辽宁省重点中学2022-2023学年度高考适应性测试及参考答案

辽宁省2022-2023学年度高考适应性测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则（）A． B．1 C． D．22．已知集合，，则（）A． B．C． D．3．函数在上单调递减的充分必要条件是（）A． B． C． D．4．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（）A． B． C． D．5．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（）A． B．C． D．在上的投影向量为6．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（）A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.777．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．8．已知实数，，，且，，，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数，下列结论正确的是（）A．的最小正周期为B．是的最大值C．把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象D．时，的最小值为，的最大值为110．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是（）A． B．平面ABCDC．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等11．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）A． B． C． D．12．定义在上的偶函数满足，且当时，若关于的不等式的整数解有且仅有9个，则实数m的取值可以是（）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在的展开式中，含的项的系数是______．14．已知数列满足，，则______．15．若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．16．已知函数，的定义域均为R，是奇函数，且，，则下列结论正确的是______．（只填序号）①为偶函数 ②为奇函数 ③ ④四、解答题：本题共小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在锐角中，角，，，的对边分别为，，，从条件①：，条件②：这两个条件中选择一个作为已知条件．（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围．18．（12分）已知为单调递增数列，为其n前项和，．（1）求的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，证明：．19．（12分）刍甍（chúméng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍中，四边形ABCD是正方形，平面和平面交于．（1）求证：；（2）若平面平面ABCD，，，，，求平面和平面所成角余弦值的绝对值．20．（12分）甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过项3程序考核放弃签约的情况）．人数

性别参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数男生4515女生6010今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为通过乙地的各项程序的概率依次为，，m，其中．（1）判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；（2）若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件，，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为，．当时，证明：．参考公式与临界值表：，．0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63521．（12分）已知椭圆的左右顶点分别为，，上顶点为，离心率为，，点，为椭圆上异于，的两点，直线，相交于点．（1）求椭圆的方程；（2）若点在直线上，求证：直线过定点．22．（12分）已知函数．（其中为非零实数）（1）讨论的单调性；（2）若函数（e为自然对数的底数）有两个零点，，求证：．参考答案及评分意见1．B【解析】由题意：，满足题意时．解得．故选B．2．C【解析】，，∴．故选C．3．B【解析】若在上单调递减，则满足且，则．即在上单调递减的一个充分必要条件是．故选B．4．C【解析】如图．沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如下图所示：则即为的周长的最小值，且，在中，由勾股定理得；．故选C．5．D【解析】对A，，显然由图可得与为相反向量，故A错误；对B，由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向．易知，均为含角的直角三角形，故，则，而，故，故，故B错误；对C，因为，．故C错误；对D，，则在上的投影向量为，故D正确．故选D．6．D【解析】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，记事件，，分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则，且，，两两互斥，所以，，，又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，记事件B为“选到绑带式口罩”，则，，，所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为．故选D．7．A【解析】三棱锥中，，，，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的体对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，因此三棱锥外接球的直径为，所以三棱锥外接球的表面积为，故选A．8．A【解析】由，，得，，，因此，，．设函数，则，，，，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，又，，，所以．故选A．9．AC【解析】因为，所以周期，故A正确；．故B不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故C正确，因为，所以，因为在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，最大值为2．当时，取得最小值，最小值为．故D不正确．故选AC．10．ABC【解析】由，，可证平面，从而，故A正确；由平面，可知平面，故B正确；设与交于点，则为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，故C正确；由图形可以看出，到线段的距离与到线段的距离不相等，所以的面积与的面积不相等，故D错误．故选ABC．11．AD【解析】设，的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程与直线的交点，∴，∴①，由，，重心为，代入欧拉线方程，得②，由①②可得，或，．故选AD．12．BC【解析】因为定义在R上的偶函数满足，所以，所以，从而4为函数的周期，根据函数性质画出函数的示意图，关于x的不等式的整数解有且仅有9个，从而满足解得，则实数m的取值范围为，，，．故选BC．13．【解析】因为，所以含的项为：，所以含的项的系数是．故答案为．14．2022【解析】因为，即，所以，等式两端同时除以，整理得：，即为常数列．因为，所以，所以，所以．故答案为2022．15．【解析】由题意可得对任意恒成立，由，，可得，当且仅当即时取得等号，则，解得．故答案为．16．①④【解析】因为，所以，又，则有，因为是奇函数，所以，可得，即有与，即，所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数．因为，所以，所以为偶函数．故①正确；由是奇函数，则，所以，又，所以，所以③错误；由得，所以②错误；因为，，所以，所以，所以④正确．故答案为①④．17．解：（1）选条件①：因为，所以，所以．又因为，所以，所以，所以．选条件②：由正弦定理可得．即，又因为，所以．因为，所以．（2）∵，，∴，，则即，即周长的取值范围为．18．解：当时，，所以，即，又为单调递增数列，所以，由得，所以，整理得，所以，所以，即，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以．（2）证明：，所以．19．（1）证明：在正方形中，，平面，平面，所以平面．又平面，平面与平面交于，∴．（2）解：过点作于，过点作于，连接．由平面平面，平面平面，∴平面．又平面，∴．以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知，∴．在四边形中，，，，所以，．在正方形中，，所以．因为，且，所以．所以，，，，，所以，，，．设平面的一个法向量，由令，则．设平面的一个法向量，由令，则．设平面和平面所成角为，则，所以平面和平面所成角余弦值的绝对值为．20．解：（1）因为，所以没有90%的把握认为去年该校130名数学系毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关．（2）因为小明参加各程序的结果相互不影响，所以，则．的可能取值为0，1，2，3．，，，．随机变量的分布列：0123．因为，所以，即，所以，所以21．（1）解：依题意，，，，，，解得所以椭圆的方程为．（2）证明：设，，则，，，①当直线垂直于轴时，由对称性，直线，交于轴，不合题意，舍去．②当直线不垂直于轴时，设其方程为，联立得．依题意，，，，．所以．因为，，所以直线方程为，直线方程为．依题意，设，因为为