专题15函数关系式的建立方法探讨

【201315有“方程（组、不等式（组56（组、不等式（1（2）（3）（4）（5）一、应用待定系数建立函数关系式：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函xy=kx，y=kx+byk的形式(k、by=ax－h2+k(a、k、h为待定系数)y=ax－x1)(x－x2a、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。典型例题例1（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于 【答案】16【分析】∵由于alP1（－1，－3P2（0，－1ly=kx+b（k≠0kb∴b

k，解得b1∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=162：（20127分）ABxA（1，0）y求直线AB若直线ABCS△BOC=2C【答案】解：（1）设直线ABkb∴

kb，解得 bAB的解析式为y=2x﹣2（2）C的坐标为 =21•2•x=2x=2C的坐标是（2，2）（1）AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水，图中的折线表示的是游泳池换水过程“排 ﹣﹣灌水”中水量y（m3）t（min） k=25k+b=1000，解得

∴

75【分析（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及阶段：y=0和灌水（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x y【答案】B

yx

y

y【分析】设反比例函数图象设解析式为ykx将点（﹣1，2）代入yk得，k=﹣1×2=﹣2。则函数解析式为y2Bx5（201212分）y＝－x2＋bx＋cxA、ByC，O为坐标原点，点DEFx轴上，四边形OCEFOF求△ABD将△AOCC90°，点AGGC的坐标为(0，3)E的坐标为

c，解得 cy＝－x2＋2x＋3。D(1，4)。∴△ABD中AB4。y＝0，得－x2＋2x＋3＝0x1＝－1，x2＝3。∴△ABD的面积＝1×4×4＝8上，由（1）(2)OA＝1，OC=3，AG的坐标为(3，2)x＝3G【分析】(1)OCEF中，已知OF、EFC、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函(2)根据(1)A、B、DAB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积。(3)AGG的坐标代入抛物线的解析式中直接进行例6：（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物 【答案】y=﹣x2+4x﹣3A（2，1又∵抛物线y=a（x﹣2）2+1B（1，0，∴（1，0）y=a（x﹣2）2+1。B（1，0）y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣37：（201212分）y=ax2+bx+cx轴于A（﹣1，0），B（2，0），yC（0，﹣2）A，C画直线．MMAC相切，切点为①若M在y轴右侧，且 ∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标②若⊙M5

M【答案】解：（1）y=ax2+bx+c的图象交xy=a（x+1（x﹣2），﹣2=a（0+1（0﹣2），y=（x+1（x﹣2），Rt△POCx2+22=（x+1）2，解得，x=3OP=3。 （i）1HC∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1（ii）2，当HC由（2）得，M′CP与抛物线的另一交点，CM′y=kx﹣2，P（3，0）3k﹣2=0，解得k=4∴ x﹣2∴4x﹣2=x2﹣x﹣2x1=0（舍去），x27y=47210 ∴M′（，） ②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE= 555Rt△AOC

AO2CO21222 45ADDEAD=5

D作DM∥ACMDM的解析式为：y=﹣2x+2y=﹣2x﹣6当﹣2x+2=x2﹣x﹣2x2+x﹣4=0，解得

117

1+172M的坐标为（2

）或（ ）2练习题（2012市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成y（万元/吨）x（吨）的函数关系式如图所示．（20127分）如图，一次函数y

xy轴交于点A、B距为0.25m，则y与x的函数关系式为【

y=

x

①yxx0123y03430（－1，0（1，4（3，0）③已知函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图（201212分）如图，顶点坐标为(2，－1)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)yx轴交于A、BBC交于点DAC、AD，求△ACD点EBCEyEFFE，使D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．（201211分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过Oy=kxM、NC、D(0，－2)x轴的直线l1、l2．求证以ON为直径的圆与直线l1MN的长(k表示)，并证明M、N两点到直线l2MN （1（2）（3）典型例题例1.（2012区10分）某超市销售一种新鲜“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”20瓶酸奶进行销售.（瓶元，写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？）（2在社会活动中，了解到近10天当中该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：）频 获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为的说法有道理吗？试通过计算说明.（1）5x－60≥010251天，302天，352天，405

10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为（25+30×2+35×2+40×5）÷10=35.51020355元10281天，332天，38728+33×2+38×7=360>355 yx的函数关系式，再利用y0x利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出例2.（2012区12分）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可240吨，D仓库可260吨，从A村运往C，D4045BC，D2532元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的费用分别为yA元，yB元．CDAx200B300240260500xACDAx200B（60+x）300240260500由题意得 （2）对于 ∴当x=200吨时，yA最小，其最小值为 （3）设两村的运费之和为则 x=0时，W有最小值，W16920CDA0200B40240（1）由A200吨，从ACxDD（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）D300﹣（240﹣x）BD仓库的吨数，填表即AC，D4045BC，D两处的费用分别2532yA，yBx之间的函数关系式。yAxx的系数为负0≤x≤200x200时，yA有最小值，即为A村的运费较少时x的值。关于x的一次函数x的系数大于0，可得出此一次函数为增x=0时，W有最小值x=0Wx的函数关系式中，即可求出W的最小值。…………．“…………设男士衬衫的码数为y，净为x，试探索y与x之间的函数关系式（1）x=84+4（y－38，即4

（2）当x=108时，y1 4∴若的净为108厘米，则该人应买44码的衬衫【分析（1）根据表可以得到号码每增大1，则净增加4cm，则y与x一定是一次函数关系，函数关例4.

为

y=

y1y

y2yx【答案】C

【分析】∵多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，∴k=±2k=±2分别代入反比例函数yky1y3。故选C 例6. 市7分）已知二次函数y(t1)x22(t2)x3在x0和x2时的函数值相等2若一次函数y

的图象与二次函数的图象都经过点A

mk设二次函数的图象与xB,C（BC的左侧B,C间（BC）向左平移n(n0)C（2）中得到的直线ykx6n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。（1）∵二次函数在2t

时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴为x3∴

，解得t ∴二次函数解析式为y1x2x3 点m1×32336，A（－3，－6 又∵一次函数y 的图象经过A点3k66，解得k4y1x

，1≤x≤3则向左平移后得到的图象C的解析式为y1x3nx1nn1≤x≤3n2此时一次函数y 的图象平移后的解析式为y4x C有公共点，∴两个临界的交点为n1，0与3n，∴当x=

04n

，即n23当x=3n043n6n，即n6（1）x0和x

时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为x0+2=12由对称轴

xb=1可求得t3由二次函数图象经过A

点代入y1x2x3可求得m6 y

的图象经过A点，代入可求得k4例7.（2012浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日为元时，可全部租出；当每辆车的日每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日收入一平均每日各项支出） 【答案】解：（1）1400﹣50x x=14时，在范围内，y5000。∴当日租出14辆时，租赁公司日，最大值为5000元要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0，即：50（x﹣14）2 解得x1=24，xz=4，∵x=24当每辆车的日每增加50元，未租出的车将增加1辆要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=50（x-14）2=0x每天销售20件。根据，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服x元（x为正整数。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件Z（60－40－（20＋x）=3x2＋0x+400∴当x

b=

Z∵x为正整数，且762< x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为－3·72＋40·7+400=533。【分析】求出二次函数的最值，找出x最接近最值点的整数值即可。9.（201212分）当a0x0时，因为

a)20,xxxx

0,xa≥2a(x a时取等号).yxa(a0x0,xx

a时,该函数有最小值为2a

x(x0

1(x0,x

时,y

x1(x1

(x1)24(x1),求y2的最小值, 最小值时相应的x的值

千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为 ．．【答案】解：直接应用：1；2 (x1)2 变形应用：∵2 (x x4∴y2有最小值为 4x

x

实际应用：设该汽车平均每千米的成本为y元，0.001x21.6x y

)1.6∴当x 600(千米)时最低成本为0.001 1.62.8元每周（120工时计算）36060x件，休闲服y 的件数zyx （1） 2x由题意得x3603x

27060690（1）x，y的关系式表示z

2x 3603x练习题（2012青海省8分）夏都花卉两种花卉，其中马蹄莲每株3.5元，康乃馨每株5元．如果一客户所购的马蹄莲数量多于1000株，那么所有的马蹄莲每株还可0.5元．现某鲜花店向夏都花卉7元的价格卖出，问：该鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的利润最大？（注：800～12008001200株；利润=销售所得金额﹣进货（2012巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果110件（72元x元（x为整数y元，y与xx（2012辽宁锦州10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.发现：销3023011040xy（2012福建漳州10分）某校为实施国家“营养早餐”工程，用甲、乙两种原料配制成某种营养食品，已知这两种原料的维生素C含量及这两种原料的价格如下表：(2)设用于这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式．并说明3010B20买甲、乙两种材料各1千克共需40元，甲种材料2千克和乙种材料3千克共需105元在（2）A200B300元，应选择50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）（2012恩施8分）每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给，如果平均每天卖出报纸x份，纯收y元．y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围（2012湖南益阳8分）为响应市“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗17棵，已知A80元，B60若购进A、B1220A、B若B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费（20127分）A、B50AB（万元／件（万元／件（2012湖南郴州8分）某校为开展好大课间活动，欲单价为20元的排球和单价为80元的篮球100设排球数为x（个两种球的总费用为y（元请你写出y与x的函数关系式（不要求写；（2012内江9分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的甲乙AB如果搭配一个A1000甲乙AB三、应用几何关系建立函数关系式：即在几何问题中，应用几何中的数量等量关系建立函数关系式。常用的数量等量关系有面积，勾股定理，比例线段（相似三角形的相似比，锐角三角函数，有关圆的等。典型例题例1.（2012黑龙江哈尔滨3分）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用围成yyx之间的函数关系式是【1 (B)y=－1 【答案】B24米”BCx米，AByBC＋2AB=24x＋2y=24，即1y=－x＋120<x<24B 【答案】D【分析】20，则底边长yxy+2x＝20，即y＝20－2x。0＜20－2x＜2x5＜x＜10。y＝20－2x（5＜x＜10）是选项DD3.（20126分）y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），y=0，则x2k2k2122=22k

=2k＞02=2k=1k＜02=－2，解得k=﹣1【考点】【分析】y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2）b=0kx轴的交点，利用三角形的面积求解即可。4.（20123分）O轴平行，点P（3a，a）是反比例函数yk（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 y3b9可求出b的值，从ABP（3a，a）AB上可求出a的设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6O，∴直线AB的解析式为：x=3P（3a，a）在直线AB上，∴3a=3，解得a=1。∴P（3，1）P在反比例函数yk（k＞0）的图象上，∴k=3×1=3y3x5.（20128分）24cmABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）E、FAB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，AE=BF=x（cm）．若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积某商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值 ∴x+2x+x=24，解得：x=6。则 ∴V=a3=（6）3=432242（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=x，h242

212x∴S=4ah+a2=42x

212x

2x26x296x6x82238∵0＜x＜12x=8时，S384cm2【分析（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a= a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V。（2）6.（20126分）16厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为r1和r2.求r1与r2的关系式，并r1的取值范围S表示成r1的函数关系式，求S【答案】解：（1）由题意，有2πr1+2πr2=16π，则r1+r2=8∵r1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8∴r1r2r1+r2=8，r10＜r1＜8（2）∵r1+r2=8，∴r2=8﹣r1 又∵Sr2r2r28r2=2r216r+64=2 r1=4厘米时，S32π16π先由（1）可得r2=8﹣r1，再根据圆的面积即可得到两圆的面积和S表示成r1的函数关S的最小值。7.（20123分）如图，□ABCDAD832，四个全等x小平行四边形对称中心分别在□ABCD的顶点上，它们的各边与□ABCD的各边分别平行，且与□ABCD相似.若小平行四边x0＜x≤8yyx之间的函数关系的大致图象是【 【答案】D∵□ABCDAD832xy，且小平行四边形与□ABCD相似， x 1 ∴32=8

，即y=x2又∵0＜x≤8DyxD。例8.（2012市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥ACD、E．BC=1时，求线段OD在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请并求其长度，如果不存在，请说明理 BD=x，△DOE的面积为yyx 【答案】解：（1）∵点O是圆心 1OB2OB2OB2存在，DE是不变的。OB2∵DE是中点，∴DE12

2222。4∵BD=x，∴OD4∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=90042过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF= 由△BOD∽△EDF，得42 x+42 4x+42 ，解得EF= x。 42∴y

1DFOE1 44

4x+4x+4

OD24（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形24

4x+42则 ，EF=1 4x+42OB2OB2

22CAB上的一个动点（A、B重合0x<29.（201210分）1，A．D分别在xy轴上，CD∥x轴，BC∥yPD点Scm2PtsSt2中折线段OEFGHI所示．A．B【答案】解：（1）1中，连接ADA的坐标为（a，0），2P到达点A时， ∴DO•AO=4，即（6﹣a）a＝4 ∴a2﹣6a+8=0a=2或a=4∴A的坐标为（2，0），D点坐标为（0，4）1CBxM2，知AB=11﹣6＝5，CB=12﹣11＝1AB2AB2

4。∴OM=2+4＝652∴B52

=1四边形

2

五边形 矩形2

∴ S四边形DPAO=92x+y=9 。 ）

k+4解得

∴直线PD的函数关系式为 x+41（1）AD，设点A的坐标为（a，0）2得出DO=6﹣AOS△AOD=4DO•AO=4，从而得出a2得出A延长CB交x轴于M，根据D点的坐标得出AB=5，CB=1，即可由勾股定理求出AM，从B的坐标。P（x，yPC．POS四边形DPBCS四边形DPAO的面积，再进行整理，即可得出10.（20129分）ABCD中，AB=4，BC=2MBCP为边CD上的动点（点PC、D两点。连接PM，过PPM的垂线与射线DA相交E（如图。设yx之间的函数关系式▲若点E与点Ax的值为▲P，使得点DPE的对称点D′ABx的值；若不存在，请（1）=－2＋4x2（2） 或222PPH⊥ABHDPE的对称点D′AB4x2在Rt4x2∴△ED′A∽△D′PH。 ， ED∴△ED′A∽△D′PH。 ，

x2 4即x

x2

x22，两边平方并整理得，2x2－4xx222∵当x

时，y=

+4 222∴此时，点EDA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根2222 2222∵当x

时，y=

+4

<22 ∴此时，点E在边AD∴当x22

2DPED′ABDEDPy4x。∴y=－x2＋4x （2）当点E与点A重合时，y=22=－x2＋4x，x2－4x＋2=0解得x22PPH⊥ABHDPE的对称点D′AB上，可得△E练习题（201212分）如图，四边形ABCD60cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使A、B、C、DP，正好形成一个底若折叠后长方体底面正方形的面积为1250cm2，求长方体包装盒的高

Sxx为何值时，S（20129分）如图，正方形ABCD的边ADEFGHFG重合，将正方形1cm/sFGAF重合.ADFG重合，CGACGGHPPD.ABCD1cm，矩形x（sy（cm，其中y关于xy=3x⑵记△DGPS1，△CDG的面积为S2S1－S2PD所在直线与正方形ABCDACPD的长（20128分）2的⊙Ol相切于点APAB左侧半圆上PlC，PC与⊙O交于点DPAPBPC的长为x2x4.

x

POPODl （2012鄂州12分）已知：如图一，抛物线yax2bxc与x轴正半轴交于A、B两点，与C，直线yx2A、C若直线DExC1yy轴、线BCE、DPBBO2（2P运动到原点ODEPDPPt秒；设sEDOPEDt为何值时，s的值；若不存在，请说明理由。PBDPPM⊥xMPMAC的面积的最大值和此P的坐标；PPPQ∥ACx轴于点QP 时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为 （2012湖南株洲8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为tt方向向点A3QAAO（O为坐标原点）方向向t设△AQP的面积为StS（201212分）在平面直角坐标系中，二次函数yax2bx2x3，0，B（1，）（3（4Q，使△BCQBC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写Q的坐标；若不存在，说明理由；Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点QQE垂直于xEQ，使B、Q、E为顶点的三角形与△AOCQ的坐标；若不存在，说明理由；Mx轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边Q的坐标；若不存在，说明理由．（2012安顺14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别12cm、6cm，点A、Cyxy=ax2+bx+cA、BPA开始沿AB1cm/sB移动，同时点QBBC2cm/sCt秒时，设△PBQSSttSRP、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？R点的坐标；如果不存在，请说明理由．四、应用分段分析建立函数关系式：对于自变量的不同的取值范围，函数有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数。它的函数关系式的建立，就得分段分析，应用前述方法分别进行，最后归纳。典型例题例1.（2012广州12分）某城市居民用水实行阶梯，每户每月用水量如果未超过20吨，按每1.9元．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元，超过的部分按每吨2.8元．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．2020吨，yx【答案】解：（1）x≤20∵5月份水费平均为每吨2.2元，用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元20y=2.8x﹣182.8x﹣18=2.2xx=30。530吨。（1）20吨时，水费y=1.9×20y=1.9×20+20×2.8例2.（2012浙江义乌10分）周末，骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．离家1小时20分钟后，驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与离家时间x（h）的函数图象．已知驾车的速度是骑车速度的3倍．【答案】解：（1）由图象，得：骑车速度：10÷0.5=20（km/h）。1﹣0.5=0.5（h）。（2）驾车速度BC解析式为y=20x+b1，B（1，10）代入得b1=﹣10。BCy=20x﹣10DEy=60x+b2，D（4，0）b2=﹣80。DEy=60x﹣80②。x=1.75，y=25。答：出发1.75小时（105分钟）被追上，此时离家25kmmE（x1，m）C（x2，m），y=60x﹣80，y=20x﹣10，x=m+80，x=m+10。 ∵xx=10=1，∴m+10

1 30km求得线段BC所在直线的解析式和DE所在直线的解析式后求得交点坐标即可求得北追E（x1，m妈比早10分钟到达乙地列式求解。n（km，nn

n例3.（2012天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）同学的父母在外打工，家中只有年迈多病的．星期天早上，从家中出发步行前往家家访．6分钟后，从家出发骑车到相距1200米的药店给买药，停留14分钟后以相同的速度按原路返回，结果与同时到家．家、（0≤t≤32）分钟后师生二人离家的距离分别为S1、S2．S与t之间的函数关系如图所示，请你解答下 （3）出发多长时间后在途中与相遇【答案】解：（1）50米/0≤t≤66＜t≤12时，S2=200t﹣1200，12＜t≤26时，S2=1200，当26＜t≤32时 ∴S2t00t200t12006<tS2120012t ∴设S1=kx＋b，则

k=b，解得 b ∴由S1=S2得 ∴出发11.2秒在途中与相遇（2）0≤t≤6，6＜t≤12，12＜t≤26，26＜t≤32S2t之（3）由S1=S2得 例4.（2012黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家该新型产品，公司决定商家一次这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次该种产品超过10件时，每多一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．商家一次这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元设商家一次这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式并写出自变量x的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次的数量越多，公司所获的利润越大，公司（1）∴y

（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当x

由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确例5.（2012攀枝花3分）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2E、FO出发，EOA→AD→DCC点时停止；FOCC1Ex时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为 C【分析】A作AG⊥OC于点G∵D（5，，D=2O=，D=，O=3∴根据勾股定理，得OA=5E、F1E运动x秒（x＜5）时，OE=OF=xEOAFOCEADDCFC当点EOAF在OCEH⊥OCH∴EH∥AG。∴△EHO∽△AGO。∴EHOE，即 ∴EH

。∴ 1OF 此时，yx的函数图象是开口向上的抛物线。A．B选项错误。当点EADFC停止时，△EOF 1OFEH1OCAG15410

当点EDCFC=y=S 1OCEF1 此时，yx的函数图象是直线。DCC例6.（2012内江3分）如图，正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，A

Cx（秒y

,yx大致为 【答案】C【考点】【分析】CCDABD 3 3①当0≤x≤3时，即点P段AB上时2

（0≤x≤32∴yPC2 32

+ x+

（0≤x≤3 ②当3＜x≤6时，即点P段BC上时，PC=（6－x（3＜x≤6∴y=（6－x）2=（x-6）2（3＜x≤6综上所述，该函数为y

x23<x

C。故选C7.（20123分）ABCD2，∠B30PBB-C-D的D运动．设△ABPy(B、P两点重合时，△ABP0)P 【答案】C【分析】PBC ∴△ABP的面积y1ABPE= 2PBC上运动时，如图，△ABP∴△ABPy1ABCF1211 8.（20123分）ABCD中，PCD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）．过QQM⊥PAM，QN⊥PBN．设AQ的长x，QMQN的长度和为y．则能yx之间的函数关系的图象大致是【】A．B．C．【答案】DQ作QM⊥PAM，QN⊥PB ∵QM与QN的长度和为

（QM+QN）

y PE y ∴y的值为定值，符合要求的图形为D。故选D例9.（2012梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射lDxP、Qlx①点B的坐标 度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标 写出答案OAN，PQACMP，使△AMN为等腰三角形？若存Pm；若不存在，请说明理由．设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．33【答案】解 ）。②30。 ）333存在。m=0或 30≤x≤3

33可得EF=PE=DC 1，∴EF=33 S

1EFOQ）OC4

3x）=43x3 （ 3 3＜x≤5SS梯形

S梯形

1AHAQ43x

3x32=

3x2133x 33 35＜x≤9S 12 23x1233x＞9S1OAAH 2综上所述，S与x43x430x333x2133x33<xS

23x1235<x 543x> ∵四边形OABC33 ），∴点B的坐标为 ）33tanCAOOC23=3，∴∠CAO=30° PQAPPE⊥OA于33 33∴AE

33）3MN=AN，AM=AN与AM=MNPDm=0 332又MJ1AM 3∴（332

，解得 33PPK⊥OA于K，过点MMG⊥OA3 3∴QK

3333

3，GQ

12

3综上所述，点P的横坐标为m=0或 30≤x≤33＜x≤55＜x≤9x＞9时去分析求解即可求得答案。点P从点O出发，以1cms的速度沿线段OA→ABQ．从点O出发，以acms的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．t秒．填空：点C的坐标是 当a=1时，设△OPQSStt为何值时，S的值最大P在OAQCBPQOBM.O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求att的取值范围．3【答案】解（1）C(2，2 )，OB=4cm3（2）0<t≤4QQD⊥xD(1)QD=23 3 t 4<t≤83 33∴13∴S 8<t<12QPxFPPH⊥AFH(3)。易证△PBQ与△PAF均为等边三角形，

3(t－8)23∴S =1 －1 33 3=－3 343t20t

S33

3t4t

t233t8tSt③中S3t233t3t62

3，St3 t=8时，S∴at－4=t，即a=14t0<t≤8OPOM

OM。∴OM27tt4 t4

12

472

at 7 277整理得t－at=2，即 t的取值范围是6≤t≤8—综上所述：a=1+4(0<t≤8)a=1

【分析（1）如图，过点C、B分别作x的垂线于点M、N，则在 中，由∠AOC=60o，OC=4，3用锐角三角函数定义，可求得 33 )33由CMNB是矩形和OA=8得 3ON=10，在Rt△OBN中，由勾股定理，得OB=40<t≤4，4<t≤88<t<12分别讨论，得到函数关系式后根据一次函数和二次函数的性质St的值。练习题（2012江苏连云港10分）我市某公司要把药品运往外地，现有两种方式可供选择，方式一：使用快递公司的邮车，装卸400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用铁路公司的火车，装卸820元，另外每公里再加收2元请分别写出邮车、火车的总费用y1(元)、y2(元)与路程x(公里)之间的函数关系式OAy(km)x(h)BCDEy(km)与x(h)之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题： （2012咸宁10分）某景区的旅游线路如图1所示，其中A为，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图1中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）．甲游客以一定的速度沿线路s（km）t（h）2所示．C，EAAA处等候，（2012江苏徐州8分）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a20元；若超过a20元外，超过部分

求a，20元.120平方米.开发商为30％，方案二：者若一次付清所有房款，则享受8％的，并免收五年物业（已知每月物业管a元）（2）已筹到120000元，若用方案一购房，他可以哪些楼层的商品房呢的划算.你认为的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法。（2012荆门10分）荆门市是著名的“鱼米”．某水产经销商在荆门湖养殖场批发购进草93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？水费（元4（2012六盘水10分）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价．家4、5月份量及情况如下表：水费（元45nmmn家6月份量为26吨，则她家要缴水费多少元（2012巴中3分）如图，点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A开始ABBBCCt，△ACPSSt （2012辽宁鞍山3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是【 A．B．C．D．（2012山东临沂3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为【 五、应用猜想探索建立函数关系式：当题目中“既没有已知函数类型，又没有已知关于变量之典型例题1.（20123分）xy3组对应值如下表所示x01y13则y与x之间的函数关系式可能是 【答案】BAy=xB．根据表格对应数据代入均能得出y=2x+1，故此选项正确；Cy＝x2＋x＋1，故此选项错误；

＝x2.（201210分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．16月，该企业向污水厂输y1（吨）与月份x（1≤x≤6x取整数）之间满足的函数关系如下表：712y2（吨）x（7≤x≤12x取整数）之间满足二次函数关系y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．16月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）x之间满1z1

2z=3x2

1.5y1，y2与x之间的函数关系式；估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行（参考数据：≈15.2，≈20.5，【答案】解：（1）根据表格中数据可以得出xy=y1x

kx∴

12000（1≤x≤6，且x取整数）x

，解得： （7≤x≤12x取整数）1≤x≤6xW=y1z1+12000

∵a=﹣1000＜01≤x≤6x=5时，W最大=22000（元）。7≤x≤12x取整数时： ）=﹣2 0x=07≤x≤12时，Wx-2x=7时，