人教版数学九年级上册同步讲义第04课一元二次方程的解法（三）因式分解法（教师版）

第04课一元二次方程的解法（三）--因式分解法目标导航目标导航课程标准课标解读1.掌握因式分解法解方程的原理和常见方法；2.掌握基础的十字相乘法解方程的简便算法。掌握一元二次方程的简便算法；知识精讲知识精讲知识点01因式分解法解一元二次方程因式分解法的原理为：如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；推广到一元二次方程中：若一元二次方程SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得两个实数根。1.c特殊因式分解法解一元二次方程：我们已知SKIPIF1<0中，c=0时，方程必有一根为0：SKIPIF1<0因此，当一元二次方程中常数项c=0时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。2.常用的因式分解法提公因式分法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.提公因式法SKIPIF1<0使用场景：有公因式，可将多项式化为乘积方式；完全平方公式法SKIPIF1<0使用场景：等号一侧为完全平方式（即计算△=0）平方差公式法SKIPIF1<0使用场景：平方减平方形式：例如SKIPIF1<0十字相乘法SKIPIF1<0使用场景：前两种方法都不能用时；【知识拓展】（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点02十字相乘法解一元二次方程若一元二次方程SKIPIF1<0有两个实数根SKIPIF1<0，那么可以将一元二次方程写成：SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0；有对应相等得：SKIPIF1<0可得：当二次项系数为1时，一次项系数b为两实数根和的相反数；常数项c为两实数根的积；对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。【即学即练】序号一元二次方程十字相乘法分解结果①SKIPIF1<0SKIPIF1<0②SKIPIF1<0SKIPIF1<0③SKIPIF1<0SKIPIF1<0④SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0SKIPIF1<0能力拓展考法01因式分解法解方程能力拓展【典例1】SKIPIF1<0；【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；【详解】解：（1）原方程可化为：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【典例2】SKIPIF1<0【答案】x1=3，x2=-1；【分析】（1）移项，再利用因式分解法求解可得．【详解】解：（1）SKIPIF1<0，移项化简可得：SKIPIF1<0，∴x-3=0，x+1=0，解得：x1=3，x2=-1．【即学即练1】SKIPIF1<0【答案】x1=2，x2=3【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴4-2x=0或x-3=0，解得：x1=2，x2=3．【即学即练2】3x（x﹣1）＝2﹣2x【答案】x1＝1，x2＝SKIPIF1<0．【分析】将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据提公因式法进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,【详解】3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,(x﹣1)(3x+2)＝0,x﹣1＝0或3x+2＝0,所以x1＝1,x2＝﹣SKIPIF1<0．【即学即练3】SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0.【分析】把x-1看做一个整体，先移项，再利用因式分解法，化为ab=0的形式解方程即可.【详解】SKIPIF1<0移项得SKIPIF1<0-x（x-1）=0（x-1）[4（x-1）-x]=0即x-1=0或3x-4=0解得SKIPIF1<0【典例3】SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】利用直接开平方法把方程化为：SKIPIF1<0从而可得答案．【详解】原方程可化为：SKIPIF1<0由此得出：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查的是因式分解法，直接开平方法解一元二次方程，掌握以上解一元二次方程的方法是解题的关键．【即学即练4】（x+2）2+6（x+2）﹣91=0；【答案】(1)x1=5,x2=﹣15【解析】（x+2）2+6（x+2）﹣91=0；设y=x+2，则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7，x1=5；当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；【典例4】SKIPIF1<0【答案】x1＝0，x2＝SKIPIF1<0；【分析】将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据平方差公式进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解；【详解】3x﹣1＝±(x﹣1),即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),所以x1＝0,x2＝SKIPIF1<0；【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法.【即学即练5】SKIPIF1<0；【答案】SKIPIF1<0；【分析】先移项，然后按平方差公式因式分解，即可ab=0方式解方程即可；【详解】，∴，∴，∴，∴SKIPIF1<0；考法02十字相乘法解方程【典例5】SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可；【详解】，∴，∴SKIPIF1<0；【即学即练6】SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】利用因式分解法解方程得出答案；【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0【即学即练7】SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】把方程左边进行因式分解得到（x-9）（x-1）=0，再解两个一元一次方程即可；【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；分层提分分层提分题组A基础过关练1．方程SKIPIF1<0的根是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D．x1=0，x2=2【答案】C【解析】试题解析：x（x+2）=0，

⇒x=0或x+2=0，

解得x1=0，x2=-2．

故选C．2．若关于x的方程SKIPIF1<0的一个根是0，则另一个根是（

）A．1B．－1C．5D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根据方程的解，可直接把x=0代入，可得k=0，则原方程为SKIPIF1<0，因式分解为x（x-5）=0，解得x=0或x=5，另一个解为x=5.故选C.3．若方程SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．7或SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入SKIPIF1<0中，即可求出值．【详解】方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．故选D．【点睛】本题考查了解一元二次方程SKIPIF1<0因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．4．方程SKIPIF1<0的解是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0．故选D．5．一元二次方程SKIPIF1<0的根是A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【答案】D【分析】先移项得到SKIPIF1<0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故选D.6．经计算整式x+1与x-4的积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=0的所有根为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．​SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据整式x+1与x-4的积为x2-3x-4，则方程x2-3x-4=0，即是（x+1）（x-4）=0，根据两个式子的积是0，则两个式子中至少有一个是0，即可得到x+1=0或x-4=0，解得x1=-1，x2=4.

故选：B点睛：利用因而分解法解一元二次方程的关键是正确分解因式，理解因式分解法的依据．7．解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法【答案】D【解析】试题解析：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即用了因式分解法，故选D．8．方程SKIPIF1<0正确解法是（

）A．直接开方得SKIPIF1<0B．化为一般形式​SKIPIF1<0C．分解因式得SKIPIF1<0D．直接得x+1=0或x-1=0【答案】C【解析】A：直接开平方应得到两个方程：3（x+1）=2（x-1）和3（x+1）=-2（x-1），所以A不正确；

B：化成一般形式应是：5x2+26x+5=0；所以B不正确；

C：方程左边满足平方差形式，可以用平方差公式因式分解为：[3（x+1）+2（x-1）][3（x+1）-2（x-1）]=0，所以C正确．

D：两个完全平方的差为0，不能直接得到两个式子分别是0，只有两个完全平方的和是0，才能直接得到两个式子分别是0，所以D不对．

故选：C．

点睛：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，根据题目的结构特点，用平方差公式因式分解．9．选择适当的方法解下列方程：(1)x2－4x－3＝0；(2)x(x＋2)＝3(x＋2)．【答案】(1)x1＝2＋SKIPIF1<0，x2＝2－SKIPIF1<0；(2)x1＝3，x2＝－2.【解析】【分析】第一题利用配方法解方程；第二题先移项再利用因式分解求解即可.【详解】(1)x2－4x－3＝0；配方得(x－2)2＝7，x－2＝±，∴x1＝2＋，x2＝2－；(2)x(x＋2)＝3(x＋2)．移项得(x－3)(x＋2)＝0，x－3＝0或x＋2＝0，∴x1＝3，x2＝－2.【点睛】本题考查了解一元二次方程的常见解法，熟练掌握并运用这些方法解方程是解答本题的关键.题组B能力提升练1．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）A．SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0【答案】A【解析】分析:用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．详解:用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x＋2＝0．所以第一个正确．故选A．点睛:此题考查了学生对因式分解方法应用的条件的理解，提高了学生学以致用的能力．2．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（）A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6） C．（x+5）（x+6） D．（x﹣5）（x﹣6）【答案】B【分析】根据题意，把x=5和x=-6分别代入方程，构成含m、n的二元一次方程组，解出m、n的值，然后可得二次三项式，再根据“十字相乘法”因式分解即可.【详解】根据题意可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以二次三项式为x2+x-30因式分解为x2+x-30=（x﹣5）（x+6）故选B.【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程的应用，关键是利用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行解答.3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程SKIPIF1<0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9【答案】A【详解】因式分解可得：(x－2)(x－5)=0，解得：SKIPIF1<0=2，SKIPIF1<0=5，当2为底，5为腰时，则三角形的周长为12；当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，故选A.4．若关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0有一个根为0，则SKIPIF1<0的值（）A．0 B．1或2 C．1 D．2【答案】D【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．【详解】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，

解得：m=1或m=2，

又m-1≠0，即m≠1，

∴m=2，

故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠0这一条件．5．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）.A．－3B．－1或4C．4D．无法计算【答案】C【解析】把SKIPIF1<0看做一个整体，则方程可看作SKIPIF1<0，然后分解因式为（SKIPIF1<0+1）（SKIPIF1<0-4）=0，解得SKIPIF1<0=-1（舍去）或SKIPIF1<0=4.故选C.6．已知关于x的一元二次方程SKIPIF1<0的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．【答案】1【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．【详解】解SKIPIF1<0（x-3m）（x-m）=0∴x-3m=0或x-m=0解得x1=3m,x2=m，∴3m-m=2解得m=1故答案为：1．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．7．方程SKIPIF1<0和方程SKIPIF1<0同解，SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】分别求解两个方程的根即可.【详解】解：SKIPIF1<0，解得x=3或m；SKIPIF1<0，解得x=3或-1，则m=-1，故答案为：-1.【点睛】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程.8．已知实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则代数式SKIPIF1<0的值为________．【答案】SKIPIF1<0【分析】把SKIPIF1<0看作一个整体，利用因式分解法把方程SKIPIF1<0分解为SKIPIF1<0，由此即可求得SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴m2-m=7或m2-m=-3．∵SKIPIF1<0，△=1-12=-11＜0，∴方程SKIPIF1<0无解，∴SKIPIF1<0.故答案为7.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．题组C培优拔尖练1．方程（x+1）（x-3）=5的解是A．x1=1，x2=-3 B．x1=4，x2=-2C．x1=-1，x2=3 D．x1=-4，x2=2【答案】B【解析】(x+1)(x-3)=5，x²-3x+x-3-5=0，x²-2x-8=0，(x+2)(x-4)=0，x1=-2，x2=4，故选B.2．方程SKIPIF1<0的根的个数是()A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】对方程分两种情况进行计算即可.【详解】当SKIPIF1<0时，原方程可化为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(舍去)；当SKIPIF1<0时，原方程可化为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(舍去)．∴原方程有2个根．故选B．【点睛】本题考查了绝对值的意义及因式分解法解一元二次方程.3．方程SKIPIF1<0