成信工大气流体力学讲义03大气运动坐标系与方程组

1第三章大气运动坐标系与方程组程组1.惯性(绝对)坐标系：相对于某个恒星(如太阳)静止或作匀速直线运动(即没有加速度)的坐2.惯性坐标系大气运动方程在惯性坐标系中，牛顿第二运动定律成立，即：(3.1)(3.1)↑↑绝对加速度合外力对于单位空气微团，作用于其上的(真实)外力有：6T10006T1000TC2−zρ=ρ0eH其中ρ0为海平面空气的密度，H为大气标高。(3)F3=F=摩擦力＝外摩擦力＋内摩擦力内摩擦力(＝湍流粘性力＋分子粘性力)，由空气速度分布不均匀引起，根据广义牛顿粘性假设一dtρrdtρr物理意义：绝对加速度＝气压梯度力＋地球引力＋摩擦力1.旋转(相对)坐标系：相对于某一恒星作旋转运动(即有加速度)的坐标系。则固定在地球上的3(3.5)一(3.5)Ω一一RP一rϕO一Ωϕϕ一ϕϕRϕϕ一rϕVaVVer的矢径。∵r=oo'+∵r=oo'+Ra43.绝对加速度与相对加速度根据理论力学的达朗贝尔原理，惯性坐标系和旋转坐标系的矢量个别导数有以下关系： (3.6) (3.7) (3.9)故(3.9)式变为：将(3.8)式和(3.12)式代入(3.7)式有：物理意义：绝对加速度＝相对加速度＋(科里奥力(Coriolis)加速度＋地转向心加速度)4.旋转坐标系的大气运动方程将(3.13)式代入(3.3)式有：5(3.15)(3.15)(3.16)dtρrdtρr .14)速度当作“力”看待，显然这是两种非真实外力，称为视示力(或虚拟力)。即有：dtρr一一dtρ——旋转坐标系的大气运动方程(矢量形式)物理意义：相对加速度＝气压梯度力＋重力＋科氏力＋摩擦力1.连续方程(气象中的质量守恒定律)2.热力学方程(气象中的能量或热量守恒定律) 7) .18)CCpT=Q 1其中α=为比容，Cv为定容比热，Cp为定压比热，Q为单位质量空气的非绝热加热率(如地ρ对于短期天气过程，可认为空气与四周无热量交换(即Q=0，绝热过程)，称为绝热方程：6j9ϕircosϕj9ϕircosϕCvp .20)讨论地球(可近似为球体)大气运动时，宜用球坐标系。i，j，一Ω =rk2.球坐标系单位矢量随坐标的变化率和球坐标系的算子i，j，k随λ，ϕ7⎪∂λ∂ϕ∂r⎪∂λ∂ϕ∂rH=rcosϕ，H2=r，H3=1。则可得球坐标系的∇运算公式：3.22)一速度V在球坐标系中表示为：dt∂t∂trcosϕ∂λr∂ϕ∂rdt∂t∂trcosϕ∂λr∂ϕ∂r利用(3.24)式和(3.21)式可得单位矢量的个别变化为：⎪dtrr⎪dtrr .25)3.球坐标系大气运动方程组利用(3.18)式和(3.19)式可将旋转坐标系的大气运动方程(3.16)式在球坐标系展开：81 (3.27)式中有的项称为曲率加速度，是由空气运动和地球的球面性共同引起的。r压梯度力 .29)氏力∵Ω=Ωcosϕj+Ωuvw 1)9将(3.27)~(3.31)式代入(3.16)式，有：−uvtgrϕ+=−+2Ωsinϕv−2Ωcosϕw+Fλ+u2tgrϕ+=−−2Ωsinϕu+(3.32)——球坐标系大气运动方程组(3.32)式变为：=−+2Ωsinϕv−2Ωcosϕw+uvtgaϕ−+Fλ=−−2Ωsinϕu−u2tgaϕ−+(3.33)zaza1这就是球坐标系的大气运动方程组(常用形式)，其中方程右边含的项称为曲率项力(即为负a曲率共同引起的。同理，利用(3.24)式可将连续方程(3.17)式在球坐标系展开，得：组1.局地直角(标准)坐标系尔直角坐标系简便。因此，如果大气运动局限于比较小的区域(水平范围<a，即不超过半球范围)时，最好设计一种既有笛卡尔直角坐标系形式简单特点，又含有部分球坐标系特点(部分考虑地球的球面性)的坐标系，把这种坐标系称为局地直角坐标系或标准坐标系{o'，x，y，z}，以后也称z。局地直角坐标系的特点为：o'为海平面上的任一点(o:地球球心)，x轴指向东，y轴指向北，z局地直角坐标变量与球坐标变量的关系式：dx=acosϕdλ，dy=adϕ，dz=dr(3.36)dtdt率项。2.局地直角坐标系的运动方程=−+2Ωvsinϕ−2Ωwcosϕ+Fx=−−2Ωusinϕ+(3.37)=−−g+2Ωucosϕ+Fz其中=+u+v+w其中=+u+v+w是球坐标系的简化形式。3.局地直角坐标系与笛卡尔直角坐标系的区别虽然运动方程在两种直角坐标系中的表达形式相同，但它们有本质的区别(局地直角系：本质上直角系)。两者差异反映在：k∂∂x∂y∂y∂x∂x∂y∂y∂x有水平分量。因为局地直角系是可以任意移动的直角系，而笛卡尔直角系是固定于某一点的直角(2)=(笛卡尔直角系)，而≠(局地直角系) ∂2∂2∂(2)=(笛卡尔直角系)，而≠(局地直角系) ∂21∂⎛1∂⎞1∂2∵∂x∂y=acosϕ∂λ⎜⎝a∂ϕ⎠⎟=a2cosϕ∂λ∂ϕ acosϕ∂λ→∞系。4.局地直角坐标系运动方程的简化形式程中略去科氏力的垂直分量2Ωucosϕ，则(3.37)式简化为：fu(3.38)⎩dtρ∂z⎩dtρ∂z其中f=2Ωsinϕ=f(y)，称为科氏参数。5.有关科氏参数f的三个近似设局地直角坐标系原点所在纬度为ϕo，则南北坐标yo=0，将科氏参数(f=2Ωsinϕ)在ϕooyyyo=yaaaf=2Ωsinϕo+2Ωcosϕo−Ωsinϕo2+……(3.41)(1)在中高纬度(除极地附近外)，sinϕo≈cosϕo。f≈fo+βy(3.42)其中fo=2Ωsinϕo=const，β=∂f=2Ωcosϕo=const，为罗斯贝ϕ=ϕ0数。数图3.5罗斯贝(1898－1957)∴利用局地直角坐标系，并把f取为f≈fo+βy的近似称为(中高纬度)β平面近似。即f处于系数位置(不被微商)时，取f=fo=const；f处于对y求微商的位置时，取=β=const。f=fo——f平面近似(或f常数近似) .43)(3)在低纬度地区，∵ϕo≈0→fo≈0，由(3.42)式得：f=βy(β=)——赤道β平面近似(3.44)6.闭合方程组、初始条件和边界条件程＋状态方程＋热力学方程＋水汽方程(对于干空气，(3.45)q：比湿(q=)，S：水汽源汇(单位时间、单位体积的外界输入(出)的水uvwpTq件和边界条初始条件t=0时，ft=0=f(x,y,z)(f=u，v，w，p，ρ，T，q)。z蝴蝶效应的由来：蝴蝶效应(theButterflyEffect)来源于美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一、气象学家洛伦兹z精度再送回。然后他穿过大厅下楼，去喝咖啡．一小时后，他回来时发生了出乎意料的事，他发现天气变化同上一次的模式迅速偏离，在短时间内，相似性完全消失了。进一步的计算球大气这个复杂系统进行观测计算与分析判断，它受到地球大气温度、湿度、压强诸多随时随地变化的因素的影响与制约，可想报性问题，中期数值天气预报逐日”已不限于当初洛仑兹仅对天气预下，其长时期大范围的未来行为，对初始条件数值的微小变动或偏差极为敏感，即初值稍有变动或偏差，将导致未来前景的巨大差异，这往往是难以预测的或者说带有一定的随机性。上宣读一篇论文之后，它才受到重视的。这篇论文标题是“在巴西的蝴蝶拍打翅膀会引发得克萨斯州的一交谈过的许多人都认为，是继这种吸引子之后才命名了蝴蝶效应。洛伦兹还指出，其实，象蝴蝶效应这样界一直就有，他说“在我姐姐得知我即将成为一名气象学学生的那个圣诞节，她说送我一本斯图尔特的小论。有时是开玩笑，有时则是认真的。”图6.4洛伦兹吸引子幻/惊悚/爱情闪雷鸣……也许人的一生就会被当年一点点不经意间细枝末节改变，从此走上不同岔口不边界条件(1)下边界条件：pz=0=p0=1013.25hPa若不考虑粘性，但为平坦地面：wz=0=0(2)上边界条件：严格的上边界条件是：大气质量有限，能量有限(单位气柱的能量有限)。上边界条件的近似取(3)内边界条件：对于两种性质不同的空气交界面(如物理要素不连续面：锋面、逆温层)，有：(4)侧边界条件：由于高空天气图都采用等压面(气压相等的面)图，所以气象应用中多采用气压p作为垂直坐标，称为p坐标系。则需将局地直角坐标系(又称z坐标系)的方程转换为p坐标系的方程。衡成立(=−ρg)，则气压p随高度z单调减小，即p是z的单调递减函数，即F=F(x,y,z,t)=Fx,y,z(xP,yP,p,tP),t(3.46)p=z+⋅p(3.47)FzFzpz。令F=p(气压)代入(3.47)式，并利用静力平衡关系式=−ρg，得：(∵等压面上p=const)z=ρg⋅p=ρpz=ρg⋅p=ρpz=ρg⋅p=ρpp=p+⋅∇p+ω .48) .49) .50) .51)利用(3.47)式可以证明：坐标系而异。 .53)(3.54)设有空气微团，其体积δτ=δxδyδz，则质量δM=ρδτ=ρδxδyδz，设其满足静力平衡，则δp=−ρgδz→δM=−δxδyδpd(δM)dt而 .55)(δM)=−[(δx)δyδp+(δy)δxδp+(δp)δxδy](3.56)“d”和“δ”交换次序有：∂t∂x∂y∂z=−δδyδp+δδxδp+δδxδy(3.57)dtdtdt=ωdtdtdt=ω=−(δuδyδp+δvδxδp+δωδxδy) .58)将(3.58)式代入(3.55)式有：δxδyδpδxδyδp(3.59) .60)令δx→δx0，δy→δy0，δp→δp0，即：空气微团→空气质点，则有：∂∂u∂v∂ω∂x∂y∂p .61