据独立性检验，能否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.010.005k3.8416.6357.87910．近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展，某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行，方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作，建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类，经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如图频率分布直方图：（1）请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；（2）以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案．现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望．11．为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员M都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．（1）求甲队第二场比赛获胜的概率；（2）用X表示比赛结束时比赛场数，求X的期望；（3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．12．2023年的春节联欢晚会以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，通过各种艺术形式，充分展现开心信心、顽强奋进的主旋律．调查表明，观众对春晚的满意度与节目内容、灯光舞美、明星阵容有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为a，b，c，并对它们进行量化；0表示不满意，1表示基本满意，2表示非常满意．再用综合指标y＝a+b+c的值评定观众对春晚的满意程度：若y≥4，则表示非常满意；2≤y≤3表示基本满意；0≤y≤1表示不太满意．为了了解某地区观众对今年春晚的满意度，现从此地观众中随机电话连线10人进行调查，结果如下：人员编号12345678910满意度指标（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，0，1）（1，2，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（0，1，0）（1，0，2）（1）在这10名被电话调查的人中任选2人，求这2人对灯光舞美的满意度指标不同的概率；（2）从满意程度为“非常满意”的被调查者中任选一人，其综合指标为m，从满意程度不是“非常满意”的被调查者中任选一人，其综合指标为n，记随机变量X＝m﹣n，求X的分布列及数学期望．13．从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，某电视台推出的“中国节日”系列节目引发广泛关注．某统计平台为调查市民对“中国节日”系列节目的态度，在全市市民中随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“中国节日”系列节目喜欢的人数如下表．（注：年龄单位为岁，年龄都在[15，75）内）年龄[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数102030201010喜欢人数616261264（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为对“中国节日”系列节目的态度与人的年龄有关；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计喜欢不喜欢合计（2）若按年龄段用分层随机抽样的方法从样本中年龄在[45，75）被调查的人中选取8人，现从选中的这8人中随机选取3人，求这3人中年龄在[55，65）的人数X的分布列和数学期望．参考公式及数据，其中n＝a+b+c+d．P（X2≥k0）0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.82814．盒中有大小形状完全相同的8个红球和2个黑球．（1）现随机从中取出一球，观察颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个，再从盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；（2）从中抽取3个球进行检测，随机变量X表示取出黑球的个数，求X的分布列及期望．15．第二十二届世界杯足球赛已于2022年12月18日在卡塔尔落下帷幕，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行．本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱，即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起．世界杯，是球员们圆梦的舞台，也是球迷们情怀的归宿．（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如下等高堆积条形图，完成2×2列联表：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性女性合计依据小概率值a＝0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？（2）在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A，B，C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如表所示：控球队员ABC接球队员BCACAB概率若传球3次，记B队员控球次数为X，求X的分布列及均值．附：，n＝a+b+c+d．附表：α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.82816．2023年春节过后，随着疫情的有效控制，高三学年开始返校复课学习，为了减少学生买餐时聚集排队，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供拉面A和盖饭B共两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过一段时间的统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为．如果第一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果第一天选择B套餐，第二天选择A套餐的概率为．（1）求高三一位同学第二天选择A套餐的概率；（2）记高三某班三位同学复课第二天选择A套餐的人数为X，求X的分布列和数学期望．

2023高考数学随机变量及其分布列解答题专项训练参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”．为响应总书记的号召，某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动．运动分为徒手运动和器械运动两大类．该社区对参与活动的1200人进行了调查，其中男性650人，女性550人，所得统计数据如下表所示：（单位：人）性别器械类徒手类合计男性590女性240合计900（1）请将题中表格补充完整，并判断能否有99%把握认为“是否选择器械类与性别有关”？（2）为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动．竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手类，规定参与者必需三个项日都参加．据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是，通过徒手类竞赛的概率都是，且各项目是否通过相互独立．用ξ表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．（参考数据：12302＝1512900，65×55×9＝32175，1512900÷32175≈47）附：P（X2≥k）0.0500.0250.0100.005k3.8415.0247.8796.635【解答】解：（1）根据器械类总人数900人，其中男性590人，可得女性为310人，根据总人数1200人，得到徒手类总人数300人，其中女性240人，可得男性60人．完成表格如下：性别器械类徒手类合计男性59060650女性310240550合计9003001200所以，所以，有99%把握认为“是否选择物理类与性别有关”．（2）随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3，因为，，，，所以ξ的分布列为：ξ0123P所以数学期望．2．某校为了调査网课期间学生在家锻炼身体的情况，随机抽査了150名学生，并统计出他们在家的锻炼时长，得到频率分布直方图如图所示．（1）求a的值，并估计锻炼时长的平均数（同一组数据用该组区间的中点值代替）；（2）从锻炼时长分布在[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生，再从这7名学生中随机抽出3人，记3人中锻炼时长超过40分钟的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）（0.006+0.01+2a+0.024+0.036）×10＝1，解得a＝0.012，样本数据在[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的概率分别为0.06，0.10，0.12，0.36，0.24，0.12，则平均值为0.06×5+0.10×15+0.12×25+0.36×35+0.24×45+0.12×55＝34.8；（2）20分钟到60分钟中各钥的频率比为0.12：0.36：0.24：0.12＝1：3：2：1，所以[20，30）应抽×7＝1，[30.40）应抽×7＝3，[40，50）应抽×7＝2，[50.60）应抽×7＝1，∴X的所有可能取值为0，1，2，3，P（x＝0）＝＝，P（x＝1）＝＝，P（x＝2）＝＝，P（x＝3）＝＝，随机变量X的分布列为：X0123P∴E（x）＝0×+1×+2×+3×＝．3．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在保持原有40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技和霹雳舞两个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“电子竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机选取了10个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，各省代表队人数如下表：省代表队ABCDEFGHIJ电子竞技45512738571926473429霹雳舞26154442322856364820（1）从这10支省代表队中随机抽取3支，在抽取的3支代表队参与电子竞技的人数均超过30人的条件下，求这3支代表队参与霹雳舞的人数均超过30人的概率；（2）若霹雳舞参与人数超过40人的代表队所在地可以成为国家队集训基地，现从这10支代表队中随机抽取4支，记X为选出代表队所在地可以成为国家队集训基地的个数，求X的分布列和数学期望；（3）某省代表队准备进行为期3个月的霹雳舞封闭训练，对太空步、空中定格、整体移动三个动作进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”，已知在一轮测试的3个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响：如果甲队员在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于9次，那么至少要进行多少轮测试？【解答】解：（1）由题可知10支代表队，参与“霹雳舞”的人数依次为26，15，44，42，32，28，56，36，48，20，参与“电子竞技”的人数依次为45，51，27，38，57，19，26，47，34，29，其中参与“电子竞技”的人数超过30人的代表队有6个，参与“霹雳舞”的人数超过30人，且“电子竞技”的人数超过30人的代表队有4个，记“这10支代表队中随机选取3支代表队参与“电子竞技”的人数均超过30人”为事件A，“这10支代表队中随机选取3支代表队参与“霹雳舞”的人数均超过30人”为事件B，则，所以；（2）参与“霹雳舞”人数在40人以上的代表队共4支，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以，，，所以X的分布列如下表：X01234P所以；（3）记甲队员在一轮测试中获得“优秀”为事件C，则，由题意，甲队员在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，由题意，得，因为n∈N*，所以n的最小值为11，故至少要进行11轮测试．4．交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：TPI＝，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI[1，1.5）[1.5，2）[2，4）不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如图：（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望E（X）；（3）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为a1，a2，⋯，a7，将2022年同期TPI依次记为b1，b2，⋯，b7，记ci＝ai﹣bi（i＝1，2，⋯，7），．请直接写出|取得最大值时i的值．【解答】解：（1）由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为；（2）由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，所以，，，所以X的分布列为：X012P数学期望；（3）由题意，c1＝a1﹣b1＝1.908﹣2.055＝﹣0.147，c2＝a2﹣b2＝2.081﹣2.393＝﹣0.312，c3＝a3﹣b3＝1.331﹣1.529＝﹣0.198，c4＝a4﹣b4＝1.202﹣1.302＝﹣0.1，c5＝a5﹣b5＝1.271﹣1.642＝﹣0.371，c6＝a6﹣b6＝2.256﹣1.837＝0.419，c7＝a7﹣b7＝2.012﹣1.755＝0.257，所以，所以取得最大值时，i＝6．5．在某次现场招聘会上，某公司计划从甲和乙两位应聘人员中录用一位，规定从6个问题中随机抽取3个问题作答．假设甲能答对的题目有4道，乙每道题目能答对的概率为．（1）求甲在第一次答错的情况下，第二次和第三次均答对的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙谁被录用的可能性更大？【解答】解：（1）记“甲在第一次答错”为事件A，记“甲在第二次和第三次均答对”为事件B，P（A）＝，P（AB）＝××＝，∴P（B/A）＝＝＝；（2）设甲正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，则X的分布列为：X123PE（X）＝1×+2×+3×＝2，D（X）＝（1﹣2）2×+（2﹣2）2×+（3﹣2）2×＝；设乙正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3，P（Y＝0）＝，P（Y＝1）＝××（）2＝，P（Y＝2）＝×（）2×＝，P（Y＝3）＝（）3＝，则Y的分布列为：Y0123P∴E（Y）＝0×+1×+2×+3×＝2．D（Y）＝（0﹣2）2×+（1﹣2）2×+（2﹣2）2×+（3﹣2）2×＝．由E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），可得，甲被录用的可能性更大．6．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2022年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩ξ～N（μ，100），且P（ξ≤50）＝P（ξ≥70）．笔试成绩高于70分的学生进入面试环节．（1）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；（2）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：若X∼N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6827，P（|X﹣μ|⩽2σ）≈0.9545，0.8413510≈0.1777，0.9772510≈0.7944．【解答】解：（1）由题意可知μ＝60，σ＝10，则P（ξ＞70）＝P（ξ＞μ+σ）＝≈0.15865，所以，从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，这10人中至少有一人进入面试的概率为P＝1﹣（1﹣0.15865）10≈0.8223．（2）由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3、4，则P（X＝0）＝（）2×（）2＝，P（X＝1）＝CC，P（X＝2）＝+C＝，P（X＝3）＝C＝，P（X＝4）＝＝，所以，随机变量X的分布列如下表所示：X01234P故E（X）＝＝．7．某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”已知甲乙两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2．（1）若p1＝，p2＝，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；（2）已知p1+p2＝，则：①p1，p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率；②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？【解答】解：（1）每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，则可能的情况有①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投中两次；∵p1＝，p2＝，∴他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率为•（）2×（）2+（）2×××+（）2×（）2＝；（2）①由题意得他们在一轮游戏获得“神投小组”称号的概率P＝•p1×（1﹣p1）+××p2（1﹣p2）+×＝2p1p2（p1+p2）﹣3×，∵p1+p2＝，∴P＝p1p2﹣3×，又0≤p1≤1，0≤p2≤1，则≤p1≤1，令m＝p1p2＝﹣+＝﹣（p1﹣）2+，则m∈[，]，∴P＝y（m）＝m﹣3m2＝﹣3（（m﹣）2+，∴P＝m﹣3m2在[，]上单调递增，则Pmax＝y（）＝，此时p1＝p2＝；②他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数ξ满足ξ～B（n，），∴np＝297，则n＝＝625，∴平均要进行625轮游戏．8．兔年春节期间，烟花“加特林”因燃放效果酷炫在网上走红，随之而来的身价暴涨也引发关注，甚至还有买不到的网友用多支普通的手持燃放烟花自制“加特林”．据悉，有A，B，C三家工厂可以各自独立生产烟花“加特林”，已知A工厂生产的烟花“加特林”是正品同时B工厂生产的烟花“加特林”也是正品的概率为，B工厂生产的烟花“加特林”是正品同时C工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为，C工厂生产的烟花“加特林”是正品同时A工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为．（1）分别求A，B，C三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品的概率；（2）A，B，C三家工厂各自独立生产一件烟花“加特林”，记随机变量λ表示“三家工厂生产出来的正品的件数”，求λ的数学期望，它反映了什么实际意义？【解答】解：（1）设A，B，C三家工厂各自独立生产出来的烟花“加特林”是正品分别为事件A，B，C，A工厂生产的烟花“加特林”是正品同时B工厂生产的烟花“加特林”也是正品的概率为，B工厂生产的烟花“加特林”是正品同时C工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为，C工厂生产的烟花“加特林”是正品同时A工厂生产的烟花“加特林”不是正品的概率为，则，解得P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝；（2）随机变量λ表示“三家工厂生产出来的正品的件数”，λ所有可能取值为0，1，2，3，故P（λ＝0）＝，P（λ＝1）＝＝，P（λ＝2）＝，P（λ＝3）＝，故随机变量λ的分布列如下：λ0123P故E（λ）＝＝，数学期望是随机变量最基本的数学特征之一，它反映了随机变量λ平均取值的大小．9．某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为，且每次抽奖的结果相互独立．（1）若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为X元，求X的分布列与期望．（2）某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人．有2×2列联表：有蛀牙无蛀牙合计爱吃甜食不爱吃甜食合计完成上面的列联表，根据独立性检验，能否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.050.010.005k3.8416.6357.879【解答】解：（1）由已知，随机变量X的所有取值为10，15，20，25，30，且P（X＝10）＝＝，P（X＝15）＝2×＝，P（X＝20）＝2×＝，P（X＝25）＝＝，P（X＝30）＝＝，所以随机变量X的分布列为：X1015202530P所以E（X）＝+++25×+30×＝；（2）由题意可得列联表为有蛀牙无蛀牙合计爱吃甜食9030120不爱吃甜食305080合计12080200所以K2＝＝28.125＞7.879，所以有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关．10．近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展，某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行，方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作，建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类，经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如图频率分布直方图：（1）请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；（2）以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案．现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）设A小区方案一的满意度平均分为，B小区方案二的满意度平均分为，由频率分布直方图可得，，，∵72.6＜76.5，∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎；（2）由题意可知方案二中，满意度不低于70的频率为（0.040+0.030+0.010）×10＝0.8，低于70分的频率为（0.005+0.005+0.010）×10＝0.2，现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，则X～B（5，），X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，，，，，，，故X的分布列为：X012345P故．11．为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员M都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．（1）求甲队第二场比赛获胜的概率；（2）用X表示比赛结束时比赛场数，求X的期望；（3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．【解答】解：（1）设Ai为“第i场甲队获胜“，Bi为“球员M第i场上场比赛“，i＝1，2，3，根据全概率公式可得P（A2）＝P（B2）P（A2|B2）+P（）P（）＝＝；（2）由题意可得X＝2，3，又P（A1）＝，由（1）知P（A2）＝，∴P（）＝，P（）＝，∴P（X＝2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2）+P（）P（）＝＝，∴P（X＝3）＝1﹣P（X＝2）＝，∴E（X）＝2×+3×＝；（3）∵p（）＝，此时P（A3）＝，∴所求概率为：P（）+P（）+P（）＝＝．12．2023年的春节联欢晚会以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，通过各种艺术形式，充分展现开心信心、顽强奋进的主旋律．调查表明，观众对春晚的满意度与节目内容、灯光舞美、明星阵容有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为a，b，c，并对它们进行量化；0表示不满意，1表示基本满意，2表示非常满意．再用综合指标y＝a+b+c的值评定观众对春晚的满意程度：若y≥4，则表示非常满意；2≤y≤3表示基本满意；0≤y≤1表示不太满意．为了了解某地区观众对今年春晚的满意度，现从此地观众中随机电话连线10人进行调查，结果如下：人员编号12345678910满意度指标（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，0，1）（1，2，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（0，1，0）（1，0，2）（1）在这10名被电话调查的人中任选2人，求这2人对灯光舞美的满意度指标不同的概率；（2）从满意程度为“非常满意”的被调查者中任选一人，其综合指标为m，从满意程度不是“非常满意”的被调查者中任选一人，其综合指标为n，记随机变量X＝m﹣n，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）10名被调查者中，灯光舞美的满意度指标为0的共2人，灯光舞美的满意度指标为1的共5人，灯光舞美满意度指标为2的共3人，记“从10名被电话调查的人中任选2人，这2人对灯光舞美的满意度指标不同”为事件A，∴；（2）计算10名被调查者的综合指标，可列下表：人员编号12345678910综合指标4462453513其中满意程度为“非常满意”的共6名，则m的值可能为4，5，6；满意程度不是“非常满意”的共4名，则n的值可能为1，2，3，所以随机变量X所有可能的取值为1，2，3，4，5，，，，，，所以随机变量X的分布列为：X12345P．13．从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，某电视台推出的“中国节日”系列节目引发广泛关注．某统计平台为调查市民对“中国节日”系列节目的态度，在全市市民中随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“中国节日”系列节目喜欢的人数如下表．（注：年龄单位为岁，年龄都在[15，75）内）年龄[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数102030201010喜欢人数616261264（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为对“中国节日”系列节目的态度与人的年龄有关；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计喜欢不喜欢合计（2）若按年龄段用分层随机抽样的方法从样本中年龄在[45，75）被调查的人中选取8人，现从选中的这8人中随机选取3人，求这3人中年龄在[55，65）的人数X的分布列和数学期望．参考公式及数据，其中n＝a+b+c+d．P（X2≥k0）0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828【解答】解：（1）列联表如下：年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计喜欢224870不喜欢181230合计4060100＝≈7.143＞6.635，则能在犯