简单的线性规划

简单的线性规划一、 本章节的地位及作用“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识应用的重视，体现了数学的工具性、应用性.本节内容渗透了转化、归纳、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.二、 教学目标知识目标：能把实际问题转化为简单的线性规划问题，并能给出解答.能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力.情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.三、 教学重点与难点1.教学重点：建立线性规划模型2.教学难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答.解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.四、 教学方法与手段1.教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养.根据本节课的内容特点，本节课采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质.2.教学手段新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学.根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式（组）所表示的平面区域以及图形的动态变化情况.3.学生课前准备坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔五、 教学过程设计教学流程图（一） 创设情境，新课导入（教师活动）通过多媒体创设情境（学生活动）思考、并根据分析，尝试用坐标纸作图、解答.引例：某班班长赵彬预算使用不超过50元的资金购买单价分别为6元的笔筒和7元的文具盒作为奖品，根据需要，笔筒至少买3个，文具盒至少买2个，问他最多共买多少个笔筒和文具盒？请同学们考虑怎么将这个实际问题转化为数学问题？设计意图：通过创设情境，自然地让学生感受到数学与实际生活息息相关，激发学生的学习热情，明确本节课探究目标，同时又复习了线性规划问题的图解法.（二） 例题示范，形成技能（教师活动）电脑打出例题，并作分析.（学生活动）思考、并根据分析，尝试解答.例1要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型、A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？［分析］本题是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成该项任务（审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质.（建模）①确定变量及目标函数：第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板数为z张，贝z=x+y

分析约束条件；建立线性规划模型；'2x+y>15,x+2y>1&设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，由题中表格得，x+3y>27,x>0,'〔y>0.试求满足上述约束条件的x,y,且使目标函数z=x+y取得最小值（其中x,y均为正整数）.因此把实际问题转化为线性规划问题.（求解）④运用图解法求出最优解；用多媒体教学，着重分析如何寻找最优解是整数解.⑤回答实际问题的解.解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，根据题意可得：'2x+y>15,x+2y>18,<x+3y>27,x>0,〔y>0.z=x+y，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l:x+y=0,把直线l向右上方平移至li的位置时，直线经过可行域上的点A，且与原点距离最近，此时z=x+y取最小值.（2x+y=15,解方程组< 疽[x+3y=27,得交点A的坐标（胃,得交点A的坐标（胃,39），由于哥和39都不是整数，所以可行域内的点（*,?）不是最优解.将直线11向可行域内平移，最先到达的整点为B（3,9和C（4,8它们是最优解，此时2取得最小值12.答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张.［说明］这种寻找整点最优解的方法可简述为“平移找解法”，即打网格，描整点，平移直线1找出整点最优解.此法应充分利用非整点最优解的信息，作图要精确.设计意图：把实际问题转化为线性规划问题是本节课的重难点，而寻找整点最优解则是例1的难点.为此本环节充分利用计算机辅助教学，投影题目及表格，作可行域，动态演示直线的平移过程等，不仅能够增大教学容量，而且能够使数学知识形象化、直观比，诱发学生在感情上参与；同时，多媒体教学通过对学生各种感官的刺激，以一种接近人类认知特点的方式来组织、展示教学内容及构建知识结构，能把课堂结构反映得更集中、典型、精粹，从而大大优化了课堂结构.例2某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10tB种矿石5t、煤4t生产乙种产品1t需耗A种矿石4tB种矿石4t煤9tg1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300tB种矿石不超过200t煤不超过360t甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t能使利润总额达到最大？吩析］本题是在资源一定的条件下，怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大.（审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质，整理已知数据列成下表:品、消耗量资源\甲产品（1七）乙产品（It）资源限额（t）A种矿石（t）104300B种矿石（t）54200煤（t）49360利润（元）6001000建模）（1确定变量及目标函数：若设生产甲、乙两种产品分别为xt,yt,利润总额为z元，则用x,y如何表示z?（2分析约束条件：z值随甲、乙两种产品的产量x,y变化而变化，但甲、乙两种产品是否可以任意变化呢?它们受到哪些因素的制约?怎样用数学语言表述这些制约因素？（3建立线性规划模型：

'10x+4y<300,5x+4y<200,已知变量x,y满足约束条件<4x+9y<360,求x,y取何值时，目标函数z=600x+1000yx>0,y>0;取得最大值，（求解）采用图解法求出最优解解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt,利润总额为z元，根据题意可得：'10x+4y<300,5x+4y<200,<4x+9y<360,x>0,〔y>0;目标函数为：z=600x+1000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l:600x+1000y=0,即直线l:3x+5y=0,把直线向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1000y取最大值.'5x+4y=200,解方程组Sx+9y=360,得M的坐标为x=29~12.31000y1000y=29-34.5答：应生产甲产品约12.3t,乙产品约34.51,能使利润总额达到最大［说明］对于最优解的近似值，要根据实际问题的具体情形取近似值.按四舍五入取值即x=12.4,y=34.5时，虽然z=41940最大，但此时的x,y不在可行域内.可以验证点（12.4,34.4）和（12.3,34.5）在可行域内，但当x=12.4,y=34.4时，z=41840；当x=12.3,y=34.5时，z=41880,因此按精确度取舍后的最优解点，可以离M点“较远”，但必须离1］距离最小.本例要求精确到0.1t，只需把坐标平面以0.1单位网格化，在格点上找到离11距离最小的点，就是符合题意的最优解.设计意图：学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，本环节教师侧重于引导学生建立数学模式,其余过程由学生自主解决.用多媒体展示最优解的近似值.引导学生结合上述两例子总结归纳解决这类问题的方法和步骤：（三） 学生互动巩固提高（教师活动）电脑打出练习、要求学生独立解答.巡视学生解答情况，纠正错误.（学生活动）用坐标纸作图、解答.某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益？（答案：隔出大房间3间，小房间8间或者只隔出小房间12间就能获得最大收益.）（教师用投影展示学生的结论并用多媒体展示正确结论同时点评）设计意图：巩固、加深对线性规划解决实际问题的理解和应用.（四） 概括提炼，总结升华（引导学生从知识和思想方法两方面进行总结）本节课你学了哪些知识？本节课渗透了什么数学思想方法？（五） 布置作业，探究延续拓展题：通过网络搜索查阅有关线性规划的应用实例设计意图：强化基本技能训练，巩固课堂内容，发现和弥补教与学中的遗漏和不足，以便及时矫正.（六） 板书设计（略）（七） 教学设计说明本节课是线性规划第三课时的教学内容，它以二元一次不等式（组）所表示的平面区域和线性规划的图解法等知识为基础，体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化、归纳、数形结合数学思想.学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模，故本设计把“实际问题抽象转化为线性规划问题”作为本堂课的重难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求得最优解作为突破难点的关键.对于应用问题而言，学生遇到的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑