2021-2022学年江苏省镇江市实验高二年级下册学期期中数学试题 解析版

2022年镇江实验高中高二下学期期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知双曲线：是一条渐近线与轴正半轴所成夹角为，则的离心率为（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先表示出双曲线的渐近线，依题意可得，再根据离心率公式计算可得；【详解】解：双曲线：的渐近线为，依题意，所以双曲线的离心率；故选：A2.已知，那么函数在处的瞬时变化率为（）A.1 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据简单复合函数的导函数计算规则求出函数的导函数，再代入计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，所以函数在处的瞬时变化率为，故选：C3.用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（）A.125种 B.100种 C.64种 D.60种【答案】B【解析】【分析】首先确定百位数字，再根据允许有重复数字，即可确定十位与个位的数字，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：首先排百位数字，只能是1，2，3，4中的一个，故有4种排法，因为允许有重复数字，故十位与个位均有5种排法，故一共有种；故选：B4.函数的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数求出的单调性即可选出答案.【详解】由可得，所以由可得，由可得且，所以在上单调递减，在上单调递增，故选：D5.满足条件的自然数有（）A.7个 B.6个 C.5个 D.4个【答案】C【解析】【分析】根据排列数和组合数公式化简可得，再根据，且可得答案.【详解】由得，即，又，且，所以.故选：C.【点睛】本题考查了排列数与组合数公式，属于基础题.6.过点作圆的切线，则切线的方程为（）A.x=3或3x+4y－29=0 B.y=3或3x+4y－29=0C.x=3或3x－4y+11=0 D.y=3或3x－4y+11=0【答案】C【解析】【分析】设切线的斜率为k，则切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径求得值得切线方程，同时检验斜率不存在的直线是否为切线即可得．【详解】由圆的方程可得圆心坐标为，半径为1，当过点的切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为，由点到直线的距离公式可得，解得，所以切线方程为，当过点切线斜率不存在时，切线方程为，所以过点的圆的切线方程为或，故选：C．7.若点，分别是函数与图象上的动点（其中是自然对数的底数），则的最小值为（）A. B. C. D.17【答案】A【解析】【分析】设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则的最小值为点到直线的距离【详解】设，，令且当时，，；当时，，设与平行且与相切的直线与切于．则到直线的距离为，即，故选：A．8.已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，则，，，然后利用的单调性可比较出答案.【详解】构造函数，则，，，因为，所以当时，，单调递减，因为，所以，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知函数在区间上单调递增，则符合条件的实数的取值可以是（）A.1 B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】由条件可得在区间上恒成立，然后可得，然后利用导数求出右边的最小值即可.【详解】因函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，由可得，令，则，由可得，由可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以所以故选：CD10.3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（）A.共有60种不同的坐法B.空位不相邻的坐法有72种C.空位相邻的坐法有24种D.两端不是空位的坐法有18种【答案】ACD【解析】【分析】按照题目给定的条件排列即可.【详解】对于A，，故A正确；对于B，相当于先排好这3个人有种排法，然后把2个空位插在3个人中间，故有种插法，，故B错误；对于C，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中，，故C正确；对于D，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有种，故D正确；故选：ACD.11.弦经过抛物线：的焦点，设，，下列说法正确的是（）A. B.的最小值为C. D.以弦为直径的圆与准线相切【答案】BCD【解析】【分析】首先得出焦点坐标和准线方程，然后由抛物线的定义可判断A，设弦所在的直线方程为，然后联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，，然后可判断BCD.【详解】焦点为，准线为，，故A错误，设弦所在的直线方程为，由可得，所以，，故C正确，所以，所以当时最小，最小值为，故B正确，的中点的横坐标为，所以以弦为直径的圆的圆心到准线的距离为，所以以弦为直径的圆与准线相切，故D正确，故选：BCD12.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是（）x024513132A.函数的极大值点的个数为2B.函数的单调递增区间为C.当时，若的最小值为1，则t的最大值为2D.若方程有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】由导函数图象得原函数的单调性可判断AB；由单调性结合函数值表可判断CD.【详解】由图知函数在区间[-1,0]上单调递增，在区间[0,2]上单调递减，在区间[2,4]上单调递增，在区间[4,5]上单调递减，所以在处有极大值，故A正确；单调区间不能写成并集，故B错误；因为函数，且在区间[2,4]上单调递增，所以存在使得，易知，当时，在区间的最小值为1，故C不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图可知D正确.故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2022年北京冬奥会期间，小明收藏了4个冰墩墩和5个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物赠送友人，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有__________种．【答案】【解析】【分析】分选1个冰墩墩和2个雪容融与选2个冰墩墩和1个雪容融两种情况讨论，按照分类加法与分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有种；若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有种；综上可得一共有种；故答案为：14.做一个无盖的圆柱形水桶，其体积是，则当圆柱底面圆半径__________时，用料最省．【答案】【解析】【分析】设圆柱的高为，半径为则由圆柱的体积公式可得，要使用料最省即求全面积的最小值，而，令，结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径【详解】解：设圆柱的高为，半径为，则由圆柱的体积公式可得所以所以令，，则，令解得，令可得，在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值即最小值，即当时，圆柱的表面积（不包含上底面）最小，即用料最省；故答案为：15.若函数f（x）=lnx-ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】函数有两个不同的零点，转化为函数与函数有两个不同的交点，根据图像求解临界情况，得出结果．【详解】解：函数有两个不同的零点，即有两个不同的解，等价于函数与函数的图像有两个不同的交点，当直线与曲线相切时，只有一个交点，此时为临界情况，设切点为，则可得，解得，根据图像可以得到，当时，直线与曲线有两个交点，故答案是．【点睛】本题考查了函数的零点问题，函数的零点问题可以转化为两个函数的交点问题，然后通过对临界情况的分析，得出参数的取值范围．16.如图，过原点的直线与圆有一个交点，已知，为圆上相异两点且满足，则直线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】由条件可得，圆的半径为5，然后求出圆心到直线的距离，然后可求出答案.【详解】因为，所以，即圆的半径为5，因为，所以，设直线的方程为，即，因为，圆的半径为5，所以圆心到直线的距离为，所以，解得，即直线的方程为，故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，且在处取得极值.（1）求的解析式；（2）求在上的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用求得，由此求得的解析式.（2）利用导数求得在区间上的最小值.【小问1详解】，，此时，所以在区间递减；在区间递增，所以在处取得极值符合题意.所以.【小问2详解】由（1）知在区间递减；在区间递增，，所以在区间上的最小值为.18.已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.【答案】x-y-4=0或x-y+1="0."【解析】【详解】试题分析：假设存在，并设出直线方程y＝x＋b，然后代入圆的方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到参数b的方程求解即可．试题解析：设直线l的方程为y＝x＋b①圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②联立①②消去y，得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有③因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，故直线l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0．考点：存在性问题．【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y＝x＋b，然后分析几何性质得到OA⊥OB即得到关于参数b的方程求解即可．解该类问题最容易出错的的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b值必须满足b的范围，否则无解．19.在①第5项的系数与第3项的系数之比是，②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答．问题：已知在的展开式中，__________．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含的项．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）不管选哪个条件，都可以求出，然后可求出答案；（2）写出展开式的通项，然后可得答案.【小问1详解】若选①，第5项的系数与第3项的系数之比是，则，求得，当二项式系数最大时，，即第六项的二项式系数最大，此项为．若选②，第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55，则，，当二项式系数最大时，，即第六项的二项式系数最大，此项为．若选③，，，当二项式系数最大时，，即第六项的二项式系数最大，此项为．小问2详解】该二项式的通项公式为，令，求得，故展开式中含的项为．20.如图，在几何体中，平面，平面，，，又，．（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用公式即可；（2）利用坐标，求两个半平面所在平面的法向量，根据公式求解即可.试题解析：(1)如图，过点作的垂线交于，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.∵，∴，又，则点到轴的距离为1，到轴的距离为则有，，，，.（1）设平面的法向量为，∵，则有，取，得，又，设与平面所成角为，则，故与平面所成角正弦值为.（2）设平面的法向量为，∵，，则有，取，得，∴，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.点睛：本题考查线面角的求法，以及二面角的余弦的求法，属于中档题.对于能够建立空间直角坐标系的问题，要优先考虑坐标法来处理，对于第一问，要先求面的一个法向量，然后利用两个向量的夹角公式处理，利用求得的法向量来求二面角的余弦值后，要注意角是锐角还是钝角.21已知，函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程．（Ⅱ）求在区间上的最小值．【答案】（）．（）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求出f'（x），得切线的斜率，又曲线的切点为（2，f（2）），由点斜式可写出切线方程；（2）借助于导数，将函数的最值问题转化为导函数进行研究．分，，三种情况讨论函数的最值情况.试题解析：（）当时，，，∴，，∴，即曲线在点处的切线斜率为．又∵，∴曲线在点处的切线方程为，即．（）∵，∴．令，得．①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．②若，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值．③当，则当时，，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值．综上所述，当时，函数在区间上无最小值．当时，函数在区间上的最小值为．当时，函数在区间上的最小值为．22.在平面直角坐标系xOy中，